MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reust Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem reust 22350
Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
reust  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (metUnif `  (
( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )

Proof of Theorem reust
StepHypRef Expression
1 df-refld 19183 . . . 4  |- RRfld  =  (flds  RR )
21fveq2i 5850 . . 3  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (UnifSt `  (flds  RR )
)
3 reex 9616 . . . 4  |-  RR  e.  _V
4 ressuss 21288 . . . 4  |-  ( RR  e.  _V  ->  (UnifSt `  (flds  RR ) )  =  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  (UnifSt `  (flds  RR ) )  =  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) )
6 eqid 2451 . . . . 5  |-  (UnifSt ` fld )  =  (UnifSt ` fld )
76cnflduss 22333 . . . 4  |-  (UnifSt ` fld )  =  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) )
87oveq1i 6285 . . 3  |-  ( (UnifSt ` fld )t  ( RR  X.  RR ) )  =  ( (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) )t  ( RR 
X.  RR ) )
92, 5, 83eqtri 2477 . 2  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )
10 0re 9629 . . . 4  |-  0  e.  RR
1110ne0ii 3705 . . 3  |-  RR  =/=  (/)
12 cnxmet 21803 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
13 xmetpsmet 21373 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  (PsMet `  CC ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  (PsMet `  CC )
15 ax-resscn 9582 . . 3  |-  RR  C_  CC
16 restmetu 21595 . . 3  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  ( abs  o.  -  )  e.  (PsMet `  CC )  /\  RR  C_  CC )  ->  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )  =  (metUnif `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
1711, 14, 15, 16mp3an 1368 . 2  |-  ( (metUnif `  ( abs  o.  -  ) )t  ( RR  X.  RR ) )  =  (metUnif `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
18 reds 19194 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` RRfld )
1918reseq1i 5078 . . 3  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) )
2019fveq2i 5850 . 2  |-  (metUnif `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )  =  (metUnif `  ( ( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
219, 17, 203eqtri 2477 1  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (metUnif `  (
( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1447    e. wcel 1890    =/= wne 2621   _Vcvv 3012    C_ wss 3371   (/)c0 3698    X. cxp 4809    |` cres 4813    o. ccom 4815   ` cfv 5560  (class class class)co 6275   CCcc 9523   RRcr 9524   0cc0 9525    - cmin 9846   abscabs 13307   ↾s cress 15132   distcds 15209   ↾t crest 15329  PsMetcpsmet 18964   *Metcxmt 18965  metUnifcmetu 18971  ℂfldccnfld 18980  RRfldcrefld 19182  UnifStcuss 21278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-8 1892  ax-9 1899  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4486  ax-sep 4496  ax-nul 4505  ax-pow 4553  ax-pr 4611  ax-un 6570  ax-cnex 9581  ax-resscn 9582  ax-1cn 9583  ax-icn 9584  ax-addcl 9585  ax-addrcl 9586  ax-mulcl 9587  ax-mulrcl 9588  ax-mulcom 9589  ax-addass 9590  ax-mulass 9591  ax-distr 9592  ax-i2m1 9593  ax-1ne0 9594  ax-1rid 9595  ax-rnegex 9596  ax-rrecex 9597  ax-cnre 9598  ax-pre-lttri 9599  ax-pre-lttrn 9600  ax-pre-ltadd 9601  ax-pre-mulgt0 9602  ax-pre-sup 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1450  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3014  df-sbc 3235  df-csb 3331  df-dif 3374  df-un 3376  df-in 3378  df-ss 3385  df-pss 3387  df-nul 3699  df-if 3849  df-pw 3920  df-sn 3936  df-pr 3938  df-tp 3940  df-op 3942  df-uni 4168  df-int 4204  df-iun 4249  df-br 4374  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4469  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4732  df-so 4733  df-fr 4770  df-we 4772  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-pred 5358  df-ord 5404  df-on 5405  df-lim 5406  df-suc 5407  df-iota 5524  df-fun 5562  df-fn 5563  df-f 5564  df-f1 5565  df-fo 5566  df-f1o 5567  df-fv 5568  df-riota 6237  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6680  df-1st 6780  df-2nd 6781  df-wrecs 7014  df-recs 7076  df-rdg 7114  df-1o 7168  df-oadd 7172  df-er 7349  df-map 7460  df-en 7556  df-dom 7557  df-sdom 7558  df-fin 7559  df-sup 7942  df-pnf 9663  df-mnf 9664  df-xr 9665  df-ltxr 9666  df-le 9667  df-sub 9848  df-neg 9849  df-div 10258  df-nn 10598  df-2 10656  df-3 10657  df-4 10658  df-5 10659  df-6 10660  df-7 10661  df-8 10662  df-9 10663  df-10 10664  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ico 11630  df-fz 11775  df-seq 12207  df-exp 12266  df-cj 13172  df-re 13173  df-im 13174  df-sqrt 13308  df-abs 13309  df-struct 15133  df-ndx 15134  df-slot 15135  df-base 15136  df-sets 15137  df-ress 15138  df-plusg 15213  df-mulr 15214  df-starv 15215  df-tset 15219  df-ple 15220  df-ds 15222  df-unif 15223  df-rest 15331  df-psmet 18972  df-xmet 18973  df-met 18974  df-fbas 18977  df-fg 18978  df-metu 18979  df-cnfld 18981  df-refld 19183  df-fil 20871  df-ust 21225  df-uss 21281
This theorem is referenced by:  recusp  22351  rerrext  28819
  Copyright terms: Public domain W3C validator