Theorem reusv2lem2 4642

Description: Lemma for reusv2 4646. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reusv2lem2	|- ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reusv2lem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eunex 4633	. . . . 5 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. x -. A. y e. A x = B )
2		exnal 1623	. . . . 5 |- ( E. x -. A. y e. A x = B <-> -. A. x A. y e. A x = B )
3	1, 2	sylib 196	. . . 4 |- ( E! x A. y e. A x = B -> -. A. x A. y e. A x = B )
4		rzal 3922	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. y e. A x = B )
5	4	alrimiv 1690	. . . 4 |- ( A = (/) -> A. x A. y e. A x = B )
6	3, 5	nsyl3 119	. . 3 |- ( A = (/) -> -. E! x A. y e. A x = B )
7	6	pm2.21d 106	. 2 |- ( A = (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B ) )
8		simpr 461	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> E! x A. y e. A x = B )
9		euex 2296	. . . . . . 7 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. x A. y e. A x = B )
10		eqeq1 2464	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x = B <-> z = B ) )
11	10	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( A. y e. A x = B <-> A. y e. A z = B ) )
12	11	cbvexv 1990	. . . . . . 7 |- ( E. x A. y e. A x = B <-> E. z A. y e. A z = B )
13	9, 12	sylib 196	. . . . . 6 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. z A. y e. A z = B )
14		nfv 1678	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A =/= (/)
15		nfra1 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. y e. A z = B
16	14, 15	nfan 1870	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B )
17		nfra1 2838	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. A x = B
18		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> x = B )
19		rsp 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. A z = B -> ( y e. A -> z = B ) )
20	19	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. y e. A z = B /\ y e. A ) -> z = B )
21	20	ad2ant2lr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> z = B )
22	18, 21	eqtr4d 2504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> x = z )
23		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> A. y e. A z = B )
24	23, 11	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> ( x = z -> A. y e. A x = B ) )
25	22, 24	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> A. y e. A x = B )
26	25	exp32 605	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( y e. A -> ( x = B -> A. y e. A x = B ) ) )
27	16, 17, 26	rexlimd 2940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
28		r19.2z 3910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A x = B ) -> E. y e. A x = B )
29	28	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
31	27, 30	impbid 191	. . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E. y e. A x = B <-> A. y e. A x = B ) )
32	31	eubidv 2291	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )
33	32	ex 434	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A z = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
34	33	exlimdv 1695	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> ( E. z A. y e. A z = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
35	13, 34	syl5 32	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
36	35	imp 429	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )
37	8, 36	mpbird 232	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> E! x E. y e. A x = B )
38	37	ex 434	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B ) )
39	7, 38	pm2.61ine 2773	1 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1372   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762   E!weu 2268   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   (/)c0 3778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-nul 4569  ax-pow 4618

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3108  df-dif 3472  df-nul 3779

This theorem is referenced by:  reusv2lem3  4643