Theorem reust 20897

Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reust	|- (UnifSt ` RRfld ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )

Proof of Theorem reust

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 18047	. . . 4 |- RRfld = (ℂfld ↾s RR )
2	1	fveq2i 5706	. . 3 |- (UnifSt ` RRfld ) = (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) )
3		reex 9385	. . . 4 |- RR e. _V
4		ressuss 19850	. . . 4 |- ( RR e. _V -> (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) ) = ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- (UnifSt ` (ℂfld ↾s RR ) ) = ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) )
6		eqid 2443	. . . . 5 |- (UnifSt ` ℂfld ) = (UnifSt ` ℂfld )
7	6	cnflduss 20880	. . . 4 |- (UnifSt ` ℂfld ) = (metUnif ` ( abs o. - ) )
8	7	oveq1i 6113	. . 3 |- ( (UnifSt ` ℂfld ) ↾t ( RR X. RR ) ) = ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) )
9	2, 5, 8	3eqtri 2467	. 2 |- (UnifSt ` RRfld ) = ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) )
10		0re 9398	. . . 4 |- 0 e. RR
11		ne0i 3655	. . . 4 |- ( 0 e. RR -> RR =/= (/) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- RR =/= (/)
13		cnxmet 20364	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
14		xmetpsmet 19935	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC )
16		ax-resscn 9351	. . 3 |- RR C_ CC
17		restmetu 20174	. . 3 |- ( ( RR =/= (/) /\ ( abs o. - ) e. (PsMet ` CC ) /\ RR C_ CC ) -> ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) ) = (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) )
18	12, 15, 16, 17	mp3an 1314	. 2 |- ( (metUnif ` ( abs o. - ) ) ↾t ( RR X. RR ) ) = (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
19		cnfldds 17840	. . . . . 6 |- ( abs o. - ) = ( dist ` ℂfld )
20	1, 19	ressds 14364	. . . . 5 |- ( RR e. _V -> ( abs o. - ) = ( dist ` RRfld ) )
21	3, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- ( abs o. - ) = ( dist ` RRfld )
22	21	reseq1i 5118	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) )
23	22	fveq2i 5706	. 2 |- (metUnif ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )
24	9, 18, 23	3eqtri 2467	1 |- (UnifSt ` RRfld ) = (metUnif ` ( ( dist ` RRfld ) |` ( RR X. RR ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   _Vcvv 2984   C_ wss 3340   (/)c0 3649   X. cxp 4850   |` cres 4854   o. ccom 4856   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   - cmin 9607   abscabs 12735   ↾_s cress 14187   distcds 14259   ↾_t crest 14371  PsMetcpsmet 17812   *Metcxmt 17813  metUnifcmetu 17820  ℂ_fldccnfld 17830  RRfldcrefld 18046  UnifStcuss 19840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ico 11318  df-fz 11450  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-rest 14373  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-metu 17829  df-cnfld 17831  df-refld 18047  df-fil 19431  df-ust 19787  df-uss 19843

This theorem is referenced by:  recusp  20898  rerrext  26450