MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retanhcl Structured version   Unicode version

Theorem retanhcl 13919
Description: The hyperbolic tangent of a real number is real. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
retanhcl  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  e.  RR )

Proof of Theorem retanhcl
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9484 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
2 recn 9515 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
3 mulcl 9509 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
41, 2, 3sylancr 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
5 rpcoshcl 13917 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  e.  RR+ )
65rpne0d 11204 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
7 tanval 13888 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( sin `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  (
_i  x.  A )
) ) )
84, 6, 7syl2anc 659 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( tan `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( sin `  (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  ( _i  x.  A
) ) ) )
98oveq1d 6233 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  =  ( ( ( sin `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  (
_i  x.  A )
) )  /  _i ) )
104sincld 13890 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
11 recoshcl 13918 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
1211recnd 9555 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
131a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  _i  e.  CC )
14 ine0 9932 . . . . 5  |-  _i  =/=  0
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  _i  =/=  0 )
1610, 12, 13, 6, 15divdiv32d 10284 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  ( _i  x.  A
) ) )  /  _i )  =  (
( ( sin `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  /  ( cos `  (
_i  x.  A )
) ) )
179, 16eqtrd 2437 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  =  ( ( ( sin `  ( _i  x.  A ) )  /  _i )  / 
( cos `  (
_i  x.  A )
) ) )
18 resinhcl 13916 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  e.  RR )
1918, 5rerpdivcld 11226 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  /  ( cos `  (
_i  x.  A )
) )  e.  RR )
2017, 19eqeltrd 2484 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   RRcr 9424   0cc0 9425   _ici 9427    x. cmul 9430    / cdiv 10145   sincsin 13824   cosccos 13825   tanctan 13826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503  ax-addf 9504  ax-mulf 9505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-pm 7363  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-sup 7838  df-oi 7872  df-card 8255  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-rp 11162  df-ico 11478  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-fl 11851  df-seq 12034  df-exp 12093  df-fac 12279  df-bc 12306  df-hash 12331  df-shft 12925  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-limsup 13319  df-clim 13336  df-rlim 13337  df-sum 13534  df-ef 13828  df-sin 13830  df-cos 13831  df-tan 13832
This theorem is referenced by:  tanhbnd  13921  tanregt0  23034
  Copyright terms: Public domain W3C validator