MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcld Structured version   Unicode version

Theorem resubcld 9976
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
renegcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resubcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resubcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem resubcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resubcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 resubcl 9872 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762  (class class class)co 6275   RRcr 9480    - cmin 9794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9796  df-neg 9797
This theorem is referenced by:  ltsubadd  10011  lesubadd  10013  lesub1  10035  lesub2  10036  ltsub1  10037  ltsub2  10038  lt2sub  10039  le2sub  10040  ltmul1a  10380  cru  10517  qbtwnre  11387  lincmb01cmp  11652  iccf1o  11653  xov1plusxeqvd  11655  intfracq  11942  fldiv  11943  modlt  11962  modsubdir  12011  serle  12118  expmulnbnd  12253  discr  12258  fzsdom2  12438  cshwidxmod  12724  crre  12897  remullem  12911  sqrlem7  13032  absrdbnd  13123  fzomaxdiflem  13124  caubnd2  13139  amgm2  13151  mulcn2  13367  reccn2  13368  rlimo1  13388  climle  13411  climsqz  13412  climsqz2  13413  rlimle  13419  isercolllem1  13436  climsup  13441  caucvgrlem  13444  caucvgrlem2  13446  iseraltlem2  13454  iseraltlem3  13455  iseralt  13456  fsumle  13562  cvgcmp  13579  cvgcmpce  13581  eflt  13702  resinhcl  13741  tanhlt1  13745  sin01bnd  13770  sin01gt0  13775  moddvds  13843  bitscmp  13936  bitsinv1lem  13939  smueqlem  13988  modprm0  14178  pcbc  14267  4sqlem15  14325  blss2ps  20634  blss2  20635  blssps  20655  blss  20656  nm2dif  20872  nlmvscnlem2  20922  nrginvrcnlem  20927  iccntr  21054  icccmplem2  21056  metdstri  21083  cnllycmp  21184  evth  21187  lebnumii  21194  ipcnlem2  21412  cncmet  21489  rrxds  21553  rrxmval  21560  rrxmet  21563  rrxdstprj1  21564  minveclem3b  21571  minveclem4  21575  ivthlem2  21592  ivthlem3  21593  ovollb2lem  21627  ovoliunlem1  21641  ovolscalem1  21652  ovolicc1  21655  ovolicc2lem4  21659  ovolicc2  21661  ovolicc  21662  voliunlem2  21689  ovolioo  21706  ioorcl2  21709  uniioovol  21716  uniioombllem2  21720  uniioombllem3a  21721  uniioombllem3  21722  uniioombllem4  21723  uniioombllem6  21725  opnmbllem  21738  volcn  21743  vitalilem2  21746  ismbf3d  21789  mbfaddlem  21795  i1fadd  21830  itg1addlem4  21834  mbfi1fseqlem6  21855  itg2seq  21877  itg2split  21884  itg2cnlem2  21897  itg2cn  21898  itgrevallem1  21929  dvcjbr  22080  dvferm1lem  22113  dvferm2lem  22115  cmvth  22120  mvth  22121  dvlip  22122  dvlip2  22124  c1liplem1  22125  dvgt0  22133  dvlt0  22134  dvge0  22135  dvle  22136  dvivthlem1  22137  lhop1lem  22142  lhop  22145  dvcnvrelem1  22146  dvcnvrelem2  22147  dvcnvre  22148  dvcvx  22149  dvfsumle  22150  dvfsumge  22151  dvfsumrlimf  22154  dvfsumlem2  22156  dvfsumlem3  22157  dvfsumlem4  22158  dvfsum2  22163  ftc1a  22166  ftc1lem4  22168  coe1mul3  22228  ply1divex  22265  plydivex  22420  aalioulem2  22456  aalioulem3  22457  aalioulem4  22458  aalioulem5  22459  aalioulem6  22460  aaliou3lem7  22472  taylthlem2  22496  mtest  22526  pilem2  22574  tangtx  22624  cosordlem  22644  efif1olem2  22656  logcnlem3  22746  logcnlem4  22747  isosctrlem2  22874  chordthmlem2  22885  chordthmlem4  22887  heron  22890  atanlogsublem  22967  atantan  22975  birthdaylem3  23004  logdifbnd  23044  emcllem1  23046  emcllem2  23047  emcllem5  23050  emcllem6  23051  harmonicbnd4  23061  fsumharmonic  23062  ftalem2  23068  ftalem5  23071  chpub  23216  logfaclbnd  23218  logfacbnd3  23219  logexprlim  23221  bposlem1  23280  bposlem9  23288  lgseisenlem1  23345  lgsquadlem1  23350  chtppilimlem1  23379  vmadivsum  23388  vmadivsumb  23389  rplogsumlem1  23390  rplogsumlem2  23391  rpvmasumlem  23393  dchrisumlem2  23396  dchrisum0re  23419  rplogsum  23433  mulogsumlem  23437  mulog2sumlem1  23440  vmalogdivsum2  23444  vmalogdivsum  23445  2vmadivsumlem  23446  log2sumbnd  23450  selbergb  23455  selberg2lem  23456  selberg2b  23458  chpdifbndlem1  23459  selberg3lem1  23463  selberg3lem2  23464  selberg3  23465  selberg4lem1  23466  selberg4  23467  pntrf  23469  pntrmax  23470  pntrsumo1  23471  selberg3r  23475  selberg4r  23476  selberg34r  23477  pntrlog2bndlem1  23483  pntrlog2bndlem2  23484  pntrlog2bndlem3  23485  pntrlog2bndlem4  23486  pntrlog2bndlem5  23487  pntrlog2bndlem6  23489  pntrlog2bnd  23490  pntpbnd1a  23491  pntpbnd2  23493  pntibndlem2  23497  pntlemg  23504  pntlemn  23506  pntlemj  23509  pntlemf  23511  pntlemo  23513  pntlem3  23515  pntleml  23517  ttgcontlem1  23857  eqeelen  23876  brbtwn2  23877  colinearalg  23882  axcgrid  23888  axsegconlem1  23889  axsegconlem3  23891  axsegconlem8  23896  axsegconlem9  23897  axsegconlem10  23898  ax5seglem3a  23902  ax5seg  23910  axpaschlem  23912  axcontlem8  23943  clwlkisclwwlklem2fv2  24445  clwlkisclwwlklem2a4  24446  clwlkisclwwlklem2a  24447  nvabs  25102  dipcj  25153  minvecolem4  25322  lt2addrd  27081  xlt2addrd  27096  fzsplit3  27117  bcm1n  27118  cnre2csqlem  27378  tpr2rico  27380  dya2ub  27731  dya2icoseg  27738  ballotlemfcc  27922  ballotlemfrcn0  27958  sgnsub  27973  signslema  28009  lgamgulmlem2  28062  lgamgulmlem3  28063  lgamucov  28070  relgamcl  28094  subfacval3  28123  bpoly4  29248  supaddc  29468  opnmbllem0  29478  mblfinlem3  29481  mblfinlem4  29482  itg2addnclem  29494  itg2addnclem3  29496  itg2gt0cn  29498  ftc1cnnclem  29516  areacirclem1  29535  areacirclem2  29536  areacirclem4  29538  areacirclem5  29539  areacirc  29540  cntotbnd  29746  rrnmet  29779  rrndstprj1  29780  rrndstprj2  29781  icodiamlt  30211  irrapxlem2  30214  irrapxlem3  30215  irrapxlem4  30216  irrapxlem5  30217  pellexlem2  30221  pellexlem6  30225  pell1qrgaplem  30264  rmspecfund  30300  rmspecpos  30307  jm2.24nn  30352  jm2.17c  30355  fzmaxdif  30374  acongeq  30376  modabsdifz  30384  jm3.1lem2  30417  areaquad  30642  oddfl  30855  lefldiveq  30878  fperiodmul  30900  iccshift  30941  iooshift  30945  fmul01lt1lem2  30954  climinf  30967  sumnnodd  30991  ltmod  30999  lptre2pt  31001  fperdvper  31067  dvbdfbdioolem1  31077  dvbdfbdioolem2  31078  dvbdfbdioo  31079  ioodvbdlimc1lem1  31080  ioodvbdlimc1lem2  31081  ioodvbdlimc2lem  31083  iblspltprt  31110  itgspltprt  31116  itgiccshift  31117  itgperiod  31118  itgsbtaddcnst  31119  stoweidlem1  31120  stoweidlem11  31130  stoweidlem12  31131  stoweidlem13  31132  stoweidlem14  31133  stoweidlem23  31142  stoweidlem24  31143  stoweidlem25  31144  stoweidlem26  31145  stoweidlem34  31153  stoweidlem40  31159  stoweidlem41  31160  stoweidlem42  31161  stoweidlem45  31164  stoweidlem60  31179  stoweidlem62  31181  wallispilem3  31186  wallispilem4  31187  wallispi  31189  wallispi2lem1  31190  stirlinglem5  31197  stirlinglem11  31203  stirlinglem12  31204  dirkercncflem1  31222  fourierdlem4  31230  fourierdlem6  31232  fourierdlem7  31233  fourierdlem9  31235  fourierdlem13  31239  fourierdlem14  31240  fourierdlem15  31241  fourierdlem19  31245  fourierdlem26  31252  fourierdlem35  31261  fourierdlem39  31265  fourierdlem40  31266  fourierdlem41  31267  fourierdlem42  31268  fourierdlem45  31271  fourierdlem48  31274  fourierdlem49  31275  fourierdlem50  31276  fourierdlem51  31277  fourierdlem56  31282  fourierdlem57  31283  fourierdlem59  31285  fourierdlem60  31286  fourierdlem61  31287  fourierdlem63  31289  fourierdlem64  31290  fourierdlem65  31291  fourierdlem66  31292  fourierdlem68  31294  fourierdlem71  31297  fourierdlem72  31298  fourierdlem73  31299  fourierdlem74  31300  fourierdlem75  31301  fourierdlem76  31302  fourierdlem78  31304  fourierdlem79  31305  fourierdlem81  31307  fourierdlem82  31308  fourierdlem83  31309  fourierdlem84  31310  fourierdlem88  31314  fourierdlem89  31315  fourierdlem90  31316  fourierdlem91  31317  fourierdlem92  31318  fourierdlem93  31319  fourierdlem95  31321  fourierdlem97  31323  fourierdlem101  31327  fourierdlem103  31329  fourierdlem104  31330  fourierdlem107  31333  fourierdlem109  31335  fourierdlem111  31337  fouriersw  31351  ltsubsubaddltsub  31612  2elfz2melfz  31622  extwwlkfablem2  31797  ply1mulgsumlem2  31935
  Copyright terms: Public domain W3C validator