MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reust Structured version   Unicode version

Theorem reust 21979
Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
reust  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (metUnif `  (
( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )

Proof of Theorem reust
StepHypRef Expression
1 df-refld 18814 . . . 4  |- RRfld  =  (flds  RR )
21fveq2i 5851 . . 3  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (UnifSt `  (flds  RR )
)
3 reex 9572 . . . 4  |-  RR  e.  _V
4 ressuss 20932 . . . 4  |-  ( RR  e.  _V  ->  (UnifSt `  (flds  RR ) )  =  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  (UnifSt `  (flds  RR ) )  =  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) )
6 eqid 2454 . . . . 5  |-  (UnifSt ` fld )  =  (UnifSt ` fld )
76cnflduss 21962 . . . 4  |-  (UnifSt ` fld )  =  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) )
87oveq1i 6280 . . 3  |-  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) )  =  ( (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) )t  ( RR 
X.  RR ) )
92, 5, 83eqtri 2487 . 2  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )
10 0re 9585 . . . 4  |-  0  e.  RR
1110ne0ii 3790 . . 3  |-  RR  =/=  (/)
12 cnxmet 21446 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
13 xmetpsmet 21017 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  (PsMet `  CC ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  (PsMet `  CC )
15 ax-resscn 9538 . . 3  |-  RR  C_  CC
16 restmetu 21256 . . 3  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  ( abs  o.  -  )  e.  (PsMet `  CC )  /\  RR  C_  CC )  ->  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )  =  (metUnif `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
1711, 14, 15, 16mp3an 1322 . 2  |-  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )  =  (metUnif `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
18 reds 18825 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` RRfld )
1918reseq1i 5258 . . 3  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) )
2019fveq2i 5851 . 2  |-  (metUnif `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )  =  (metUnif `  ( ( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
219, 17, 203eqtri 2487 1  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (metUnif `  (
( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   (/)c0 3783    X. cxp 4986    |` cres 4990    o. ccom 4992   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    - cmin 9796   abscabs 13149   ↾s cress 14717   distcds 14793   ↾t crest 14910  PsMetcpsmet 18597   *Metcxmt 18598  metUnifcmetu 18605  ℂfldccnfld 18615  RRfldcrefld 18813  UnifStcuss 20922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-rest 14912  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-metu 18614  df-cnfld 18616  df-refld 18814  df-fil 20513  df-ust 20869  df-uss 20925
This theorem is referenced by:  recusp  21980  rerrext  28224
  Copyright terms: Public domain W3C validator