Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvsca Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem resvsca 28667
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvsca.r  |-  R  =  ( Wv  A )
resvsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
resvsca.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
resvsca  |-  ( A  e.  V  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R ) )

Proof of Theorem resvsca
StepHypRef Expression
1 resvsca.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2545 . . . . . . 7  |-  F  e. 
_V
4 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Fs  A )  =  ( Fs  A )
5 resvsca.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  F
)
64, 5ressid2 15255 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  F  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  F )
73, 6mp3an2 1378 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  F )
873adant2 1049 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  F )
9 resvsca.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Wv  A )
109, 1, 5resvid2 28665 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  W )
1110fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  W ) )
121, 8, 113eqtr4a 2531 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R ) )
13123expib 1234 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R
) ) )
14 simp2 1031 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  W  e.  _V )
15 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( Fs  A )  e.  _V
16 scaid 15336 . . . . . . 7  |- Scalar  = Slot  (Scalar ` 
ndx )
1716setsid 15242 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ( Fs  A )  e.  _V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Fs  A
) >. ) ) )
1814, 15, 17sylancl 675 . . . . 5  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Fs  A
) >. ) ) )
199, 1, 5resvval2 28666 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Fs  A
) >. ) )
2019fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  ( W sSet  <.
(Scalar `  ndx ) ,  ( Fs  A ) >. )
) )
2118, 20eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R
) )
22213expib 1234 . . 3  |-  ( -.  B  C_  A  ->  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R
) ) )
2313, 22pm2.61i 169 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R ) )
24 0fv 5912 . . . . 5  |-  ( (/) `  (Scalar `  ndx ) )  =  (/)
25 0ex 4528 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2625, 16strfvn 15216 . . . . 5  |-  (Scalar `  (/) )  =  ( (/) `  (Scalar `  ndx ) )
27 ress0 15261 . . . . 5  |-  ( (/)s  A )  =  (/)
2824, 26, 273eqtr4ri 2504 . . . 4  |-  ( (/)s  A )  =  (Scalar `  (/) )
29 fvprc 5873 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (Scalar `  W )  =  (/) )
301, 29syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  F  =  (/) )
3130oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Fs  A )  =  (
(/)s  A ) )
32 reldmresv 28663 . . . . . . 7  |-  Rel  domv
3332ovprc1 6339 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Wv  A )  =  (/) )
349, 33syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  R  =  (/) )
3534fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  (/) ) )
3628, 31, 353eqtr4a 2531 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R ) )
3736adantr 472 . 2  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R
) )
3823, 37pm2.61ian 807 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   <.cop 3965   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ndxcnx 15196   sSet csts 15197   Basecbs 15199   ↾s cress 15200  Scalarcsca 15271   ↾v cresv 28661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-sca 15284  df-resv 28662
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  28681  sitgaddlemb  29254
  Copyright terms: Public domain W3C validator