Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvlem Structured version   Unicode version

Theorem resvlem 27512
Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvlem.r  |-  R  =  ( Wv  A )
resvlem.e  |-  C  =  ( E `  W
)
resvlem.f  |-  E  = Slot 
N
resvlem.n  |-  N  e.  NN
resvlem.b  |-  N  =/=  5
Assertion
Ref Expression
resvlem  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )

Proof of Theorem resvlem
StepHypRef Expression
1 resvlem.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Wv  A )
2 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
41, 2, 3resvid2 27509 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  W )
54fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
653expib 1199 . . . 4  |-  ( (
Base `  (Scalar `  W
) )  C_  A  ->  ( ( W  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
71, 2, 3resvval2 27510 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W )s  A ) >. )
)
87fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W
)s 
A ) >. )
) )
9 resvlem.f . . . . . . . 8  |-  E  = Slot 
N
10 resvlem.n . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
119, 10ndxid 14511 . . . . . . 7  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
129, 10ndxarg 14510 . . . . . . . . 9  |-  ( E `
 ndx )  =  N
13 resvlem.b . . . . . . . . 9  |-  N  =/=  5
1412, 13eqnetri 2763 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =/=  5
15 scandx 14615 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
1614, 15neeqtrri 2766 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  =/=  (Scalar `  ndx )
1711, 16setsnid 14532 . . . . . 6  |-  ( E `
 W )  =  ( E `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W )s  A ) >. )
)
188, 17syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
19183expib 1199 . . . 4  |-  ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  ->  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
206, 19pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R
)  =  ( E `
 W ) )
21 reldmresv 27507 . . . . . . . . 9  |-  Rel  domv
2221ovprc1 6312 . . . . . . . 8  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Wv  A )  =  (/) )
231, 22syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  R  =  (/) )
2423fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  (/) ) )
259str0 14528 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
2624, 25syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  (/) )
27 fvprc 5860 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  W )  =  (/) )
2826, 27eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
2928adantr 465 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
3020, 29pm2.61ian 788 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
31 resvlem.e . 2  |-  C  =  ( E `  W
)
3230, 31syl6reqr 2527 1  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   <.cop 4033   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   NNcn 10536   5c5 10588   ndxcnx 14487   sSet csts 14488  Slot cslot 14489   Basecbs 14490   ↾s cress 14491  Scalarcsca 14558   ↾v cresv 27505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-sets 14496  df-sca 14571  df-resv 27506
This theorem is referenced by:  resvbas  27513  resvplusg  27514  resvvsca  27515  resvmulr  27516
  Copyright terms: Public domain W3C validator