Theorem reu3 3146

Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
reu3	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reurex 2935	. . 3 |- ( E! x e. A ph -> E. x e. A ph )
2		reu6 3145	. . . 4 |- ( E! x e. A ph <-> E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) )
3		bi1 186	. . . . . 6 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( ph -> x = y ) )
4	3	ralimi 2789	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ph <-> x = y ) -> A. x e. A ( ph -> x = y ) )
5	4	reximi 2821	. . . 4 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) -> E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) )
6	2, 5	sylbi 195	. . 3 |- ( E! x e. A ph -> E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) )
7	1, 6	jca 529	. 2 |- ( E! x e. A ph -> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
8		rexex 2773	. . . 4 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) -> E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) )
9	8	anim2i 566	. . 3 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) -> ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
10		eu3v 2288	. . . 4 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) ) )
11		df-reu 2720	. . . 4 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
12		df-rex 2719	. . . . 5 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
13		df-ral 2718	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
14		impexp 444	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
15	14	albii 1615	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
16	13, 15	bitr4i 252	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
17	16	exbii 1639	. . . . 5 |- ( E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
18	12, 17	anbi12i 692	. . . 4 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) ) )
19	10, 11, 18	3bitr4i 277	. . 3 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
20	9, 19	sylibr 212	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) -> E! x e. A ph )
21	7, 20	impbii 188	1 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1362   E.wex 1591   e. wcel 1761   E!weu 2257   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-10 1780  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721

This theorem is referenced by:  reu7  3151  2reu4a  29938