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Theorem reusv2lem2 4619
Description: Lemma for reusv2 4623. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem2  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reusv2lem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eunex 4610 . . . . 5  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. x  -.  A. y  e.  A  x  =  B )
2 exnal 1710 . . . . 5  |-  ( E. x  -.  A. y  e.  A  x  =  B 
<->  -.  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
31, 2sylib 201 . . . 4  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  -.  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
4 rzal 3883 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
54alrimiv 1784 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
63, 5nsyl3 124 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
76pm2.21d 110 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B ) )
8 simpr 467 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
9 euex 2334 . . . . . . 7  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. x A. y  e.  A  x  =  B )
10 eqeq1 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  B  <->  z  =  B ) )
1110ralbidv 2839 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  <->  A. y  e.  A  z  =  B ) )
1211cbvexv 2128 . . . . . . 7  |-  ( E. x A. y  e.  A  x  =  B  <->  E. z A. y  e.  A  z  =  B )
139, 12sylib 201 . . . . . 6  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. z A. y  e.  A  z  =  B )
14 nfv 1772 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  A  =/=  (/)
15 nfra1 2781 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y A. y  e.  A  z  =  B
1614, 15nfan 2022 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )
17 nfra1 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  A  x  =  B
18 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  x  =  B )
19 rspa 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. y  e.  A  z  =  B  /\  y  e.  A )  ->  z  =  B )
2019ad2ant2lr 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  z  =  B )
2118, 20eqtr4d 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  x  =  z )
22 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  A. y  e.  A  z  =  B )
2322, 11syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  ( x  =  z  ->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
2421, 23mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
2524exp32 614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  =  B  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
) )
2616, 17, 25rexlimd 2883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
27 r19.2z 3870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
2827ex 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B ) )
2928adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B ) )
3026, 29impbid 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  <->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
3130eubidv 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <-> 
E! x A. y  e.  A  x  =  B ) )
3231ex 440 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  z  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <-> 
E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3332exlimdv 1790 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. z A. y  e.  A  z  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B 
<->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3413, 33syl5 33 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B 
<->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3534imp 435 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) )
368, 35mpbird 240 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
3736ex 440 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B ) )
387, 37pm2.61ine 2719 1  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1453    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   E!weu 2310    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   (/)c0 3743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-nul 4548  ax-pow 4595
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-v 3059  df-dif 3419  df-nul 3744
This theorem is referenced by:  reusv2lem3  4620
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