Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvlem Structured version   Unicode version

Theorem resvlem 26297
Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvlem.r  |-  R  =  ( Wv  A )
resvlem.e  |-  C  =  ( E `  W
)
resvlem.f  |-  E  = Slot 
N
resvlem.n  |-  N  e.  NN
resvlem.b  |-  N  =/=  5
Assertion
Ref Expression
resvlem  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )

Proof of Theorem resvlem
StepHypRef Expression
1 resvlem.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Wv  A )
2 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
41, 2, 3resvid2 26294 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  W )
54fveq2d 5693 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
653expib 1190 . . . 4  |-  ( (
Base `  (Scalar `  W
) )  C_  A  ->  ( ( W  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
71, 2, 3resvval2 26295 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W )s  A ) >. )
)
87fveq2d 5693 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W
)s 
A ) >. )
) )
9 resvlem.f . . . . . . . 8  |-  E  = Slot 
N
10 resvlem.n . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
119, 10ndxid 14193 . . . . . . 7  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
129, 10ndxarg 14192 . . . . . . . . 9  |-  ( E `
 ndx )  =  N
13 resvlem.b . . . . . . . . 9  |-  N  =/=  5
1412, 13eqnetri 2623 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =/=  5
15 scandx 14296 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
1614, 15neeqtrri 2629 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  =/=  (Scalar `  ndx )
1711, 16setsnid 14214 . . . . . 6  |-  ( E `
 W )  =  ( E `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W )s  A ) >. )
)
188, 17syl6eqr 2491 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
19183expib 1190 . . . 4  |-  ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  ->  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
206, 19pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R
)  =  ( E `
 W ) )
21 reldmresv 26292 . . . . . . . . 9  |-  Rel  domv
2221ovprc1 6117 . . . . . . . 8  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Wv  A )  =  (/) )
231, 22syl5eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  R  =  (/) )
2423fveq2d 5693 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  (/) ) )
259str0 14210 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
2624, 25syl6eqr 2491 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  (/) )
27 fvprc 5683 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  W )  =  (/) )
2826, 27eqtr4d 2476 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
2928adantr 465 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
3020, 29pm2.61ian 788 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
31 resvlem.e . 2  |-  C  =  ( E `  W
)
3230, 31syl6reqr 2492 1  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   (/)c0 3635   <.cop 3881   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   NNcn 10320   5c5 10372   ndxcnx 14169   sSet csts 14170  Slot cslot 14171   Basecbs 14172   ↾s cress 14173  Scalarcsca 14239   ↾v cresv 26290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-sets 14178  df-sca 14252  df-resv 26291
This theorem is referenced by:  resvbas  26298  resvplusg  26299  resvvsca  26300  resvmulr  26301
  Copyright terms: Public domain W3C validator