MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcld Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem resubcld 10068
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
renegcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resubcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resubcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem resubcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resubcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 resubcl 9958 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1904  (class class class)co 6308   RRcr 9556    - cmin 9880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-ltxr 9698  df-sub 9882  df-neg 9883
This theorem is referenced by:  ltsubadd  10105  lesubadd  10107  lesub1  10129  lesub2  10130  ltsub1  10131  ltsub2  10132  lt2sub  10133  le2sub  10134  ltmul1a  10476  supaddc  10596  cru  10623  qbtwnre  11515  lincmb01cmp  11801  iccf1o  11802  xov1plusxeqvd  11804  intfracq  12119  fldiv  12120  modlt  12140  modsubdir  12192  modsumfzodifsn  12196  serle  12306  expmulnbnd  12442  discr  12447  fzsdom2  12641  cshwidxmod  12959  crre  13254  remullem  13268  sqrlem7  13389  absrdbnd  13481  fzomaxdiflem  13482  caubnd2  13497  amgm2  13509  icodiamlt  13574  mulcn2  13736  reccn2  13737  rlimo1  13757  climle  13780  climsqz  13781  climsqz2  13782  rlimle  13788  isercolllem1  13805  climsup  13810  caucvgrlem  13813  caucvgrlemOLD  13814  caucvgrlem2  13817  iseraltlem2  13826  iseraltlem3  13827  iseralt  13828  fsumle  13936  cvgcmp  13953  cvgcmpce  13955  bpoly4  14189  eflt  14248  resinhcl  14287  tanhlt1  14291  sin01bnd  14316  sin01gt0  14321  moddvds  14389  bitscmp  14491  bitsinv1lem  14494  smueqlem  14543  modprm0  14835  pcbc  14924  4sqlem15OLD  14982  4sqlem15  14988  blss2ps  21496  blss2  21497  blssps  21517  blss  21518  nm2dif  21716  nlmvscnlem2  21766  nrginvrcnlem  21771  iccntr  21917  icccmplem2  21919  metdstri  21946  metdstriOLD  21961  cnllycmp  22062  evth  22065  lebnumii  22075  ipcnlem2  22293  cncmet  22368  rrxds  22430  rrxmval  22437  rrxmet  22440  rrxdstprj1  22441  minveclem3b  22448  minveclem4  22452  minveclem3bOLD  22460  minveclem4OLD  22464  ivthlem2  22481  ivthlem3  22482  ovollb2lem  22519  ovoliunlem1  22533  ovolscalem1  22544  ovolicc1  22547  ovolicc2lem4OLD  22551  ovolicc2lem4  22552  ovolicc2  22554  ovolicc  22555  voliunlem2  22583  ovolioo  22600  ioorcl2  22603  uniioovol  22615  uniioombllem2  22619  uniioombllem2OLD  22620  uniioombllem3a  22621  uniioombllem3  22622  uniioombllem4  22623  uniioombllem6  22625  opnmbllem  22638  volcn  22643  vitalilem2  22646  ismbf3d  22689  mbfaddlem  22695  i1fadd  22732  itg1addlem4  22736  mbfi1fseqlem6  22757  itg2seq  22779  itg2split  22786  itg2cnlem2  22799  itg2cn  22800  itgrevallem1  22831  dvcjbr  22982  dvferm1lem  23015  dvferm2lem  23017  cmvth  23022  mvth  23023  dvlip  23024  dvlip2  23026  c1liplem1  23027  dvgt0  23035  dvlt0  23036  dvge0  23037  dvle  23038  dvivthlem1  23039  lhop1lem  23044  lhop  23047  dvcnvrelem1  23048  dvcnvrelem2  23049  dvcnvre  23050  dvcvx  23051  dvfsumle  23052  dvfsumge  23053  dvfsumrlimf  23056  dvfsumlem2  23058  dvfsumlem3  23059  dvfsumlem4  23060  dvfsum2  23065  ftc1a  23068  ftc1lem4  23070  coe1mul3  23127  ply1divex  23166  plydivex  23329  aalioulem2  23368  aalioulem3  23369  aalioulem4  23370  aalioulem5  23371  aalioulem6  23372  aaliou3lem7  23384  taylthlem2  23408  mtest  23438  pilem2  23486  pilem2OLD  23487  tangtx  23539  cosordlem  23559  efif1olem2  23571  logcnlem3  23668  logcnlem4  23669  isosctrlem2  23827  chordthmlem2  23838  chordthmlem4  23840  heron  23843  atanlogsublem  23920  atantan  23928  birthdaylem3  23958  logdifbnd  23998  emcllem1  24000  emcllem2  24001  emcllem5  24004  emcllem6  24005  harmonicbnd4  24015  fsumharmonic  24016  lgamgulmlem2  24034  lgamgulmlem3  24035  lgamucov  24042  relgamcl  24066  ftalem2  24077  ftalem5  24080  ftalem5OLD  24082  chpub  24227  logfaclbnd  24229  logfacbnd3  24230  logexprlim  24232  bposlem1  24291  bposlem9  24299  lgseisenlem1  24356  lgsquadlem1  24361  chtppilimlem1  24390  vmadivsum  24399  vmadivsumb  24400  rplogsumlem1  24401  rplogsumlem2  24402  rpvmasumlem  24404  dchrisumlem2  24407  dchrisum0re  24430  rplogsum  24444  mulogsumlem  24448  mulog2sumlem1  24451  vmalogdivsum2  24455  vmalogdivsum  24456  2vmadivsumlem  24457  log2sumbnd  24461  selbergb  24466  selberg2lem  24467  selberg2b  24469  chpdifbndlem1  24470  selberg3lem1  24474  selberg3lem2  24475  selberg3  24476  selberg4lem1  24477  selberg4  24478  pntrf  24480  pntrmax  24481  pntrsumo1  24482  selberg3r  24486  selberg4r  24487  selberg34r  24488  pntrlog2bndlem1  24494  pntrlog2bndlem2  24495  pntrlog2bndlem3  24496  pntrlog2bndlem4  24497  pntrlog2bndlem5  24498  pntrlog2bndlem6  24500  pntrlog2bnd  24501  pntpbnd1a  24502  pntpbnd2  24504  pntibndlem2  24508  pntlemg  24515  pntlemn  24517  pntlemj  24520  pntlemf  24522  pntlemo  24524  pntlem3  24526  pntleml  24528  ttgcontlem1  24994  eqeelen  25013  brbtwn2  25014  colinearalg  25019  axcgrid  25025  axsegconlem1  25026  axsegconlem3  25028  axsegconlem8  25033  axsegconlem9  25034  axsegconlem10  25035  ax5seglem3a  25039  ax5seg  25047  axpaschlem  25049  axcontlem8  25080  clwlkisclwwlklem2fv2  25590  clwlkisclwwlklem2a4  25591  clwlkisclwwlklem2a  25592  extwwlkfablem2  25885  nvabs  26383  dipcj  26434  minvecolem4  26603  minvecolem4OLD  26613  lt2addrd  28401  xlt2addrd  28413  fzsplit3  28445  bcm1n  28446  bhmafibid1  28480  2sqmod  28484  submateqlem1  28707  cnre2csqlem  28790  tpr2rico  28792  dya2ub  29165  dya2icoseg  29172  ballotlemfcc  29399  ballotlemfrcn0  29435  ballotlemfrcn0OLD  29473  sgnsub  29488  signslema  29523  subfacval3  29984  poimirlem29  32033  broucube  32038  opnmbllem0  32040  mblfinlem3  32043  mblfinlem4  32044  itg2addnclem  32057  itg2addnclem3  32059  itg2gt0cn  32061  ftc1cnnclem  32079  areacirclem1  32096  areacirclem2  32097  areacirclem4  32099  areacirclem5  32100  areacirc  32101  cntotbnd  32192  rrnmet  32225  rrndstprj1  32226  rrndstprj2  32227  irrapxlem2  35738  irrapxlem3  35739  irrapxlem4  35740  irrapxlem5  35741  pellexlem2  35745  pellexlem6  35749  pell1qrgaplem  35790  rmspecfund  35828  rmspecpos  35835  jm2.24nn  35880  jm2.17c  35883  fzmaxdif  35902  acongeq  35904  modabsdifz  35910  jm3.1lem2  35944  areaquad  36172  imo72b2lem0  36679  cvgdvgrat  36732  hashnzfzclim  36741  binomcxplemdvbinom  36772  oddfl  37577  lefldiveq  37595  fperiodmul  37610  fzdifsuc2  37618  suprltrp  37638  supxrgere  37643  supxrgelem  37647  suplesup  37649  infleinflem2  37681  infleinf  37682  iccshift  37715  iooshift  37719  fmul01lt1lem2  37760  climinf  37781  climinfOLD  37782  sumnnodd  37807  ltmod  37815  lptre2pt  37817  fperdvper  37887  dvbdfbdioolem1  37897  dvbdfbdioolem2  37898  dvbdfbdioo  37899  ioodvbdlimc1lem1  37900  ioodvbdlimc1lem2  37901  ioodvbdlimc1lem1OLD  37902  ioodvbdlimc1lem2OLD  37903  ioodvbdlimc2lem  37905  ioodvbdlimc2lemOLD  37906  dvnmul  37915  iblspltprt  37947  itgspltprt  37953  itgiccshift  37954  itgperiod  37955  itgsbtaddcnst  37956  sublevolico  37959  stoweidlem1  37973  stoweidlem11  37983  stoweidlem12  37984  stoweidlem13  37985  stoweidlem14  37986  stoweidlem23  37995  stoweidlem24  37996  stoweidlem25  37997  stoweidlem26  37998  stoweidlem34  38007  stoweidlem40  38013  stoweidlem41  38014  stoweidlem42  38015  stoweidlem45  38018  stoweidlem60  38033  stoweidlem62  38035  stoweidlem62OLD  38036  wallispilem3  38041  wallispilem4  38042  wallispi  38044  wallispi2lem1  38045  stirlinglem5  38052  stirlinglem11  38058  stirlinglem12  38059  dirkercncflem1  38077  fourierdlem4  38085  fourierdlem6  38087  fourierdlem7  38088  fourierdlem9  38090  fourierdlem13  38094  fourierdlem14  38095  fourierdlem15  38096  fourierdlem19  38100  fourierdlem26  38107  fourierdlem35  38117  fourierdlem39  38121  fourierdlem40  38122  fourierdlem41  38123  fourierdlem42  38124  fourierdlem42OLD  38125  fourierdlem48  38130  fourierdlem49  38131  fourierdlem50  38132  fourierdlem51  38133  fourierdlem56  38138  fourierdlem57  38139  fourierdlem59  38141  fourierdlem60  38142  fourierdlem61  38143  fourierdlem63  38145  fourierdlem64  38146  fourierdlem65  38147  fourierdlem66  38148  fourierdlem68  38150  fourierdlem71  38153  fourierdlem72  38154  fourierdlem73  38155  fourierdlem74  38156  fourierdlem75  38157  fourierdlem76  38158  fourierdlem78  38160  fourierdlem79  38161  fourierdlem81  38163  fourierdlem82  38164  fourierdlem83  38165  fourierdlem84  38166  fourierdlem88  38170  fourierdlem89  38171  fourierdlem90  38172  fourierdlem91  38173  fourierdlem92  38174  fourierdlem93  38175  fourierdlem95  38177  fourierdlem97  38179  fourierdlem101  38183  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186  fourierdlem107  38189  fourierdlem109  38191  fourierdlem111  38193  fouriersw  38207  elaa2lem  38209  elaa2lemOLD  38210  etransclem23  38234  rrxdsfi  38266  rrxtopnfi  38267  rrndistlt  38271  sge0gtfsumgt  38399  iundjiun  38414  volicorecl  38486  hoiprodcl  38487  hoiprodcl3  38520  volicore  38521  hoidmvcl  38522  hoidmv1lelem2  38532  hoidmv1lelem3  38533  hoidmv1le  38534  hoidmvlelem1  38535  hoidmvlelem2  38536  hoiqssbllem1  38562  hoiqssbllem2  38563  hoiqssbllem3  38564  hspmbllem1  38566  ovolval5lem1  38592  ovolval5lem2  38593  bgoldbtbndlem2  39046  bgoldbtbndlem3  39047  bgoldbtbndlem4  39048  bgoldbtbnd  39049  ltsubsubaddltsub  39193  2elfz2melfz  39203  nbusgrvtxm1  39617  crctcsh1wlkn0lem3  39990  crctcsh1wlkn0lem5  39992  crctcsh  40002  ply1mulgsumlem2  40687  difmodm1lt  40833  nnpw2pmod  40902  dignn0flhalflem1  40934
  Copyright terms: Public domain W3C validator