Theorem resvlem 28056

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlem.r	|- R = ( W ↾v A )
resvlem.e	|- C = ( E ` W )
resvlem.f	|- E = Slot N
resvlem.n	|- N e. NN
resvlem.b	|- N =/= 5

Assertion

Ref	Expression
resvlem	|- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Proof of Theorem resvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlem.r	. . . . . . 7 |- R = ( W ↾v A )
2		eqid 2454	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
4	1, 2, 3	resvid2 28053	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = W )
5	4	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
6	5	3expib 1197	. . . 4 |- ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
7	1, 2, 3	resvval2 28054	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) )
8	7	fveq2d 5852	. . . . . 6 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) ) )
9		resvlem.f	. . . . . . . 8 |- E = Slot N
10		resvlem.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
11	9, 10	ndxid 14737	. . . . . . 7 |- E = Slot ( E ` ndx )
12	9, 10	ndxarg 14736	. . . . . . . . 9 |- ( E ` ndx ) = N
13		resvlem.b	. . . . . . . . 9 |- N =/= 5
14	12, 13	eqnetri 2750	. . . . . . . 8 |- ( E ` ndx ) =/= 5
15		scandx 14848	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` ndx ) = 5
16	14, 15	neeqtrri 2753	. . . . . . 7 |- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
17	11, 16	setsnid 14760	. . . . . 6 |- ( E ` W ) = ( E ` ( W sSet <. (Scalar ` ndx ) , ( (Scalar ` W ) ↾s A ) >. ) )
18	8, 17	syl6eqr 2513	. . . . 5 |- ( ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
19	18	3expib 1197	. . . 4 |- ( -. ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
20	6, 19	pm2.61i 164	. . 3 |- ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
21		reldmresv 28051	. . . . . . . . 9 |- Rel dom ↾v
22	21	ovprc1 6301	. . . . . . . 8 |- ( -. W e. _V -> ( W ↾v A ) = (/) )
23	1, 22	syl5eq 2507	. . . . . . 7 |- ( -. W e. _V -> R = (/) )
24	23	fveq2d 5852	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` (/) ) )
25	9	str0 14756	. . . . . 6 |- (/) = ( E ` (/) )
26	24, 25	syl6eqr 2513	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = (/) )
27		fvprc 5842	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` W ) = (/) )
28	26, 27	eqtr4d 2498	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
29	28	adantr 463	. . 3 |- ( ( -. W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
30	20, 29	pm2.61ian 788	. 2 |- ( A e. V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
31		resvlem.e	. 2 |- C = ( E ` W )
32	30, 31	syl6reqr 2514	1 |- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   (/)c0 3783   <.cop 4022   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   NNcn 10531   5c5 10584   ndxcnx 14713   sSet csts 14714  Slot cslot 14715   Basecbs 14716   ↾_s cress 14717  Scalarcsca 14787   ↾_v cresv 28049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-sets 14722  df-sca 14800  df-resv 28050

This theorem is referenced by:  resvbas  28057  resvplusg  28058  resvvsca  28059  resvmulr  28060