Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resv0g Structured version   Unicode version

Theorem resv0g 28015
Description:  0g is unaffected by scalar restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvbas.1  |-  H  =  ( Gv  A )
resv0g.2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
resv0g  |-  ( A  e.  V  ->  .0.  =  ( 0g `  H ) )

Proof of Theorem resv0g
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resv0g.2 . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
2 eqidd 2397 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  G
) )
3 resvbas.1 . . . 4  |-  H  =  ( Gv  A )
4 eqid 2396 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
53, 4resvbas 28011 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  H
) )
6 eqid 2396 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
73, 6resvplusg 28012 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
87oveqdr 6242 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( x ( +g  `  H
) y ) )
92, 5, 8grpidpropd 16028 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H
) )
101, 9syl5eq 2449 1  |-  ( A  e.  V  ->  .0.  =  ( 0g `  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   Basecbs 14657   +g cplusg 14725   0gc0g 14870   ↾v cresv 28003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-plusg 14738  df-sca 14741  df-0g 14872  df-resv 28004
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  28023
  Copyright terms: Public domain W3C validator