Theorem reusv2lem2 4684

Description: Lemma for reusv2 4688. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reusv2lem2	|- ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reusv2lem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eunex 4352	. . . . 5 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. x -. A. y e. A x = B )
2		exnal 1580	. . . . 5 |- ( E. x -. A. y e. A x = B <-> -. A. x A. y e. A x = B )
3	1, 2	sylib 189	. . . 4 |- ( E! x A. y e. A x = B -> -. A. x A. y e. A x = B )
4		rzal 3689	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. y e. A x = B )
5	4	alrimiv 1638	. . . 4 |- ( A = (/) -> A. x A. y e. A x = B )
6	3, 5	nsyl3 113	. . 3 |- ( A = (/) -> -. E! x A. y e. A x = B )
7	6	pm2.21d 100	. 2 |- ( A = (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B ) )
8		simpr 448	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> E! x A. y e. A x = B )
9		euex 2277	. . . . . . 7 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. x A. y e. A x = B )
10		eqeq1 2410	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x = B <-> z = B ) )
11	10	ralbidv 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( A. y e. A x = B <-> A. y e. A z = B ) )
12	11	cbvexv 2053	. . . . . . 7 |- ( E. x A. y e. A x = B <-> E. z A. y e. A z = B )
13	9, 12	sylib 189	. . . . . 6 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. z A. y e. A z = B )
14		nfv 1626	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A =/= (/)
15		nfra1 2716	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. y e. A z = B
16	14, 15	nfan 1842	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B )
17		nfra1 2716	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. A x = B
18		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> x = B )
19		rsp 2726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. A z = B -> ( y e. A -> z = B ) )
20	19	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. y e. A z = B /\ y e. A ) -> z = B )
21	20	ad2ant2lr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> z = B )
22	18, 21	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> x = z )
23		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> A. y e. A z = B )
24	23, 11	syl5ibrcom 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> ( x = z -> A. y e. A x = B ) )
25	22, 24	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) /\ ( y e. A /\ x = B ) ) -> A. y e. A x = B )
26	25	exp32 589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( y e. A -> ( x = B -> A. y e. A x = B ) ) )
27	16, 17, 26	rexlimd 2787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
28		r19.2z 3677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A x = B ) -> E. y e. A x = B )
29	28	ex 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
30	29	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
31	27, 30	impbid 184	. . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E. y e. A x = B <-> A. y e. A x = B ) )
32	31	eubidv 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )
33	32	ex 424	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A z = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
34	33	exlimdv 1643	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> ( E. z A. y e. A z = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
35	13, 34	syl5 30	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
36	35	imp 419	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )
37	8, 36	mpbird 224	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> E! x E. y e. A x = B )
38	37	ex 424	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B ) )
39	7, 38	pm2.61ine 2643	1 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E!weu 2254   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   (/)c0 3588

This theorem is referenced by:  reusv2lem3  4685

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-nul 4298  ax-pow 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-v 2918  df-dif 3283  df-nul 3589