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Theorem reu3 3146
Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
reu3  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem reu3
StepHypRef Expression
1 reurex 2935 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  E. x  e.  A  ph )
2 reu6 3145 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y ) )
3 bi1 186 . . . . . 6  |-  ( (
ph 
<->  x  =  y )  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )
43ralimi 2789 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
54reximi 2821 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  ->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
62, 5sylbi 195 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
71, 6jca 529 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
8 rexex 2773 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  ->  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
98anim2i 566 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  -> 
( E. x  e.  A  ph  /\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
10 eu3v 2288 . . . 4  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) ) )
11 df-reu 2720 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
12 df-rex 2719 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
13 df-ral 2718 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
14 impexp 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
1514albii 1615 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
1613, 15bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
1716exbii 1639 . . . . 5  |-  ( E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
1812, 17anbi12i 692 . . . 4  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  <->  ( E. x
( x  e.  A  /\  ph )  /\  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) ) )
1910, 11, 183bitr4i 277 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
209, 19sylibr 212 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
217, 20impbii 188 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1362   E.wex 1591    e. wcel 1761   E!weu 2257   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-10 1780  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721
This theorem is referenced by:  reu7  3151  2reu4a  29938
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