Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvlem Structured version   Unicode version

Theorem resvlem 28056
Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvlem.r  |-  R  =  ( Wv  A )
resvlem.e  |-  C  =  ( E `  W
)
resvlem.f  |-  E  = Slot 
N
resvlem.n  |-  N  e.  NN
resvlem.b  |-  N  =/=  5
Assertion
Ref Expression
resvlem  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )

Proof of Theorem resvlem
StepHypRef Expression
1 resvlem.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Wv  A )
2 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
41, 2, 3resvid2 28053 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  W )
54fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
653expib 1197 . . . 4  |-  ( (
Base `  (Scalar `  W
) )  C_  A  ->  ( ( W  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
71, 2, 3resvval2 28054 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W )s  A ) >. )
)
87fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W
)s 
A ) >. )
) )
9 resvlem.f . . . . . . . 8  |-  E  = Slot 
N
10 resvlem.n . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
119, 10ndxid 14737 . . . . . . 7  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
129, 10ndxarg 14736 . . . . . . . . 9  |-  ( E `
 ndx )  =  N
13 resvlem.b . . . . . . . . 9  |-  N  =/=  5
1412, 13eqnetri 2750 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =/=  5
15 scandx 14848 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
1614, 15neeqtrri 2753 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  =/=  (Scalar `  ndx )
1711, 16setsnid 14760 . . . . . 6  |-  ( E `
 W )  =  ( E `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W )s  A ) >. )
)
188, 17syl6eqr 2513 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
19183expib 1197 . . . 4  |-  ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  ->  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
206, 19pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R
)  =  ( E `
 W ) )
21 reldmresv 28051 . . . . . . . . 9  |-  Rel  domv
2221ovprc1 6301 . . . . . . . 8  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Wv  A )  =  (/) )
231, 22syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  R  =  (/) )
2423fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  (/) ) )
259str0 14756 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
2624, 25syl6eqr 2513 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  (/) )
27 fvprc 5842 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  W )  =  (/) )
2826, 27eqtr4d 2498 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
2928adantr 463 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
3020, 29pm2.61ian 788 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
31 resvlem.e . 2  |-  C  =  ( E `  W
)
3230, 31syl6reqr 2514 1  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   (/)c0 3783   <.cop 4022   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   NNcn 10531   5c5 10584   ndxcnx 14713   sSet csts 14714  Slot cslot 14715   Basecbs 14716   ↾s cress 14717  Scalarcsca 14787   ↾v cresv 28049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-sets 14722  df-sca 14800  df-resv 28050
This theorem is referenced by:  resvbas  28057  resvplusg  28058  resvvsca  28059  resvmulr  28060
  Copyright terms: Public domain W3C validator