Theorem reust 22350

Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reust	|- (UnifSt ` RRfld ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )

Proof of Theorem reust

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 19183	. . . 4 |- RRfld = (ℂfld ↾s RR )
2	1	fveq2i 5850	. . 3 |- (UnifSt ` RRfld ) = (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) )
3		reex 9616	. . . 4 |- RR e. _V
4		ressuss 21288	. . . 4 |- ( RR e. _V -> (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) ) = ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) ) = ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) )
6		eqid 2451	. . . . 5 |- (UnifSt ` ℂfld ) = (UnifSt ` ℂfld )
7	6	cnflduss 22333	. . . 4 |- (UnifSt ` ℂfld ) = (metUnif ` ( abs o. - ) )
8	7	oveq1i 6285	. . 3 |- ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) ) = ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) )
9	2, 5, 8	3eqtri 2477	. 2 |- (UnifSt ` RRfld ) = ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) )
10		0re 9629	. . . 4 |- 0 e. RR
11	10	ne0ii 3705	. . 3 |- RR =/= (/)
12		cnxmet 21803	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
13		xmetpsmet 21373	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 |- ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC )
15		ax-resscn 9582	. . 3 |- RR C_ CC
16		restmetu 21595	. . 3 |- ( ( RR =/= (/) /\ ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC ) /\ RR C_ CC ) -> ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) ) = (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) )
17	11, 14, 15, 16	mp3an 1368	. 2 |- ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) ) = (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
18		reds 19194	. . . 4 |- ( abs o. - ) = ( dist ` RRfld )
19	18	reseq1i 5078	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) )
20	19	fveq2i 5850	. 2 |- (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )
21	9, 17, 20	3eqtri 2477	1 |- (UnifSt ` RRfld ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1447   e. wcel 1890   =/= wne 2621   _Vcvv 3012   C_ wss 3371   (/)c0 3698   X. cxp 4809   |` cres 4813   o. ccom 4815   ` cfv 5560  (class class class)co 6275   CCcc 9523   RRcr 9524   0cc0 9525   - cmin 9846   abscabs 13307   ↾_s cress 15132   distcds 15209   ↾_t crest 15329  PsMetcpsmet 18964   *Metcxmt 18965  metUnifcmetu 18971  ℂ_fldccnfld 18980  RRfldcrefld 19182  UnifStcuss 21278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-8 1892  ax-9 1899  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4486  ax-sep 4496  ax-nul 4505  ax-pow 4553  ax-pr 4611  ax-un 6570  ax-cnex 9581  ax-resscn 9582  ax-1cn 9583  ax-icn 9584  ax-addcl 9585  ax-addrcl 9586  ax-mulcl 9587  ax-mulrcl 9588  ax-mulcom 9589  ax-addass 9590  ax-mulass 9591  ax-distr 9592  ax-i2m1 9593  ax-1ne0 9594  ax-1rid 9595  ax-rnegex 9596  ax-rrecex 9597  ax-cnre 9598  ax-pre-lttri 9599  ax-pre-lttrn 9600  ax-pre-ltadd 9601  ax-pre-mulgt0 9602  ax-pre-sup 9603

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1450  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3014  df-sbc 3235  df-csb 3331  df-dif 3374  df-un 3376  df-in 3378  df-ss 3385  df-pss 3387  df-nul 3699  df-if 3849  df-pw 3920  df-sn 3936  df-pr 3938  df-tp 3940  df-op 3942  df-uni 4168  df-int 4204  df-iun 4249  df-br 4374  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4469  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4732  df-so 4733  df-fr 4770  df-we 4772  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-pred 5358  df-ord 5404  df-on 5405  df-lim 5406  df-suc 5407  df-iota 5524  df-fun 5562  df-fn 5563  df-f 5564  df-f1 5565  df-fo 5566  df-f1o 5567  df-fv 5568  df-riota 6237  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6680  df-1st 6780  df-2nd 6781  df-wrecs 7014  df-recs 7076  df-rdg 7114  df-1o 7168  df-oadd 7172  df-er 7349  df-map 7460  df-en 7556  df-dom 7557  df-sdom 7558  df-fin 7559  df-sup 7942  df-pnf 9663  df-mnf 9664  df-xr 9665  df-ltxr 9666  df-le 9667  df-sub 9848  df-neg 9849  df-div 10258  df-nn 10598  df-2 10656  df-3 10657  df-4 10658  df-5 10659  df-6 10660  df-7 10661  df-8 10662  df-9 10663  df-10 10664  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ico 11630  df-fz 11775  df-seq 12207  df-exp 12266  df-cj 13172  df-re 13173  df-im 13174  df-sqrt 13308  df-abs 13309  df-struct 15133  df-ndx 15134  df-slot 15135  df-base 15136  df-sets 15137  df-ress 15138  df-plusg 15213  df-mulr 15214  df-starv 15215  df-tset 15219  df-ple 15220  df-ds 15222  df-unif 15223  df-rest 15331  df-psmet 18972  df-xmet 18973  df-met 18974  df-fbas 18977  df-fg 18978  df-metu 18979  df-cnfld 18981  df-refld 19183  df-fil 20871  df-ust 21225  df-uss 21281

This theorem is referenced by:  recusp  22351  rerrext  28819