Theorem resvlem 28594

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlem.r	|- R = ( W ↾v A )
resvlem.e	|- C = ( E ` W )
resvlem.f	|- E = Slot N
resvlem.n	|- N e. NN
resvlem.b	|- N =/= 5

Assertion

Ref	Expression
resvlem	|- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Proof of Theorem resvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlem.r	. . . . . . 7 |- R = ( W ↾v A )
2		eqid 2451	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
4	1, 2, 3	resvid2 28591	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = W )
5	4	fveq2d 5869	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
6	5	3expib 1211	. . . 4 |- ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
7	1, 2, 3	resvval2 28592	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) )
8	7	fveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) ) )
9		resvlem.f	. . . . . . . 8 |- E = Slot N
10		resvlem.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
11	9, 10	ndxid 15142	. . . . . . 7 |- E = Slot ( E ` ndx )
12	9, 10	ndxarg 15141	. . . . . . . . 9 |- ( E ` ndx ) = N
13		resvlem.b	. . . . . . . . 9 |- N =/= 5
14	12, 13	eqnetri 2694	. . . . . . . 8 |- ( E ` ndx ) =/= 5
15		scandx 15257	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` ndx ) = 5
16	14, 15	neeqtrri 2697	. . . . . . 7 |- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
17	11, 16	setsnid 15165	. . . . . 6 |- ( E ` W ) = ( E ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) )
18	8, 17	syl6eqr 2503	. . . . 5 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
19	18	3expib 1211	. . . 4 |- ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
20	6, 19	pm2.61i 168	. . 3 |- ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
21		reldmresv 28589	. . . . . . . . 9 |- Rel dom ↾v
22	21	ovprc1 6321	. . . . . . . 8 |- ( -. W e. _V -> ( W ↾v A ) = (/) )
23	1, 22	syl5eq 2497	. . . . . . 7 |- ( -. W e. _V -> R = (/) )
24	23	fveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` (/) ) )
25	9	str0 15161	. . . . . 6 |- (/) = ( E ` (/) )
26	24, 25	syl6eqr 2503	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = (/) )
27		fvprc 5859	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` W ) = (/) )
28	26, 27	eqtr4d 2488	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
29	28	adantr 467	. . 3 |- ( ( -. W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
30	20, 29	pm2.61ian 799	. 2 |- ( A e. V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
31		resvlem.e	. 2 |- C = ( E ` W )
32	30, 31	syl6reqr 2504	1 |- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   (/)c0 3731   <.cop 3974   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   NNcn 10609   5c5 10662   ndxcnx 15118   sSet csts 15119  Slot cslot 15120   Basecbs 15121   ↾_s cress 15122  Scalarcsca 15193   ↾_v cresv 28587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-sets 15127  df-sca 15206  df-resv 28588

This theorem is referenced by:  resvbas  28595  resvplusg  28596  resvvsca  28597  resvmulr  28598