Theorem resvsca 28667

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvsca.r	|- R = ( W ↾v A )
resvsca.f	|- F = (Scalar ` W )
resvsca.b	|- B = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
resvsca	|- ( A e. V -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )

Proof of Theorem resvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvsca.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
2		fvex 5889	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` W ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2545	. . . . . . 7 |- F e. _V
4		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( F ↾s A ) = ( F ↾s A )
5		resvsca.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` F )
6	4, 5	ressid2 15255	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ F e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = F )
7	3, 6	mp3an2 1378	. . . . . 6 |- ( ( B C_ A /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = F )
8	7	3adant2 1049	. . . . 5 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = F )
9		resvsca.r	. . . . . . 7 |- R = ( W ↾v A )
10	9, 1, 5	resvid2 28665	. . . . . 6 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = W )
11	10	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` W ) )
12	1, 8, 11	3eqtr4a 2531	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
13	12	3expib 1234	. . 3 |- ( B C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) ) )
14		simp2 1031	. . . . . 6 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> W e. _V )
15		ovex 6336	. . . . . 6 |- ( F ↾s A ) e. _V
16		scaid 15336	. . . . . . 7 |- Scalar = Slot (Scalar ` ndx )
17	16	setsid 15242	. . . . . 6 |- ( ( W e. _V /\ ( F ↾s A ) e. _V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) ) )
18	14, 15, 17	sylancl 675	. . . . 5 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) ) )
19	9, 1, 5	resvval2 28666	. . . . . 6 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) )
20	19	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) ) )
21	18, 20	eqtr4d 2508	. . . 4 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
22	21	3expib 1234	. . 3 |- ( -. B C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) ) )
23	13, 22	pm2.61i 169	. 2 |- ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
24		0fv 5912	. . . . 5 |- ( (/) ` (Scalar ` ndx ) ) = (/)
25		0ex 4528	. . . . . 6 |- (/) e. _V
26	25, 16	strfvn 15216	. . . . 5 |- (Scalar ` (/) ) = ( (/) ` (Scalar ` ndx ) )
27		ress0 15261	. . . . 5 |- ( (/) ↾s A ) = (/)
28	24, 26, 27	3eqtr4ri 2504	. . . 4 |- ( (/) ↾s A ) = (Scalar ` (/) )
29		fvprc 5873	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> (Scalar ` W ) = (/) )
30	1, 29	syl5eq 2517	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> F = (/) )
31	30	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> ( F ↾s A ) = ( (/) ↾s A ) )
32		reldmresv 28663	. . . . . . 7 |- Rel dom ↾v
33	32	ovprc1 6339	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> ( W ↾v A ) = (/) )
34	9, 33	syl5eq 2517	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> R = (/) )
35	34	fveq2d 5883	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` (/) ) )
36	28, 31, 35	3eqtr4a 2531	. . 3 |- ( -. W e. _V -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
37	36	adantr 472	. 2 |- ( ( -. W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
38	23, 37	pm2.61ian 807	1 |- ( A e. V -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   <.cop 3965   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ndxcnx 15196   sSet csts 15197   Basecbs 15199   ↾_s cress 15200  Scalarcsca 15271   ↾_v cresv 28661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-sca 15284  df-resv 28662

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  28681  sitgaddlemb  29254