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Theorem reu3 3298
Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
reu3  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem reu3
StepHypRef Expression
1 reurex 3083 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  E. x  e.  A  ph )
2 reu6 3297 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y ) )
3 bi1 186 . . . . . 6  |-  ( (
ph 
<->  x  =  y )  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )
43ralimi 2860 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
54reximi 2935 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  ->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
62, 5sylbi 195 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
71, 6jca 532 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
8 rexex 2924 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  ->  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
98anim2i 569 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  -> 
( E. x  e.  A  ph  /\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
10 eu3v 2307 . . . 4  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) ) )
11 df-reu 2824 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
12 df-rex 2823 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
13 df-ral 2822 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
14 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
1514albii 1620 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
1613, 15bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
1716exbii 1644 . . . . 5  |-  ( E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
1812, 17anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  <->  ( E. x
( x  e.  A  /\  ph )  /\  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) ) )
1910, 11, 183bitr4i 277 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
209, 19sylibr 212 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
217, 20impbii 188 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596    e. wcel 1767   E!weu 2275   A.wral 2817   E.wrex 2818   E!wreu 2819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825
This theorem is referenced by:  reu7  3303  2reu4a  31984
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