MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopbas Structured version   Unicode version

Theorem retopbas 20474
Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
retopbas  |-  ran  (,)  e. 
TopBases

Proof of Theorem retopbas
StepHypRef Expression
1 ioof 11507 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
21fdmi 5675 . . . 4  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
32imaeq2i 5278 . . 3  |-  ( (,) " dom  (,) )  =  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )
4 imadmrn 5290 . . 3  |-  ( (,) " dom  (,) )  =  ran  (,)
53, 4eqtr3i 2485 . 2  |-  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )  =  ran  (,)
6 ssid 3486 . . 3  |-  RR*  C_  RR*
76qtopbaslem 20472 . 2  |-  ( (,) " ( RR*  X.  RR* ) )  e.  TopBases
85, 7eqeltrri 2539 1  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758   ~Pcpw 3971    X. cxp 4949   dom cdm 4951   ran crn 4952   "cima 4954   RRcr 9395   RR*cxr 9531   (,)cioo 11414   TopBasesctb 18637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-ioo 11418  df-bases 18640
This theorem is referenced by:  retop  20475  uniretop  20476  iooretop  20480  qdensere  20484  tgioo  20508  xrtgioo  20518  bndth  20665  ovolicc2  21140  cncombf  21272  cnmbf  21273  elmbfmvol2  26846  iccllyscon  27303  rellyscon  27304  mblfinlem3  28598  mblfinlem4  28599  ismblfin  28600  cnambfre  28608
  Copyright terms: Public domain W3C validator