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Theorem reu6 3227
Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 20-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
reu6  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem reu6
StepHypRef Expression
1 df-reu 2744 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
2 19.28v 1825 . . . . 5  |-  ( A. x ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<->  x  =  y ) ) )  <->  ( y  e.  A  /\  A. x
( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) ) )
3 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
4 sbequ12 2083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
53, 4anbi12d 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) ) )
6 equequ1 1867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  y  <->  y  =  y ) )
75, 6bibi12d 323 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  <->  ( (
y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )  <->  y  =  y ) ) )
8 equid 1855 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  =  y
98tbt 346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )  <->  ( ( y  e.  A  /\  [
y  /  x ] ph )  <->  y  =  y ) )
10 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  y  e.  A )
119, 10sylbir 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )  <->  y  =  y )  ->  y  e.  A )
127, 11syl6bi 232 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  -> 
y  e.  A ) )
1312spimv 2101 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  ->  y  e.  A
)
14 biimp 197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
1514expdimp 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  /\  x  e.  A )  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )
16 biimpr 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  ->  (
x  =  y  -> 
( x  e.  A  /\  ph ) ) )
17 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ph )
1816, 17syl6 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )
1918adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )
2015, 19impbid 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  /\  x  e.  A )  ->  ( ph  <->  x  =  y ) )
2120ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) ) )
2221sps 1943 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )
2313, 22jca 535 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  ->  ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<->  x  =  y ) ) ) )
2423axc4i 1980 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  ->  A. x ( y  e.  A  /\  (
x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) ) ) )
25 biimp 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph 
<->  x  =  y )  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )
2625imim2i 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ph  ->  x  =  y ) ) )
2726impd 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) )  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
2827adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
29 eleq1a 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  x  e.  A )
)
3029adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( x  =  y  ->  x  e.  A ) )
3130imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  /\  x  =  y )  ->  x  e.  A )
32 biimpr 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph 
<->  x  =  y )  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )
3332imim2i 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( x  =  y  ->  ph ) ) )
3433com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( ph  <->  x  =  y
) )  ->  (
x  =  y  -> 
( x  e.  A  ->  ph ) ) )
3534imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) )  /\  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ph ) )
3635adantll 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  /\  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ph )
)
3731, 36jcai 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  /\  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  /\  ph )
)
3837ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( x  =  y  ->  ( x  e.  A  /\  ph )
) )
3928, 38impbid 194 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y ) )
4039alimi 1684 . . . . . 6  |-  ( A. x ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<->  x  =  y ) ) )  ->  A. x
( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y ) )
4124, 40impbii 191 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  <->  A. x ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  ( ph 
<->  x  =  y ) ) ) )
42 df-ral 2742 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) )
4342anbi2i 700 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
ph 
<->  x  =  y ) )  <->  ( y  e.  A  /\  A. x
( x  e.  A  ->  ( ph  <->  x  =  y ) ) ) )
442, 41, 433bitr4i 281 . . . 4  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph ) 
<->  x  =  y )  <-> 
( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ph  <->  x  =  y
) ) )
4544exbii 1718 . . 3  |-  ( E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ph  <->  x  =  y
) ) )
46 df-eu 2303 . . 3  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  <->  x  =  y ) )
47 df-rex 2743 . . 3  |-  ( E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  <->  E. y ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ph  <->  x  =  y ) ) )
4845, 46, 473bitr4i 281 . 2  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y ) )
491, 48bitri 253 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442   E.wex 1663   [wsb 1797    e. wcel 1887   E!weu 2299   A.wral 2737   E.wrex 2738   E!wreu 2739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744
This theorem is referenced by:  reu3  3228  reu6i  3229  reu8  3234  xpf1o  7734  ufileu  20934  isppw2  24042  cusgrafilem2  25208  fgreu  28274  fcnvgreu  28275  fourierdlem50  38020  cusgrfilem2  39517
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