Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem resvlem 28668
Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvlem.r  |-  R  =  ( Wv  A )
resvlem.e  |-  C  =  ( E `  W
)
resvlem.f  |-  E  = Slot 
N
resvlem.n  |-  N  e.  NN
resvlem.b  |-  N  =/=  5
Assertion
Ref Expression
resvlem  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )

Proof of Theorem resvlem
StepHypRef Expression
1 resvlem.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Wv  A )
2 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
41, 2, 3resvid2 28665 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  W )
54fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
653expib 1234 . . . 4  |-  ( (
Base `  (Scalar `  W
) )  C_  A  ->  ( ( W  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
71, 2, 3resvval2 28666 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W )s  A ) >. )
)
87fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W
)s 
A ) >. )
) )
9 resvlem.f . . . . . . . 8  |-  E  = Slot 
N
10 resvlem.n . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
119, 10ndxid 15220 . . . . . . 7  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
129, 10ndxarg 15219 . . . . . . . . 9  |-  ( E `
 ndx )  =  N
13 resvlem.b . . . . . . . . 9  |-  N  =/=  5
1412, 13eqnetri 2713 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =/=  5
15 scandx 15335 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
1614, 15neeqtrri 2716 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  =/=  (Scalar `  ndx )
1711, 16setsnid 15243 . . . . . 6  |-  ( E `
 W )  =  ( E `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( (Scalar `  W )s  A ) >. )
)
188, 17syl6eqr 2523 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
19183expib 1234 . . . 4  |-  ( -.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  A  ->  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
206, 19pm2.61i 169 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R
)  =  ( E `
 W ) )
21 reldmresv 28663 . . . . . . . . 9  |-  Rel  domv
2221ovprc1 6339 . . . . . . . 8  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Wv  A )  =  (/) )
231, 22syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  R  =  (/) )
2423fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  (/) ) )
259str0 15239 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
2624, 25syl6eqr 2523 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  (/) )
27 fvprc 5873 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  W )  =  (/) )
2826, 27eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
2928adantr 472 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
3020, 29pm2.61ian 807 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
31 resvlem.e . 2  |-  C  =  ( E `  W
)
3230, 31syl6reqr 2524 1  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   <.cop 3965   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   NNcn 10631   5c5 10684   ndxcnx 15196   sSet csts 15197  Slot cslot 15198   Basecbs 15199   ↾s cress 15200  Scalarcsca 15271   ↾v cresv 28661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-sets 15205  df-sca 15284  df-resv 28662
This theorem is referenced by:  resvbas  28669  resvplusg  28670  resvvsca  28671  resvmulr  28672
  Copyright terms: Public domain W3C validator