Theorem reust 21640

Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reust	|- (UnifSt ` RRfld ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )

Proof of Theorem reust

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 18448	. . . 4 |- RRfld = (ℂfld ↾s RR )
2	1	fveq2i 5869	. . 3 |- (UnifSt ` RRfld ) = (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) )
3		reex 9584	. . . 4 |- RR e. _V
4		ressuss 20593	. . . 4 |- ( RR e. _V -> (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) ) = ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) ) = ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) )
6		eqid 2467	. . . . 5 |- (UnifSt ` ℂfld ) = (UnifSt ` ℂfld )
7	6	cnflduss 21623	. . . 4 |- (UnifSt ` ℂfld ) = (metUnif ` ( abs o. - ) )
8	7	oveq1i 6295	. . 3 |- ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) ) = ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) )
9	2, 5, 8	3eqtri 2500	. 2 |- (UnifSt ` RRfld ) = ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) )
10		0re 9597	. . . 4 |- 0 e. RR
11		ne0i 3791	. . . 4 |- ( 0 e. RR -> RR =/= (/) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- RR =/= (/)
13		cnxmet 21107	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
14		xmetpsmet 20678	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC )
16		ax-resscn 9550	. . 3 |- RR C_ CC
17		restmetu 20917	. . 3 |- ( ( RR =/= (/) /\ ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC ) /\ RR C_ CC ) -> ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) ) = (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) )
18	12, 15, 16, 17	mp3an 1324	. 2 |- ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) ) = (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
19		cnfldds 18241	. . . . . 6 |- ( abs o. - ) = ( dist ` ℂfld )
20	1, 19	ressds 14672	. . . . 5 |- ( RR e. _V -> ( abs o. - ) = ( dist ` RRfld ) )
21	3, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- ( abs o. - ) = ( dist ` RRfld )
22	21	reseq1i 5269	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) )
23	22	fveq2i 5869	. 2 |- (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )
24	9, 18, 23	3eqtri 2500	1 |- (UnifSt ` RRfld ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   X. cxp 4997   |` cres 5001   o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   - cmin 9806   abscabs 13033   ↾_s cress 14494   distcds 14567   ↾_t crest 14679  PsMetcpsmet 18213   *Metcxmt 18214  metUnifcmetu 18221  ℂ_fldccnfld 18231  RRfldcrefld 18447  UnifStcuss 20583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ico 11536  df-fz 11674  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-rest 14681  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-metu 18230  df-cnfld 18232  df-refld 18448  df-fil 20174  df-ust 20530  df-uss 20586

This theorem is referenced by:  recusp  21641  rerrext  27741