Theorem resvlem 28668

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlem.r	|- R = ( W ↾v A )
resvlem.e	|- C = ( E ` W )
resvlem.f	|- E = Slot N
resvlem.n	|- N e. NN
resvlem.b	|- N =/= 5

Assertion

Ref	Expression
resvlem	|- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Proof of Theorem resvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlem.r	. . . . . . 7 |- R = ( W ↾v A )
2		eqid 2471	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
4	1, 2, 3	resvid2 28665	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = W )
5	4	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
6	5	3expib 1234	. . . 4 |- ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
7	1, 2, 3	resvval2 28666	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) )
8	7	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) ) )
9		resvlem.f	. . . . . . . 8 |- E = Slot N
10		resvlem.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
11	9, 10	ndxid 15220	. . . . . . 7 |- E = Slot ( E ` ndx )
12	9, 10	ndxarg 15219	. . . . . . . . 9 |- ( E ` ndx ) = N
13		resvlem.b	. . . . . . . . 9 |- N =/= 5
14	12, 13	eqnetri 2713	. . . . . . . 8 |- ( E ` ndx ) =/= 5
15		scandx 15335	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` ndx ) = 5
16	14, 15	neeqtrri 2716	. . . . . . 7 |- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
17	11, 16	setsnid 15243	. . . . . 6 |- ( E ` W ) = ( E ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) )
18	8, 17	syl6eqr 2523	. . . . 5 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
19	18	3expib 1234	. . . 4 |- ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
20	6, 19	pm2.61i 169	. . 3 |- ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
21		reldmresv 28663	. . . . . . . . 9 |- Rel dom ↾v
22	21	ovprc1 6339	. . . . . . . 8 |- ( -. W e. _V -> ( W ↾v A ) = (/) )
23	1, 22	syl5eq 2517	. . . . . . 7 |- ( -. W e. _V -> R = (/) )
24	23	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` (/) ) )
25	9	str0 15239	. . . . . 6 |- (/) = ( E ` (/) )
26	24, 25	syl6eqr 2523	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = (/) )
27		fvprc 5873	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` W ) = (/) )
28	26, 27	eqtr4d 2508	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
29	28	adantr 472	. . 3 |- ( ( -. W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
30	20, 29	pm2.61ian 807	. 2 |- ( A e. V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
31		resvlem.e	. 2 |- C = ( E ` W )
32	30, 31	syl6reqr 2524	1 |- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   <.cop 3965   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   NNcn 10631   5c5 10684   ndxcnx 15196   sSet csts 15197  Slot cslot 15198   Basecbs 15199   ↾_s cress 15200  Scalarcsca 15271   ↾_v cresv 28661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-sets 15205  df-sca 15284  df-resv 28662

This theorem is referenced by:  resvbas  28669  resvplusg  28670  resvvsca  28671  resvmulr  28672