Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvsca Structured version   Unicode version

Theorem resvsca 27471
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvsca.r  |-  R  =  ( Wv  A )
resvsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
resvsca.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
resvsca  |-  ( A  e.  V  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R ) )

Proof of Theorem resvsca
StepHypRef Expression
1 resvsca.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 fvex 5869 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2546 . . . . . . 7  |-  F  e. 
_V
4 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( Fs  A )  =  ( Fs  A )
5 resvsca.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  F
)
64, 5ressid2 14534 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  F  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  F )
73, 6mp3an2 1307 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  F )
873adant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  F )
9 resvsca.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Wv  A )
109, 1, 5resvid2 27469 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  W )
1110fveq2d 5863 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  W ) )
121, 8, 113eqtr4a 2529 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R ) )
13123expib 1194 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R
) ) )
14 simp2 992 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  W  e.  _V )
15 ovex 6302 . . . . . 6  |-  ( Fs  A )  e.  _V
16 scaid 14607 . . . . . . 7  |- Scalar  = Slot  (Scalar ` 
ndx )
1716setsid 14522 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ( Fs  A )  e.  _V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Fs  A
) >. ) ) )
1814, 15, 17sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Fs  A
) >. ) ) )
199, 1, 5resvval2 27470 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Fs  A
) >. ) )
2019fveq2d 5863 . . . . 5  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  ( W sSet  <.
(Scalar `  ndx ) ,  ( Fs  A ) >. )
) )
2118, 20eqtr4d 2506 . . . 4  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R
) )
22213expib 1194 . . 3  |-  ( -.  B  C_  A  ->  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R
) ) )
2313, 22pm2.61i 164 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R ) )
24 0fv 5892 . . . . 5  |-  ( (/) `  (Scalar `  ndx ) )  =  (/)
25 0ex 4572 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2625, 16strfvn 14498 . . . . 5  |-  (Scalar `  (/) )  =  ( (/) `  (Scalar `  ndx ) )
27 ress0 14540 . . . . 5  |-  ( (/)s  A )  =  (/)
2824, 26, 273eqtr4ri 2502 . . . 4  |-  ( (/)s  A )  =  (Scalar `  (/) )
29 fvprc 5853 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (Scalar `  W )  =  (/) )
301, 29syl5eq 2515 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  F  =  (/) )
3130oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Fs  A )  =  (
(/)s  A ) )
32 reldmresv 27467 . . . . . . 7  |-  Rel  domv
3332ovprc1 6305 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Wv  A )  =  (/) )
349, 33syl5eq 2515 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  R  =  (/) )
3534fveq2d 5863 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  (/) ) )
3628, 31, 353eqtr4a 2529 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R ) )
3736adantr 465 . 2  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R
) )
3823, 37pm2.61ian 788 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( Fs  A )  =  (Scalar `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   (/)c0 3780   <.cop 4028   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   ndxcnx 14478   sSet csts 14479   Basecbs 14481   ↾s cress 14482  Scalarcsca 14549   ↾v cresv 27465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-sca 14562  df-resv 27466
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  27485
  Copyright terms: Public domain W3C validator