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Theorem reusv2lem4 4651
Description: Lemma for reusv2 4653. (Contributed by NM, 13-Dec-2012.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem4  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    B( y)    C( y)

Proof of Theorem reusv2lem4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-reu 2821 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
2 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  /\  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  /\  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C
) ) )
3 rabid 3038 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  <->  ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) ) )
43anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  /\  x  =  C )  <->  ( (
y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  /\  x  =  C )
)
5 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
6 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
76anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( C  e.  A  /\  ph )
) )
87pm5.32ri 638 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C )  <->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C ) )
95, 8bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C ) )
109anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )  <-> 
( y  e.  B  /\  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C
) ) )
112, 4, 103bitr4ri 278 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )  <-> 
( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  /\  x  =  C )
)
1211rexbii2 2963 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  E. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  C
)
13 r19.42v 3016 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
14 nfrab1 3042 . . . . 5  |-  F/_ y { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
15 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ z { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
16 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ z  x  =  C
17 nfcsb1v 3451 . . . . . 6  |-  F/_ y [_ z  /  y ]_ C
1817nfeq2 2646 . . . . 5  |-  F/ y  x  =  [_ z  /  y ]_ C
19 csbeq1a 3444 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  C  =  [_ z  /  y ]_ C )
2019eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  C  <->  x  =  [_ z  /  y ]_ C ) )
2114, 15, 16, 18, 20cbvrexf 3083 . . . 4  |-  ( E. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  C  <->  E. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C )
2212, 13, 213bitr3i 275 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  (
ph  /\  x  =  C ) )  <->  E. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
2322eubii 2300 . 2  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  E! x E. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
24 elex 3122 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  _V )
2524ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  C  e.  _V )
263, 25sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  C  e. 
_V )
2726rgen 2824 . . . . 5  |-  A. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } C  e.  _V
28 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ z  C  e.  _V
2917nfel1 2645 . . . . . 6  |-  F/ y
[_ z  /  y ]_ C  e.  _V
3019eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( C  e.  _V  <->  [_ z  / 
y ]_ C  e.  _V ) )
3114, 15, 28, 29, 30cbvralf 3082 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } C  e. 
_V 
<-> 
A. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V )
3227, 31mpbi 208 . . . 4  |-  A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V
33 reusv2lem3 4650 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V  ->  ( E! x E. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
) )
3432, 33ax-mp 5 . . 3  |-  ( E! x E. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
35 df-ral 2819 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  = 
[_ z  /  y ]_ C  <->  A. z ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  = 
[_ z  /  y ]_ C ) )
36 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ z ( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )
3714nfcri 2622 . . . . . . 7  |-  F/ y  z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
3837, 18nfim 1867 . . . . . 6  |-  F/ y ( z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  [_ z  / 
y ]_ C )
39 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  <->  z  e.  { y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } ) )
4039, 20imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  [_ z  /  y ]_ C
) ) )
4136, 38, 40cbval 1994 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. z ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  = 
[_ z  /  y ]_ C ) )
423imbi1i 325 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( (
y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  C )
)
43 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  -> 
( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4442, 43bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  ->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4544albii 1620 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  (
( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
46 df-ral 2819 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  (
( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4745, 46bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
4835, 41, 473bitr2i 273 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  = 
[_ z  /  y ]_ C  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
4948eubii 2300 . . 3  |-  ( E! x A. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
5034, 49bitri 249 . 2  |-  ( E! x E. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
511, 23, 503bitri 271 1  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   E!weu 2275   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816   {crab 2818   _Vcvv 3113   [_csb 3435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576  ax-pow 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-nul 3786
This theorem is referenced by:  reusv2lem5  4652  reusv7OLD  4659
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