MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reusv2lem4 Structured version   Unicode version

Theorem reusv2lem4 4597
Description: Lemma for reusv2 4599. (Contributed by NM, 13-Dec-2012.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem4  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    B( y)    C( y)

Proof of Theorem reusv2lem4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-reu 2802 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
2 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  /\  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  /\  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C
) ) )
3 rabid 2996 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  <->  ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) ) )
43anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  /\  x  =  C )  <->  ( (
y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  /\  x  =  C )
)
5 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
6 eleq1 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
76anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( C  e.  A  /\  ph )
) )
87pm5.32ri 638 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C )  <->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C ) )
95, 8bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C ) )
109anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )  <-> 
( y  e.  B  /\  ( ( C  e.  A  /\  ph )  /\  x  =  C
) ) )
112, 4, 103bitr4ri 278 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) ) )  <-> 
( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  /\  x  =  C )
)
1211rexbii2 2858 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  E. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  C
)
13 r19.42v 2974 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) ) )
14 nfrab1 3000 . . . . 5  |-  F/_ y { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
15 nfcv 2613 . . . . 5  |-  F/_ z { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
16 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ z  x  =  C
17 nfcsb1v 3405 . . . . . 6  |-  F/_ y [_ z  /  y ]_ C
1817nfeq2 2629 . . . . 5  |-  F/ y  x  =  [_ z  /  y ]_ C
19 csbeq1a 3398 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  C  =  [_ z  /  y ]_ C )
2019eqeq2d 2465 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  C  <->  x  =  [_ z  /  y ]_ C ) )
2114, 15, 16, 18, 20cbvrexf 3041 . . . 4  |-  ( E. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  C  <->  E. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C )
2212, 13, 213bitr3i 275 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  (
ph  /\  x  =  C ) )  <->  E. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
2322eubii 2285 . 2  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C ) )  <->  E! x E. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
24 elex 3080 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  _V )
2524ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  C  e.  _V )
263, 25sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  C  e. 
_V )
2726rgen 2892 . . . . 5  |-  A. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } C  e.  _V
28 nfv 1674 . . . . . 6  |-  F/ z  C  e.  _V
2917nfel1 2628 . . . . . 6  |-  F/ y
[_ z  /  y ]_ C  e.  _V
3019eleq1d 2520 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( C  e.  _V  <->  [_ z  / 
y ]_ C  e.  _V ) )
3114, 15, 28, 29, 30cbvralf 3040 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } C  e. 
_V 
<-> 
A. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V )
3227, 31mpbi 208 . . . 4  |-  A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V
33 reusv2lem3 4596 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } [_ z  /  y ]_ C  e.  _V  ->  ( E! x E. z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
) )
3432, 33ax-mp 5 . . 3  |-  ( E! x E. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C
)
35 df-ral 2800 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  = 
[_ z  /  y ]_ C  <->  A. z ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  = 
[_ z  /  y ]_ C ) )
36 nfv 1674 . . . . . 6  |-  F/ z ( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )
3714nfcri 2606 . . . . . . 7  |-  F/ y  z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }
3837, 18nfim 1855 . . . . . 6  |-  F/ y ( z  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  [_ z  / 
y ]_ C )
39 eleq1 2523 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  <->  z  e.  { y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) } ) )
4039, 20imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  {
y  e.  B  | 
( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  [_ z  /  y ]_ C
) ) )
4136, 38, 40cbval 1978 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. z ( z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  = 
[_ z  /  y ]_ C ) )
423imbi1i 325 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( (
y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  C )
)
43 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ( C  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  -> 
( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4442, 43bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  ( y  e.  B  ->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4544albii 1611 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  (
( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
46 df-ral 2800 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  (
( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) ) )
4745, 46bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) }  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
4835, 41, 473bitr2i 273 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  = 
[_ z  /  y ]_ C  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
4948eubii 2285 . . 3  |-  ( E! x A. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
5034, 49bitri 249 . 2  |-  ( E! x E. z  e. 
{ y  e.  B  |  ( C  e.  A  /\  ph ) } x  =  [_ z  /  y ]_ C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
511, 23, 503bitri 271 1  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   E!weu 2260   A.wral 2795   E.wrex 2796   E!wreu 2797   {crab 2799   _Vcvv 3071   [_csb 3389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-nul 4522  ax-pow 4571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-nul 3739
This theorem is referenced by:  reusv2lem5  4598  reusv7OLD  4605
  Copyright terms: Public domain W3C validator