Theorem reusv2lem2 4567

Description: Lemma for reusv2 4571. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reusv2lem2	|- ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reusv2lem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eunex 4558	. . . . 5 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. x -. A. y e. A x = B )
2		exnal 1656	. . . . 5 |- ( E. x -. A. y e. A x = B <-> -. A. x A. y e. A x = B )
3	1, 2	sylib 196	. . . 4 |- ( E! x A. y e. A x = B -> -. A. x A. y e. A x = B )
4		rzal 3847	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. y e. A x = B )
5	4	alrimiv 1727	. . . 4 |- ( A = (/) -> A. x A. y e. A x = B )
6	3, 5	nsyl3 119	. . 3 |- ( A = (/) -> -. E! x A. y e. A x = B )
7	6	pm2.21d 106	. 2 |- ( A = (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B ) )
8		simpr 459	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> E! x A. y e. A x = B )
9		euex 2244	. . . . . . 7 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. x A. y e. A x = B )
10		eqeq1 2386	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x = B <-> z = B ) )
11	10	ralbidv 2821	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( A. y e. A x = B <-> A. y e. A z = B ) )
12	11	cbvexv 2031	. . . . . . 7 |- ( E. x A. y e. A x = B <-> E. z A. y e. A z = B )
13	9, 12	sylib 196	. . . . . 6 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. z A. y e. A z = B )
14		nfv 1715	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A =/= (/)
15		nfra1 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. y e. A z = B
16	14, 15	nfan 1936	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B )
17		nfra1 2763	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. A x = B
18		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> x = B )
19		rspa 2749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. y e. A z = B /\ y e. A ) -> z = B )
20	19	ad2ant2lr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> z = B )
21	18, 20	eqtr4d 2426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> x = z )
22		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> A. y e. A z = B )
23	22, 11	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> ( x = z -> A. y e. A x = B ) )
24	21, 23	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> A. y e. A x = B )
25	24	exp32 603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( y e. A -> ( x = B -> A. y e. A x = B ) ) )
26	16, 17, 25	rexlimd 2866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
27		r19.2z 3834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A x = B ) -> E. y e. A x = B )
28	27	ex 432	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
29	28	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
30	26, 29	impbid 191	. . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E. y e. A x = B <-> A. y e. A x = B ) )
31	30	eubidv 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )
32	31	ex 432	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A z = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
33	32	exlimdv 1732	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> ( E. z A. y e. A z = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
34	13, 33	syl5 32	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
35	34	imp 427	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )
36	8, 35	mpbird 232	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> E! x E. y e. A x = B )
37	36	ex 432	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B ) )
38	7, 37	pm2.61ine 2695	1 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1397   = wceq 1399   E.wex 1620   e. wcel 1826   E!weu 2218   =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   (/)c0 3711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-nul 4496  ax-pow 4543

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-v 3036  df-dif 3392  df-nul 3712

This theorem is referenced by:  reusv2lem3  4568