Theorem retopbas 8925

Description: A basis for the standard topology on the reals.

Assertion

Ref	Expression
retopbas	|- ran (,) e. Bases

Proof of Theorem retopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1958	. . . . . . 7 |- (w = (x i^i y) -> (z e. w <-> z e. (x i^i y)))
2		sseq1 2637	. . . . . . 7 |- (w = (x i^i y) -> (w C_ (x i^i y) <-> (x i^i y) C_ (x i^i y)))
3	1, 2	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (w = (x i^i y) -> ((z e. w /\ w C_ (x i^i y)) <-> (z e. (x i^i y) /\ (x i^i y) C_ (x i^i y))))
4	3	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- (((x i^i y) e. ran (,) /\ (z e. (x i^i y) /\ (x i^i y) C_ (x i^i y))) -> E.w e. ran (,)(z e. w /\ w C_ (x i^i y)))
5		ifcl 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((v e. RR* /\ z e. RR*) -> if(z <_ v, v, z) e. RR*)
6	5	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((v e. RR* /\ u e. RR*) /\ (z e. RR* /\ w e. RR*)) -> if(z <_ v, v, z) e. RR*)
7	6	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((v e. RR* /\ u e. RR*) /\ (z e. RR* /\ w e. RR*)) /\ ((z(,)w) = x /\ (v(,)u) = y)) -> if(z <_ v, v, z) e. RR*)
8		ifcl 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((w e. RR* /\ u e. RR*) -> if(w <_ u, w, u) e. RR*)
9	8	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((u e. RR* /\ w e. RR*) -> if(w <_ u, w, u) e. RR*)
10	9	ad2ant2l 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((v e. RR* /\ u e. RR*) /\ (z e. RR* /\ w e. RR*)) -> if(w <_ u, w, u) e. RR*)
11	10	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((v e. RR* /\ u e. RR*) /\ (z e. RR* /\ w e. RR*)) /\ ((z(,)w) = x /\ (v(,)u) = y)) -> if(w <_ u, w, u) e. RR*)
12		iooin 7539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (v e. RR* /\ u e. RR*)) -> ((z(,)w) i^i (v(,)u)) = (if(z <_ v, v, z)(,)if(w <_ u, w, u)))
13	12	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((v e. RR* /\ u e. RR*) /\ (z e. RR* /\ w e. RR*)) -> ((z(,)w) i^i (v(,)u)) = (if(z <_ v, v, z)(,)if(w <_ u, w, u)))
14		ineq12 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((z(,)w) = x /\ (v(,)u) = y) -> ((z(,)w) i^i (v(,)u)) = (x i^i y))
15	13, 14	sylan9req 1950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((v e. RR* /\ u e. RR*) /\ (z e. RR* /\ w e. RR*)) /\ ((z(,)w) = x /\ (v(,)u) = y)) -> (if(z <_ v, v, z)(,)if(w <_ u, w, u)) = (x i^i y))
16		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t = if(z <_ v, v, z) -> (t(,)f) = (if(z <_ v, v, z)(,)f))
17	16	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t = if(z <_ v, v, z) -> ((t(,)f) = (x i^i y) <-> (if(z <_ v, v, z)(,)f) = (x i^i y)))
18		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (f = if(w <_ u, w, u) -> (if(z <_ v, v, z)(,)f) = (if(z <_ v, v, z)(,)if(w <_ u, w, u)))
19	18	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (f = if(w <_ u, w, u) -> ((if(z <_ v, v, z)(,)f) = (x i^i y) <-> (if(z <_ v, v, z)(,)if(w <_ u, w, u)) = (x i^i y)))
20	17, 19	rcla42ev 2385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((if(z <_ v, v, z) e. RR* /\ if(w <_ u, w, u) e. RR* /\ (if(z <_ v, v, z)(,)if(w <_ u, w, u)) = (x i^i y)) -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y))
21	7, 11, 15, 20	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((v e. RR* /\ u e. RR*) /\ (z e. RR* /\ w e. RR*)) /\ ((z(,)w) = x /\ (v(,)u) = y)) -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y))
22	21	exp32 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((v e. RR* /\ u e. RR*) /\ (z e. RR* /\ w e. RR*)) -> ((z(,)w) = x -> ((v(,)u) = y -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y))))
23	22	exp31 407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. RR* -> (u e. RR* -> ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((z(,)w) = x -> ((v(,)u) = y -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y))))))
24	23	com4t 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((z(,)w) = x -> (v e. RR* -> (u e. RR* -> ((v(,)u) = y -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y))))))
25	24	imp31 389	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (z(,)w) = x) /\ v e. RR*) -> (u e. RR* -> ((v(,)u) = y -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y))))
26	25	r19.23adv 2215	. . . . . . . . . . 11 |- ((((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (z(,)w) = x) /\ v e. RR*) -> (E.u e. RR* (v(,)u) = y -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y)))
27	26	r19.23adva 2216	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (z(,)w) = x) -> (E.v e. RR* E.u e. RR* (v(,)u) = y -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y)))
28	27	exp31 407	. . . . . . . . 9 |- (z e. RR* -> (w e. RR* -> ((z(,)w) = x -> (E.v e. RR* E.u e. RR* (v(,)u) = y -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y)))))
29	28	r19.23adv 2215	. . . . . . . 8 |- (z e. RR* -> (E.w e. RR* (z(,)w) = x -> (E.v e. RR* E.u e. RR* (v(,)u) = y -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y))))
30	29	r19.23aiv 2211	. . . . . . 7 |- (E.z e. RR* E.w e. RR* (z(,)w) = x -> (E.v e. RR* E.u e. RR* (v(,)u) = y -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y)))
31	30	imp 377	. . . . . 6 |- ((E.z e. RR* E.w e. RR* (z(,)w) = x /\ E.v e. RR* E.u e. RR* (v(,)u) = y) -> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y))
32		ioof 7569	. . . . . . . 8 |- (,):(RR* X. RR*)-->~PRR
33		ffn 4562	. . . . . . . 8 |- ((,):(RR* X. RR*)-->~PRR -> (,) Fn (RR* X. RR*))
34	32, 33	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (,) Fn (RR* X. RR*)
35		oprvelrn 4969	. . . . . . . 8 |- ((,) Fn (RR* X. RR*) -> (x e. ran (,) <-> E.z e. RR* E.w e. RR* (z(,)w) = x))
36		oprvelrn 4969	. . . . . . . 8 |- ((,) Fn (RR* X. RR*) -> (y e. ran (,) <-> E.v e. RR* E.u e. RR* (v(,)u) = y))
37	35, 36	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- ((,) Fn (RR* X. RR*) -> ((x e. ran (,) /\ y e. ran (,)) <-> (E.z e. RR* E.w e. RR* (z(,)w) = x /\ E.v e. RR* E.u e. RR* (v(,)u) = y)))
38	34, 37	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((x e. ran (,) /\ y e. ran (,)) <-> (E.z e. RR* E.w e. RR* (z(,)w) = x /\ E.v e. RR* E.u e. RR* (v(,)u) = y))
39		oprvelrn 4969	. . . . . . 7 |- ((,) Fn (RR* X. RR*) -> ((x i^i y) e. ran (,) <-> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y)))
40	34, 39	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((x i^i y) e. ran (,) <-> E.t e. RR* E.f e. RR* (t(,)f) = (x i^i y))
41	31, 38, 40	3imtr4i 236	. . . . 5 |- ((x e. ran (,) /\ y e. ran (,)) -> (x i^i y) e. ran (,))
42		ssid 2634	. . . . . 6 |- (x i^i y) C_ (x i^i y)
43	42	jctr 315	. . . . 5 |- (z e. (x i^i y) -> (z e. (x i^i y) /\ (x i^i y) C_ (x i^i y)))
44	4, 41, 43	syl2an 503	. . . 4 |- (((x e. ran (,) /\ y e. ran (,)) /\ z e. (x i^i y)) -> E.w e. ran (,)(z e. w /\ w C_ (x i^i y)))
45	44	3impa 1062	. . 3 |- ((x e. ran (,) /\ y e. ran (,) /\ z e. (x i^i y)) -> E.w e. ran (,)(z e. w /\ w C_ (x i^i y)))
46	45	rgen3 2187	. 2 |- A.x e. ran (,)A.y e. ran (,)A.z e. (x i^i y)E.w e. ran (,)(z e. w /\ w C_ (x i^i y))
47		iooex 7532	. . . 4 |- (,) e. _V
48	47	rnex 4209	. . 3 |- ran (,) e. _V
49		isbasis2g 8881	. . 3 |- (ran (,) e. _V -> (ran (,) e. Bases <-> A.x e. ran (,)A.y e. ran (,)A.z e. (x i^i y)E.w e. ran (,)(z e. w /\ w C_ (x i^i y))))
50	48, 49	ax-mp 7	. 2 |- (ran (,) e. Bases <-> A.x e. ran (,)A.y e. ran (,)A.z e. (x i^i y)E.w e. ran (,)(z e. w /\ w C_ (x i^i y)))
51	46, 50	mpbir 207	1 |- ran (,) e. Bases

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ifcif 2982  ~Pcpw 3032   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  ran crn 3987   Fn wfn 3993  -->wf 3994  (class class class)co 4884  RRcr 6385   <_ cle 6448  RR*cxr 6652  (,)cioo 7524  Basesctb 8859

This theorem is referenced by:  retop 8926  uniretop 8927  iooretop 8929  qdensere 9027  tgioo 9193  altretoplem1 14995  nolimf 15031

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-ioo 7528  df-bases 8863

Copyright terms: Public domain