MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopbas Structured version   Unicode version

Theorem retopbas 21436
Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
retopbas  |-  ran  (,)  e. 
TopBases

Proof of Theorem retopbas
StepHypRef Expression
1 ioof 11625 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
21fdmi 5718 . . . 4  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
32imaeq2i 5323 . . 3  |-  ( (,) " dom  (,) )  =  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )
4 imadmrn 5335 . . 3  |-  ( (,) " dom  (,) )  =  ran  (,)
53, 4eqtr3i 2485 . 2  |-  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )  =  ran  (,)
6 ssid 3508 . . 3  |-  RR*  C_  RR*
76qtopbaslem 21434 . 2  |-  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )  e.  TopBases
85, 7eqeltrri 2539 1  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1823   ~Pcpw 3999    X. cxp 4986   dom cdm 4988   ran crn 4989   "cima 4991   RRcr 9480   RR*cxr 9616   (,)cioo 11532   TopBasesctb 19568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-ioo 11536  df-bases 19571
This theorem is referenced by:  retop  21437  uniretop  21438  iooretop  21442  qdensere  21446  tgioo  21470  xrtgioo  21480  bndth  21627  ovolicc2  22102  cncombf  22234  cnmbf  22235  elmbfmvol2  28478  iccllyscon  28962  rellyscon  28963  mblfinlem3  30296  mblfinlem4  30297  ismblfin  30298  cnambfre  30306
  Copyright terms: Public domain W3C validator