Theorem resvsca 28286

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvsca.r	|- R = ( W ↾v A )
resvsca.f	|- F = (Scalar ` W )
resvsca.b	|- B = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
resvsca	|- ( A e. V -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )

Proof of Theorem resvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvsca.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
2		fvex 5861	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` W ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2488	. . . . . . 7 |- F e. _V
4		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( F ↾s A ) = ( F ↾s A )
5		resvsca.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` F )
6	4, 5	ressid2 14898	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ F e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = F )
7	3, 6	mp3an2 1316	. . . . . 6 |- ( ( B C_ A /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = F )
8	7	3adant2 1018	. . . . 5 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = F )
9		resvsca.r	. . . . . . 7 |- R = ( W ↾v A )
10	9, 1, 5	resvid2 28284	. . . . . 6 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = W )
11	10	fveq2d 5855	. . . . 5 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` W ) )
12	1, 8, 11	3eqtr4a 2471	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
13	12	3expib 1202	. . 3 |- ( B C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) ) )
14		simp2 1000	. . . . . 6 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> W e. _V )
15		ovex 6308	. . . . . 6 |- ( F ↾s A ) e. _V
16		scaid 14976	. . . . . . 7 |- Scalar = Slot (Scalar ` ndx )
17	16	setsid 14886	. . . . . 6 |- ( ( W e. _V /\ ( F ↾s A ) e. _V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) ) )
18	14, 15, 17	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) ) )
19	9, 1, 5	resvval2 28285	. . . . . 6 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) )
20	19	fveq2d 5855	. . . . 5 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( F ↾s A ) >. ) ) )
21	18, 20	eqtr4d 2448	. . . 4 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
22	21	3expib 1202	. . 3 |- ( -. B C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) ) )
23	13, 22	pm2.61i 166	. 2 |- ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
24		0fv 5884	. . . . 5 |- ( (/) ` (Scalar ` ndx ) ) = (/)
25		0ex 4528	. . . . . 6 |- (/) e. _V
26	25, 16	strfvn 14860	. . . . 5 |- (Scalar ` (/) ) = ( (/) ` (Scalar ` ndx ) )
27		ress0 14904	. . . . 5 |- ( (/) ↾s A ) = (/)
28	24, 26, 27	3eqtr4ri 2444	. . . 4 |- ( (/) ↾s A ) = (Scalar ` (/) )
29		fvprc 5845	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> (Scalar ` W ) = (/) )
30	1, 29	syl5eq 2457	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> F = (/) )
31	30	oveq1d 6295	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> ( F ↾s A ) = ( (/) ↾s A ) )
32		reldmresv 28282	. . . . . . 7 |- Rel dom ↾v
33	32	ovprc1 6311	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> ( W ↾v A ) = (/) )
34	9, 33	syl5eq 2457	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> R = (/) )
35	34	fveq2d 5855	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` (/) ) )
36	28, 31, 35	3eqtr4a 2471	. . 3 |- ( -. W e. _V -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
37	36	adantr 465	. 2 |- ( ( -. W e. _V /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )
38	23, 37	pm2.61ian 793	1 |- ( A e. V -> ( F ↾s A ) = (Scalar ` R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   e. wcel 1844   _Vcvv 3061   C_ wss 3416   (/)c0 3740   <.cop 3980   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   ndxcnx 14840   sSet csts 14841   Basecbs 14843   ↾_s cress 14844  Scalarcsca 14914   ↾_v cresv 28280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-sca 14927  df-resv 28281

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  28300