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Theorem reusv2lem4 4686
Description: Lemma for reusv2 4688. (Contributed by NM, 13-Dec-2012.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem4  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    B( y)    C( y)

Proof of Theorem reusv2lem4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-reu 2673 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
2 anass 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  /\  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  /\  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C
) ) )
3 rabid 2844 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  <->  ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) ) )
43anbi1i 677 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  /\  x  =  C )  <->  ( (
y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  /\  x  =  C )
)
5 anass 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
6 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
76anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( C  e.  A  /\  ph )
) )
87pm5.32ri 620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C )  <->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C ) )
95, 8bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C ) )
109anbi2i 676 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )  <-> 
( y  e.  B  /\  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C
) ) )
112, 4, 103bitr4ri 270 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )  <-> 
( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  /\  x  =  C )
)
1211rexbii2 2695 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  E. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  C
)
13 r19.42v 2822 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
14 nfrab1 2848 . . . . 5  |-  F/_ y { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
15 nfcv 2540 . . . . 5  |-  F/_ z { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
16 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ z  x  =  C
17 nfcsb1v 3243 . . . . . 6  |-  F/_ y [_ z  /  y ]_ C
1817nfeq2 2551 . . . . 5  |-  F/ y  x  =  [_ z  /  y ]_ C
19 csbeq1a 3219 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  C  =  [_ z  /  y ]_ C )
2019eqeq2d 2415 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  C  <->  x  =  [_ z  /  y ]_ C ) )
2114, 15, 16, 18, 20cbvrexf 2887 . . . 4  |-  ( E. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  C  <->  E. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C )
2212, 13, 213bitr3i 267 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  (
ph  /\  x  =  C ) )  <->  E. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
2322eubii 2263 . 2  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  E! x E. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
24 elex 2924 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  _V )
2524ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  C  e.  _V )
263, 25sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  C  e. 
_V )
2726rgen 2731 . . . . 5  |-  A. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } C  e.  _V
28 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ z  C  e.  _V
2917nfel1 2550 . . . . . 6  |-  F/ y
[_ z  /  y ]_ C  e.  _V
3019eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( C  e.  _V  <->  [_ z  / 
y ]_ C  e.  _V ) )
3114, 15, 28, 29, 30cbvralf 2886 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } C  e. 
_V 
<-> 
A. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V )
3227, 31mpbi 200 . . . 4  |-  A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V
33 reusv2lem3 4685 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V  ->  ( E! x E. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
) )
3432, 33ax-mp 8 . . 3  |-  ( E! x E. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
35 df-ral 2671 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  = 
[_ z  /  y ]_ C  <->  A. z ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  = 
[_ z  /  y ]_ C ) )
36 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ z ( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )
3714nfcri 2534 . . . . . . 7  |-  F/ y  z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
3837, 18nfim 1828 . . . . . 6  |-  F/ y ( z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  [_ z  / 
y ]_ C )
39 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  <->  z  e.  { y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } ) )
4039, 20imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  [_ z  /  y ]_ C
) ) )
4136, 38, 40cbval 2037 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. z ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  = 
[_ z  /  y ]_ C ) )
423imbi1i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( (
y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  C )
)
43 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  -> 
( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4442, 43bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  ->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4544albii 1572 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  (
( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
46 df-ral 2671 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  (
( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4745, 46bitr4i 244 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
4835, 41, 473bitr2i 265 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  = 
[_ z  /  y ]_ C  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
4948eubii 2263 . . 3  |-  ( E! x A. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
5034, 49bitri 241 . 2  |-  ( E! x E. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
511, 23, 503bitri 263 1  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   E!weu 2254   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668   {crab 2670   _Vcvv 2916   [_csb 3211
This theorem is referenced by:  reusv2lem5  4687  reusv7OLD  4694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-nul 4298  ax-pow 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-nul 3589
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