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Theorem reusv2lem2 4489
Description: Lemma for reusv2 4493. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem2  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reusv2lem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eunex 4480 . . . . 5  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. x  -.  A. y  e.  A  x  =  B )
2 exnal 1618 . . . . 5  |-  ( E. x  -.  A. y  e.  A  x  =  B 
<->  -.  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  -.  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
4 rzal 3776 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
54alrimiv 1685 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
63, 5nsyl3 119 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
76pm2.21d 106 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B ) )
8 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
9 euex 2279 . . . . . . 7  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. x A. y  e.  A  x  =  B )
10 eqeq1 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  B  <->  z  =  B ) )
1110ralbidv 2730 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  <->  A. y  e.  A  z  =  B ) )
1211cbvexv 1972 . . . . . . 7  |-  ( E. x A. y  e.  A  x  =  B  <->  E. z A. y  e.  A  z  =  B )
139, 12sylib 196 . . . . . 6  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. z A. y  e.  A  z  =  B )
14 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  A  =/=  (/)
15 nfra1 2761 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y A. y  e.  A  z  =  B
1614, 15nfan 1860 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )
17 nfra1 2761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  A  x  =  B
18 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  x  =  B )
19 rsp 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  A  z  =  B  ->  ( y  e.  A  ->  z  =  B ) )
2019imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. y  e.  A  z  =  B  /\  y  e.  A )  ->  z  =  B )
2120ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  z  =  B )
2218, 21eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  x  =  z )
23 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  A. y  e.  A  z  =  B )
2423, 11syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  ( x  =  z  ->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
2522, 24mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
2625exp32 605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  =  B  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
) )
2716, 17, 26rexlimd 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
28 r19.2z 3764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
2928ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B ) )
3127, 30impbid 191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  <->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
3231eubidv 2274 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <-> 
E! x A. y  e.  A  x  =  B ) )
3332ex 434 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  z  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <-> 
E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3433exlimdv 1690 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. z A. y  e.  A  z  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B 
<->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3513, 34syl5 32 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B 
<->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3635imp 429 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) )
378, 36mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
3837ex 434 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B ) )
397, 38pm2.61ine 2682 1  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E!weu 2252    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   (/)c0 3632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-nul 4416  ax-pow 4465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-v 2969  df-dif 3326  df-nul 3633
This theorem is referenced by:  reusv2lem3  4490
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