Theorem resvlem 26297

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlem.r	|- R = ( W ↾v A )
resvlem.e	|- C = ( E ` W )
resvlem.f	|- E = Slot N
resvlem.n	|- N e. NN
resvlem.b	|- N =/= 5

Assertion

Ref	Expression
resvlem	|- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Proof of Theorem resvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlem.r	. . . . . . 7 |- R = ( W ↾v A )
2		eqid 2441	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
4	1, 2, 3	resvid2 26294	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = W )
5	4	fveq2d 5693	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
6	5	3expib 1190	. . . 4 |- ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
7	1, 2, 3	resvval2 26295	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) )
8	7	fveq2d 5693	. . . . . 6 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) ) )
9		resvlem.f	. . . . . . . 8 |- E = Slot N
10		resvlem.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
11	9, 10	ndxid 14193	. . . . . . 7 |- E = Slot ( E ` ndx )
12	9, 10	ndxarg 14192	. . . . . . . . 9 |- ( E ` ndx ) = N
13		resvlem.b	. . . . . . . . 9 |- N =/= 5
14	12, 13	eqnetri 2623	. . . . . . . 8 |- ( E ` ndx ) =/= 5
15		scandx 14296	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` ndx ) = 5
16	14, 15	neeqtrri 2629	. . . . . . 7 |- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
17	11, 16	setsnid 14214	. . . . . 6 |- ( E ` W ) = ( E ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) )
18	8, 17	syl6eqr 2491	. . . . 5 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
19	18	3expib 1190	. . . 4 |- ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
20	6, 19	pm2.61i 164	. . 3 |- ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
21		reldmresv 26292	. . . . . . . . 9 |- Rel dom ↾v
22	21	ovprc1 6117	. . . . . . . 8 |- ( -. W e. _V -> ( W ↾v A ) = (/) )
23	1, 22	syl5eq 2485	. . . . . . 7 |- ( -. W e. _V -> R = (/) )
24	23	fveq2d 5693	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` (/) ) )
25	9	str0 14210	. . . . . 6 |- (/) = ( E ` (/) )
26	24, 25	syl6eqr 2491	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = (/) )
27		fvprc 5683	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` W ) = (/) )
28	26, 27	eqtr4d 2476	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
29	28	adantr 465	. . 3 |- ( ( -. W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
30	20, 29	pm2.61ian 788	. 2 |- ( A e. V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
31		resvlem.e	. 2 |- C = ( E ` W )
32	30, 31	syl6reqr 2492	1 |- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2604   _Vcvv 2970   C_ wss 3326   (/)c0 3635   <.cop 3881   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   NNcn 10320   5c5 10372   ndxcnx 14169   sSet csts 14170  Slot cslot 14171   Basecbs 14172   ↾_s cress 14173  Scalarcsca 14239   ↾_v cresv 26290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-sets 14178  df-sca 14252  df-resv 26291

This theorem is referenced by:  resvbas  26298  resvplusg  26299  resvvsca  26300  resvmulr  26301