MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reusv2lem2 Structured version   Unicode version

Theorem reusv2lem2 4567
Description: Lemma for reusv2 4571. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem2  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reusv2lem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eunex 4558 . . . . 5  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. x  -.  A. y  e.  A  x  =  B )
2 exnal 1656 . . . . 5  |-  ( E. x  -.  A. y  e.  A  x  =  B 
<->  -.  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  -.  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
4 rzal 3847 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
54alrimiv 1727 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x A. y  e.  A  x  =  B )
63, 5nsyl3 119 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
76pm2.21d 106 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B ) )
8 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x A. y  e.  A  x  =  B )
9 euex 2244 . . . . . . 7  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. x A. y  e.  A  x  =  B )
10 eqeq1 2386 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  B  <->  z  =  B ) )
1110ralbidv 2821 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  <->  A. y  e.  A  z  =  B ) )
1211cbvexv 2031 . . . . . . 7  |-  ( E. x A. y  e.  A  x  =  B  <->  E. z A. y  e.  A  z  =  B )
139, 12sylib 196 . . . . . 6  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. z A. y  e.  A  z  =  B )
14 nfv 1715 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  A  =/=  (/)
15 nfra1 2763 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y A. y  e.  A  z  =  B
1614, 15nfan 1936 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )
17 nfra1 2763 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  A  x  =  B
18 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  x  =  B )
19 rspa 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. y  e.  A  z  =  B  /\  y  e.  A )  ->  z  =  B )
2019ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  z  =  B )
2118, 20eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  x  =  z )
22 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  A. y  e.  A  z  =  B )
2322, 11syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  ( x  =  z  ->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
2421, 23mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  /\  (
y  e.  A  /\  x  =  B )
)  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
2524exp32 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  =  B  ->  A. y  e.  A  x  =  B )
) )
2616, 17, 25rexlimd 2866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  ->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
27 r19.2z 3834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  B )
2827ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B ) )
2928adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( A. y  e.  A  x  =  B  ->  E. y  e.  A  x  =  B ) )
3026, 29impbid 191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  B  <->  A. y  e.  A  x  =  B ) )
3130eubidv 2240 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  z  =  B )  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <-> 
E! x A. y  e.  A  x  =  B ) )
3231ex 432 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  z  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <-> 
E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3332exlimdv 1732 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. z A. y  e.  A  z  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B 
<->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3413, 33syl5 32 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B 
<->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) ) )
3534imp 427 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  ( E! x E. y  e.  A  x  =  B  <->  E! x A. y  e.  A  x  =  B ) )
368, 35mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E! x A. y  e.  A  x  =  B )  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
3736ex 432 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B ) )
387, 37pm2.61ine 2695 1  |-  ( E! x A. y  e.  A  x  =  B  ->  E! x E. y  e.  A  x  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1397    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   E!weu 2218    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   (/)c0 3711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-nul 4496  ax-pow 4543
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-v 3036  df-dif 3392  df-nul 3712
This theorem is referenced by:  reusv2lem3  4568
  Copyright terms: Public domain W3C validator