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Theorem reu8 3234
Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
rmo4.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
reu8  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  (
ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem reu8
StepHypRef Expression
1 rmo4.1 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
21cbvreuv 3021 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! y  e.  A  ps )
3 reu6 3227 . 2  |-  ( E! y  e.  A  ps  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ps 
<->  y  =  x ) )
4 dfbi2 634 . . . . 5  |-  ( ( ps  <->  y  =  x )  <->  ( ( ps 
->  y  =  x
)  /\  ( y  =  x  ->  ps )
) )
54ralbii 2819 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  ( ps 
<->  y  =  x )  <->  A. y  e.  A  ( ( ps  ->  y  =  x )  /\  ( y  =  x  ->  ps ) ) )
6 ancom 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  /\  ph ) )
7 equcom 1862 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
87imbi2i 314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  ->  x  =  y )  <->  ( ps  ->  y  =  x ) )
98ralbii 2819 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x ) )
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x ) ) )
11 biimt 337 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<->  ( x  e.  A  ->  ph ) ) )
12 df-ral 2742 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
y  =  x  ->  ps )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  (
y  =  x  ->  ps ) ) )
13 bi2.04 363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  -> 
( y  =  x  ->  ps ) )  <-> 
( y  =  x  ->  ( y  e.  A  ->  ps )
) )
1413albii 1691 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  e.  A  ->  ( y  =  x  ->  ps )
)  <->  A. y ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  ->  ps ) ) )
15 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
16 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
1716, 1imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  ->  ph )  <->  ( y  e.  A  ->  ps )
) )
1817bicomd 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( y  e.  A  ->  ps )  <->  ( x  e.  A  ->  ph )
) )
1918equcoms 1864 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  A  ->  ps )  <->  ( x  e.  A  ->  ph )
) )
2015, 19ceqsalv 3075 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  ( y  e.  A  ->  ps )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ph ) )
2112, 14, 203bitrri 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  ->  ph )  <->  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps ) )
2211, 21syl6bb 265 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<-> 
A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps ) ) )
2310, 22anbi12d 717 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y )  /\  ph )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x )  /\  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps )
) ) )
246, 23syl5bb 261 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x )  /\  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps )
) ) )
25 r19.26 2917 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  (
( ps  ->  y  =  x )  /\  (
y  =  x  ->  ps ) )  <->  ( A. y  e.  A  ( ps  ->  y  =  x )  /\  A. y  e.  A  ( y  =  x  ->  ps )
) )
2624, 25syl6rbbr 268 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( ( ps  ->  y  =  x )  /\  ( y  =  x  ->  ps ) )  <-> 
( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) ) )
275, 26syl5bb 261 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( ps  <->  y  =  x )  <->  ( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) ) )
2827rexbiia 2888 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ps 
<->  y  =  x )  <->  E. x  e.  A  ( ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
292, 3, 283bitri 275 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  (
ph  /\  A. y  e.  A  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   E!wreu 2739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-v 3047
This theorem is referenced by:  reuccats1  12837  reumodprminv  14755  grpinveu  16700  grpoideu  25937  grpoinveu  25950  cvmlift3lem2  30043  reuccatpfxs1  38975
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