Theorem resvlem 27512

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlem.r	|- R = ( W ↾v A )
resvlem.e	|- C = ( E ` W )
resvlem.f	|- E = Slot N
resvlem.n	|- N e. NN
resvlem.b	|- N =/= 5

Assertion

Ref	Expression
resvlem	|- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Proof of Theorem resvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlem.r	. . . . . . 7 |- R = ( W ↾v A )
2		eqid 2467	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
4	1, 2, 3	resvid2 27509	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = W )
5	4	fveq2d 5870	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
6	5	3expib 1199	. . . 4 |- ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
7	1, 2, 3	resvval2 27510	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) )
8	7	fveq2d 5870	. . . . . 6 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) ) )
9		resvlem.f	. . . . . . . 8 |- E = Slot N
10		resvlem.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
11	9, 10	ndxid 14511	. . . . . . 7 |- E = Slot ( E ` ndx )
12	9, 10	ndxarg 14510	. . . . . . . . 9 |- ( E ` ndx ) = N
13		resvlem.b	. . . . . . . . 9 |- N =/= 5
14	12, 13	eqnetri 2763	. . . . . . . 8 |- ( E ` ndx ) =/= 5
15		scandx 14615	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` ndx ) = 5
16	14, 15	neeqtrri 2766	. . . . . . 7 |- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
17	11, 16	setsnid 14532	. . . . . 6 |- ( E ` W ) = ( E ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) )
18	8, 17	syl6eqr 2526	. . . . 5 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
19	18	3expib 1199	. . . 4 |- ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
20	6, 19	pm2.61i 164	. . 3 |- ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
21		reldmresv 27507	. . . . . . . . 9 |- Rel dom ↾v
22	21	ovprc1 6312	. . . . . . . 8 |- ( -. W e. _V -> ( W ↾v A ) = (/) )
23	1, 22	syl5eq 2520	. . . . . . 7 |- ( -. W e. _V -> R = (/) )
24	23	fveq2d 5870	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` (/) ) )
25	9	str0 14528	. . . . . 6 |- (/) = ( E ` (/) )
26	24, 25	syl6eqr 2526	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = (/) )
27		fvprc 5860	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` W ) = (/) )
28	26, 27	eqtr4d 2511	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
29	28	adantr 465	. . 3 |- ( ( -. W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
30	20, 29	pm2.61ian 788	. 2 |- ( A e. V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
31		resvlem.e	. 2 |- C = ( E ` W )
32	30, 31	syl6reqr 2527	1 |- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   <.cop 4033   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   NNcn 10536   5c5 10588   ndxcnx 14487   sSet csts 14488  Slot cslot 14489   Basecbs 14490   ↾_s cress 14491  Scalarcsca 14558   ↾_v cresv 27505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-sets 14496  df-sca 14571  df-resv 27506

This theorem is referenced by:  resvbas  27513  resvplusg  27514  resvvsca  27515  resvmulr  27516