Theorem reusv2lem2 4619

Description: Lemma for reusv2 4623. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reusv2lem2	|- ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reusv2lem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eunex 4610	. . . . 5 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. x -. A. y e. A x = B )
2		exnal 1710	. . . . 5 |- ( E. x -. A. y e. A x = B <-> -. A. x A. y e. A x = B )
3	1, 2	sylib 201	. . . 4 |- ( E! x A. y e. A x = B -> -. A. x A. y e. A x = B )
4		rzal 3883	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. y e. A x = B )
5	4	alrimiv 1784	. . . 4 |- ( A = (/) -> A. x A. y e. A x = B )
6	3, 5	nsyl3 124	. . 3 |- ( A = (/) -> -. E! x A. y e. A x = B )
7	6	pm2.21d 110	. 2 |- ( A = (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B ) )
8		simpr 467	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> E! x A. y e. A x = B )
9		euex 2334	. . . . . . 7 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. x A. y e. A x = B )
10		eqeq1 2466	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x = B <-> z = B ) )
11	10	ralbidv 2839	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( A. y e. A x = B <-> A. y e. A z = B ) )
12	11	cbvexv 2128	. . . . . . 7 |- ( E. x A. y e. A x = B <-> E. z A. y e. A z = B )
13	9, 12	sylib 201	. . . . . 6 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. z A. y e. A z = B )
14		nfv 1772	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A =/= (/)
15		nfra1 2781	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. y e. A z = B
16	14, 15	nfan 2022	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B )
17		nfra1 2781	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. A x = B
18		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> x = B )
19		rspa 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. y e. A z = B /\ y e. A ) -> z = B )
20	19	ad2ant2lr 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> z = B )
21	18, 20	eqtr4d 2499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> x = z )
22		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> A. y e. A z = B )
23	22, 11	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> ( x = z -> A. y e. A x = B ) )
24	21, 23	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> A. y e. A x = B )
25	24	exp32 614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( y e. A -> ( x = B -> A. y e. A x = B ) ) )
26	16, 17, 25	rexlimd 2883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
27		r19.2z 3870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A x = B ) -> E. y e. A x = B )
28	27	ex 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
29	28	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
30	26, 29	impbid 195	. . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E. y e. A x = B <-> A. y e. A x = B ) )
31	30	eubidv 2330	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )
32	31	ex 440	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A z = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
33	32	exlimdv 1790	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> ( E. z A. y e. A z = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
34	13, 33	syl5 33	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
35	34	imp 435	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )
36	8, 35	mpbird 240	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> E! x E. y e. A x = B )
37	36	ex 440	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B ) )
38	7, 37	pm2.61ine 2719	1 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1453   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   E!weu 2310   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   (/)c0 3743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-nul 4548  ax-pow 4595

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-v 3059  df-dif 3419  df-nul 3744

This theorem is referenced by:  reusv2lem3  4620