Theorem reust 21979

Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reust	|- (UnifSt ` RRfld ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )

Proof of Theorem reust

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 18814	. . . 4 |- RRfld = (ℂfld ↾s RR )
2	1	fveq2i 5851	. . 3 |- (UnifSt ` RRfld ) = (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) )
3		reex 9572	. . . 4 |- RR e. _V
4		ressuss 20932	. . . 4 |- ( RR e. _V -> (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) ) = ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) ) = ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) )
6		eqid 2454	. . . . 5 |- (UnifSt ` ℂfld ) = (UnifSt ` ℂfld )
7	6	cnflduss 21962	. . . 4 |- (UnifSt ` ℂfld ) = (metUnif ` ( abs o. - ) )
8	7	oveq1i 6280	. . 3 |- ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) ) = ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) )
9	2, 5, 8	3eqtri 2487	. 2 |- (UnifSt ` RRfld ) = ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) )
10		0re 9585	. . . 4 |- 0 e. RR
11	10	ne0ii 3790	. . 3 |- RR =/= (/)
12		cnxmet 21446	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
13		xmetpsmet 21017	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 |- ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC )
15		ax-resscn 9538	. . 3 |- RR C_ CC
16		restmetu 21256	. . 3 |- ( ( RR =/= (/) /\ ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC ) /\ RR C_ CC ) -> ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) ) = (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) )
17	11, 14, 15, 16	mp3an 1322	. 2 |- ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) ) = (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
18		reds 18825	. . . 4 |- ( abs o. - ) = ( dist ` RRfld )
19	18	reseq1i 5258	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) )
20	19	fveq2i 5851	. 2 |- (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )
21	9, 17, 20	3eqtri 2487	1 |- (UnifSt ` RRfld ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   (/)c0 3783   X. cxp 4986   |` cres 4990   o. ccom 4992   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   - cmin 9796   abscabs 13149   ↾_s cress 14717   distcds 14793   ↾_t crest 14910  PsMetcpsmet 18597   *Metcxmt 18598  metUnifcmetu 18605  ℂ_fldccnfld 18615  RRfldcrefld 18813  UnifStcuss 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-rest 14912  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-metu 18614  df-cnfld 18616  df-refld 18814  df-fil 20513  df-ust 20869  df-uss 20925

This theorem is referenced by:  recusp  21980  rerrext  28224