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Theorem reu2 3238
Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 22-Nov-1994.)
Assertion
Ref Expression
reu2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem reu2
StepHypRef Expression
1 nfv 1772 . . 3  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  ph )
21eu2 2349 . 2  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y ) ) )
3 df-reu 2756 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
4 df-rex 2755 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
5 df-ral 2754 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
6 19.21v 1797 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  A  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
7 nfv 1772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  y  e.  A
8 nfs1v 2277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [ y  /  x ] ph
97, 8nfan 2022 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )
10 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
11 sbequ12 2094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
1210, 11anbi12d 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) ) )
139, 12sbie 2248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) )
1413anbi2i 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
15 an4 838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  (
y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
1614, 15bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
1716imbi1i 331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph ) )  ->  x  =  y )
)
18 impexp 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  [ y  /  x ] ph ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
19 impexp 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
2017, 18, 193bitri 279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
2120albii 1702 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  A. y
( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
22 df-ral 2754 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
2322imbi2i 318 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  A  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
246, 21, 233bitr4i 285 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
2524albii 1702 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
265, 25bitr4i 260 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y
( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y ) )
274, 26anbi12i 708 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  A. x A. y
( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y ) ) )
282, 3, 273bitr4i 285 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1453   E.wex 1674   [wsb 1808    e. wcel 1898   E!weu 2310   A.wral 2749   E.wrex 2750   E!wreu 2751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756
This theorem is referenced by:  reu2eqd  3247  disjinfi  37506
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