MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reust Structured version   Unicode version

Theorem reust 21640
Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
reust  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (metUnif `  (
( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )

Proof of Theorem reust
StepHypRef Expression
1 df-refld 18448 . . . 4  |- RRfld  =  (flds  RR )
21fveq2i 5869 . . 3  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (UnifSt `  (flds  RR )
)
3 reex 9584 . . . 4  |-  RR  e.  _V
4 ressuss 20593 . . . 4  |-  ( RR  e.  _V  ->  (UnifSt `  (flds  RR ) )  =  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  (UnifSt `  (flds  RR ) )  =  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) )
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  (UnifSt ` fld )  =  (UnifSt ` fld )
76cnflduss 21623 . . . 4  |-  (UnifSt ` fld )  =  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) )
87oveq1i 6295 . . 3  |-  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) )  =  ( (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) )t  ( RR 
X.  RR ) )
92, 5, 83eqtri 2500 . 2  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )
10 0re 9597 . . . 4  |-  0  e.  RR
11 ne0i 3791 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  RR  =/=  (/) )
1210, 11ax-mp 5 . . 3  |-  RR  =/=  (/)
13 cnxmet 21107 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
14 xmetpsmet 20678 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  (PsMet `  CC ) )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  (PsMet `  CC )
16 ax-resscn 9550 . . 3  |-  RR  C_  CC
17 restmetu 20917 . . 3  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  ( abs  o.  -  )  e.  (PsMet `  CC )  /\  RR  C_  CC )  ->  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )  =  (metUnif `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
1812, 15, 16, 17mp3an 1324 . 2  |-  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )  =  (metUnif `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
19 cnfldds 18241 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
201, 19ressds 14672 . . . . 5  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( dist ` RRfld ) )
213, 20ax-mp 5 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` RRfld )
2221reseq1i 5269 . . 3  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) )
2322fveq2i 5869 . 2  |-  (metUnif `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )  =  (metUnif `  ( ( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
249, 18, 233eqtri 2500 1  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (metUnif `  (
( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785    X. cxp 4997    |` cres 5001    o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493    - cmin 9806   abscabs 13033   ↾s cress 14494   distcds 14567   ↾t crest 14679  PsMetcpsmet 18213   *Metcxmt 18214  metUnifcmetu 18221  ℂfldccnfld 18231  RRfldcrefld 18447  UnifStcuss 20583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ico 11536  df-fz 11674  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-rest 14681  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-metu 18230  df-cnfld 18232  df-refld 18448  df-fil 20174  df-ust 20530  df-uss 20586
This theorem is referenced by:  recusp  21641  rerrext  27741
  Copyright terms: Public domain W3C validator