MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reust Structured version   Unicode version

Theorem reust 20897
Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
reust  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (metUnif `  (
( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )

Proof of Theorem reust
StepHypRef Expression
1 df-refld 18047 . . . 4  |- RRfld  =  (flds  RR )
21fveq2i 5706 . . 3  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (UnifSt `  (flds  RR )
)
3 reex 9385 . . . 4  |-  RR  e.  _V
4 ressuss 19850 . . . 4  |-  ( RR  e.  _V  ->  (UnifSt `  (flds  RR ) )  =  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  (UnifSt `  (flds  RR ) )  =  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  (UnifSt ` fld )  =  (UnifSt ` fld )
76cnflduss 20880 . . . 4  |-  (UnifSt ` fld )  =  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) )
87oveq1i 6113 . . 3  |-  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) )  =  ( (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) )t  ( RR 
X.  RR ) )
92, 5, 83eqtri 2467 . 2  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )
10 0re 9398 . . . 4  |-  0  e.  RR
11 ne0i 3655 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  RR  =/=  (/) )
1210, 11ax-mp 5 . . 3  |-  RR  =/=  (/)
13 cnxmet 20364 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
14 xmetpsmet 19935 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  (PsMet `  CC ) )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  (PsMet `  CC )
16 ax-resscn 9351 . . 3  |-  RR  C_  CC
17 restmetu 20174 . . 3  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  ( abs  o.  -  )  e.  (PsMet `  CC )  /\  RR  C_  CC )  ->  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )  =  (metUnif `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
1812, 15, 16, 17mp3an 1314 . 2  |-  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )  =  (metUnif `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
19 cnfldds 17840 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
201, 19ressds 14364 . . . . 5  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( dist ` RRfld ) )
213, 20ax-mp 5 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` RRfld )
2221reseq1i 5118 . . 3  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) )
2322fveq2i 5706 . 2  |-  (metUnif `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )  =  (metUnif `  ( ( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
249, 18, 233eqtri 2467 1  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (metUnif `  (
( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   (/)c0 3649    X. cxp 4850    |` cres 4854    o. ccom 4856   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294    - cmin 9607   abscabs 12735   ↾s cress 14187   distcds 14259   ↾t crest 14371  PsMetcpsmet 17812   *Metcxmt 17813  metUnifcmetu 17820  ℂfldccnfld 17830  RRfldcrefld 18046  UnifStcuss 19840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ico 11318  df-fz 11450  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-rest 14373  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-metu 17829  df-cnfld 17831  df-refld 18047  df-fil 19431  df-ust 19787  df-uss 19843
This theorem is referenced by:  recusp  20898  rerrext  26450
  Copyright terms: Public domain W3C validator