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Theorem reusv2lem4 4605
Description: Lemma for reusv2 4607. (Contributed by NM, 13-Dec-2012.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem4  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    B( y)    C( y)

Proof of Theorem reusv2lem4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-reu 2763 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
2 anass 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  /\  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  /\  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C
) ) )
3 rabid 2953 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  <->  ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) ) )
43anbi1i 709 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  /\  x  =  C )  <->  ( (
y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  /\  x  =  C )
)
5 anass 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
6 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
76anbi1d 719 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( C  e.  A  /\  ph )
) )
87pm5.32ri 650 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C )  <->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C ) )
95, 8bitr3i 259 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C ) )
109anbi2i 708 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )  <-> 
( y  e.  B  /\  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C
) ) )
112, 4, 103bitr4ri 286 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )  <-> 
( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  /\  x  =  C )
)
1211rexbii2 2879 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  E. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  C
)
13 r19.42v 2931 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
14 nfrab1 2957 . . . . 5  |-  F/_ y { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
15 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ z { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
16 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ z  x  =  C
17 nfcsb1v 3365 . . . . . 6  |-  F/_ y [_ z  /  y ]_ C
1817nfeq2 2627 . . . . 5  |-  F/ y  x  =  [_ z  /  y ]_ C
19 csbeq1a 3358 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  C  =  [_ z  /  y ]_ C )
2019eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  C  <->  x  =  [_ z  /  y ]_ C ) )
2114, 15, 16, 18, 20cbvrexf 3000 . . . 4  |-  ( E. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  C  <->  E. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C )
2212, 13, 213bitr3i 283 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  (
ph  /\  x  =  C ) )  <->  E. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
2322eubii 2341 . 2  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  E! x E. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
24 elex 3040 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  _V )
2524ad2antrl 742 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  C  e.  _V )
263, 25sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  C  e. 
_V )
2726rgen 2766 . . . . 5  |-  A. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } C  e.  _V
28 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ z  C  e.  _V
2917nfel1 2626 . . . . . 6  |-  F/ y
[_ z  /  y ]_ C  e.  _V
3019eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( C  e.  _V  <->  [_ z  / 
y ]_ C  e.  _V ) )
3114, 15, 28, 29, 30cbvralf 2999 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } C  e. 
_V 
<-> 
A. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V )
3227, 31mpbi 213 . . . 4  |-  A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V
33 reusv2lem3 4604 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V  ->  ( E! x E. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
) )
3432, 33ax-mp 5 . . 3  |-  ( E! x E. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
35 df-ral 2761 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  = 
[_ z  /  y ]_ C  <->  A. z ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  = 
[_ z  /  y ]_ C ) )
36 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ z ( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )
3714nfcri 2606 . . . . . . 7  |-  F/ y  z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
3837, 18nfim 2023 . . . . . 6  |-  F/ y ( z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  [_ z  / 
y ]_ C )
39 eleq1 2537 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  <->  z  e.  { y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } ) )
4039, 20imbi12d 327 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  [_ z  /  y ]_ C
) ) )
4136, 38, 40cbval 2127 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. z ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  = 
[_ z  /  y ]_ C ) )
423imbi1i 332 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( (
y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  C )
)
43 impexp 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  -> 
( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4442, 43bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  ->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4544albii 1699 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  (
( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
46 df-ral 2761 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  (
( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4745, 46bitr4i 260 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
4835, 41, 473bitr2i 281 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  = 
[_ z  /  y ]_ C  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
4948eubii 2341 . . 3  |-  ( E! x A. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
5034, 49bitri 257 . 2  |-  ( E! x E. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
511, 23, 503bitri 279 1  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   E!weu 2319   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758   {crab 2760   _Vcvv 3031   [_csb 3349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-nul 4527  ax-pow 4579
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-nul 3723
This theorem is referenced by:  reusv2lem5  4606
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