Theorem resvsca 27471

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvsca.r	|- R = ( W ↾v A )
resvsca.f	|- F = (Scalar ` W )
resvsca.b	|- B = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
resvsca	|- ( A e. V -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )

Proof of Theorem resvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvsca.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
2		fvex 5869	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` W ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2546	. . . . . . 7 |- F e. _V
4		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( F ↾s A ) = ( F ↾s A )
5		resvsca.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` F )
6	4, 5	ressid2 14534	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ F e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = F )
7	3, 6	mp3an2 1307	. . . . . 6 |- ( ( B C_ A /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = F )
8	7	3adant2 1010	. . . . 5 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = F )
9		resvsca.r	. . . . . . 7 |- R = ( W ↾v A )
10	9, 1, 5	resvid2 27469	. . . . . 6 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = W )
11	10	fveq2d 5863	. . . . 5 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` W ) )
12	1, 8, 11	3eqtr4a 2529	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
13	12	3expib 1194	. . 3 |- ( B C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) ) )
14		simp2 992	. . . . . 6 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> W e. _V )
15		ovex 6302	. . . . . 6 |- ( F ↾s A ) e. _V
16		scaid 14607	. . . . . . 7 |- Scalar = Slot (Scalar ` ndx )
17	16	setsid 14522	. . . . . 6 |- ( ( W e. _V /\ ( F ↾s A ) e. _V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) ) )
18	14, 15, 17	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) ) )
19	9, 1, 5	resvval2 27470	. . . . . 6 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) )
20	19	fveq2d 5863	. . . . 5 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) ) )
21	18, 20	eqtr4d 2506	. . . 4 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
22	21	3expib 1194	. . 3 |- ( -. B C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) ) )
23	13, 22	pm2.61i 164	. 2 |- ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
24		0fv 5892	. . . . 5 |- ( (/) ` (Scalar ` ndx ) ) = (/)
25		0ex 4572	. . . . . 6 |- (/) e. _V
26	25, 16	strfvn 14498	. . . . 5 |- (Scalar ` (/) ) = ( (/) ` (Scalar ` ndx ) )
27		ress0 14540	. . . . 5 |- ( (/) ↾s A ) = (/)
28	24, 26, 27	3eqtr4ri 2502	. . . 4 |- ( (/) ↾s A ) = (Scalar ` (/) )
29		fvprc 5853	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> (Scalar ` W ) = (/) )
30	1, 29	syl5eq 2515	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> F = (/) )
31	30	oveq1d 6292	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> ( F ↾s A ) = ( (/) ↾s A ) )
32		reldmresv 27467	. . . . . . 7 |- Rel dom ↾v
33	32	ovprc1 6305	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> ( W ↾v A ) = (/) )
34	9, 33	syl5eq 2515	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> R = (/) )
35	34	fveq2d 5863	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` (/) ) )
36	28, 31, 35	3eqtr4a 2529	. . 3 |- ( -. W e. _V -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
37	36	adantr 465	. 2 |- ( ( -. W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
38	23, 37	pm2.61ian 788	1 |- ( A e. V -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   _Vcvv 3108   C_ wss 3471   (/)c0 3780   <.cop 4028   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   ndxcnx 14478   sSet csts 14479   Basecbs 14481   ↾_s cress 14482  Scalarcsca 14549   ↾_v cresv 27465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-sca 14562  df-resv 27466

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  27485