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Theorem reusv2lem3 4650
Description: Lemma for reusv2 4653. (Contributed by NM, 14-Dec-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem3  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  _V  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <->  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reusv2lem3
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
2 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ x A. y  e.  A  B  e.  _V
3 nfeu1 2288 . . . . . 6  |-  F/ x E! x E. y  e.  A  x  =  B
42, 3nfan 1875 . . . . 5  |-  F/ x
( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
5 euex 2303 . . . . . . . . 9  |-  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  ->  E. x E. y  e.  A  x  =  B )
6 rexn0 3930 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  A  =/=  (/) )
76exlimiv 1698 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x E. y  e.  A  x  =  B  ->  A  =/=  (/) )
85, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  ->  A  =/=  (/) )
98adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  A  =/=  (/) )
10 r19.2z 3917 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
1110ex 434 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B ) )
129, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
)
13 nfra1 2845 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y  e.  A  B  e.  _V
14 nfre1 2925 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. y  e.  A  x  =  B
1514nfeu 2294 . . . . . . . 8  |-  F/ y E! x E. y  e.  A  x  =  B
1613, 15nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ y ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
17 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
19 rsp 2830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  _V  ->  ( y  e.  A  ->  B  e. 
_V ) )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( y  e.  A  ->  B  e.  _V )
)
2120imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  B  e.  _V )
22 isset 3117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  <->  E. x  x  =  B )
2321, 22sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  E. x  x  =  B )
24 rspe 2922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
)
2625ancrd 554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  B  -> 
( E. y  e.  A  x  =  B  /\  x  =  B ) ) )
2726eximdv 1686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. x  x  =  B  ->  E. x ( E. y  e.  A  x  =  B  /\  x  =  B ) ) )
2818, 23, 27sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  E. x
( E. y  e.  A  x  =  B  /\  x  =  B ) )
29 eupick 2364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  /\  E. x ( E. y  e.  A  x  =  B  /\  x  =  B )
)  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  x  =  B ) )
3017, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  /\  y  e.  A )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  x  =  B ) )
3130ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( y  e.  A  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  x  =  B ) ) )
3231com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  ( y  e.  A  ->  x  =  B ) ) )
3316, 14, 32ralrimd 2868 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
)
3412, 33impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  <->  E. y  e.  A  x  =  B )
)
354, 34eubid 2296 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  <->  E! x E. y  e.  A  x  =  B ) )
361, 35mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
3736ex 434 . 2  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  _V  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) )
38 reusv2lem2 4649 . 2  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
3937, 38impbid1 203 1  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  _V  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <->  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E!weu 2275    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   (/)c0 3785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576  ax-pow 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115  df-dif 3479  df-nul 3786
This theorem is referenced by:  reusv2lem4  4651  eusv4  4656
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