MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcld Structured version   Unicode version

Theorem resubcld 9763
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
renegcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resubcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resubcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem resubcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resubcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 resubcl 9660 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   RRcr 9268    - cmin 9582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-ltxr 9410  df-sub 9584  df-neg 9585
This theorem is referenced by:  ltsubadd  9796  lesubadd  9798  lesub1  9820  lesub2  9821  ltsub1  9822  ltsub2  9823  lt2sub  9824  le2sub  9825  ltmul1a  10165  cru  10301  qbtwnre  11156  lincmb01cmp  11414  iccf1o  11415  xov1plusxeqvd  11417  intfracq  11681  fldiv  11682  modlt  11701  modsubdir  11750  serle  11844  expmulnbnd  11979  discr  11984  fzsdom2  12172  cshwidxmod  12423  crre  12586  remullem  12600  sqrlem7  12721  absrdbnd  12812  fzomaxdiflem  12813  caubnd2  12828  amgm2  12840  mulcn2  13056  reccn2  13057  rlimo1  13077  climle  13100  climsqz  13101  climsqz2  13102  rlimle  13108  isercolllem1  13125  climsup  13130  caucvgrlem  13133  caucvgrlem2  13135  iseraltlem2  13143  iseraltlem3  13144  iseralt  13145  fsumle  13244  cvgcmp  13261  cvgcmpce  13263  eflt  13383  resinhcl  13422  tanhlt1  13426  sin01bnd  13451  sin01gt0  13456  moddvds  13524  bitscmp  13616  bitsinv1lem  13619  smueqlem  13668  modprm0  13855  pcbc  13944  4sqlem15  14002  blss2ps  19819  blss2  19820  blssps  19840  blss  19841  nm2dif  20057  nlmvscnlem2  20107  nrginvrcnlem  20112  iccntr  20239  icccmplem2  20241  metdstri  20268  cnllycmp  20369  evth  20372  lebnumii  20379  ipcnlem2  20597  cncmet  20674  rrxds  20738  rrxmval  20745  rrxmet  20748  rrxdstprj1  20749  minveclem3b  20756  minveclem4  20760  ivthlem2  20777  ivthlem3  20778  ovollb2lem  20812  ovoliunlem1  20826  ovolscalem1  20837  ovolicc1  20840  ovolicc2lem4  20844  ovolicc2  20846  ovolicc  20847  voliunlem2  20873  ovolioo  20890  ioorcl2  20893  uniioovol  20900  uniioombllem2  20904  uniioombllem3a  20905  uniioombllem3  20906  uniioombllem4  20907  uniioombllem6  20909  opnmbllem  20922  volcn  20927  vitalilem2  20930  ismbf3d  20973  mbfaddlem  20979  i1fadd  21014  itg1addlem4  21018  mbfi1fseqlem6  21039  itg2seq  21061  itg2split  21068  itg2cnlem2  21081  itg2cn  21082  itgrevallem1  21113  dvcjbr  21264  dvferm1lem  21297  dvferm2lem  21299  cmvth  21304  mvth  21305  dvlip  21306  dvlip2  21308  c1liplem1  21309  dvgt0  21317  dvlt0  21318  dvge0  21319  dvle  21320  dvivthlem1  21321  lhop1lem  21326  lhop  21329  dvcnvrelem1  21330  dvcnvrelem2  21331  dvcnvre  21332  dvcvx  21333  dvfsumle  21334  dvfsumge  21335  dvfsumrlimf  21338  dvfsumlem2  21340  dvfsumlem3  21341  dvfsumlem4  21342  dvfsum2  21347  ftc1a  21350  ftc1lem4  21352  coe1mul3  21455  ply1divex  21492  plydivex  21647  aalioulem2  21683  aalioulem3  21684  aalioulem4  21685  aalioulem5  21686  aalioulem6  21687  aaliou3lem7  21699  taylthlem2  21723  mtest  21753  pilem2  21801  tangtx  21851  cosordlem  21871  efif1olem2  21883  logcnlem3  21973  logcnlem4  21974  isosctrlem2  22101  chordthmlem2  22112  chordthmlem4  22114  heron  22117  atanlogsublem  22194  atantan  22202  birthdaylem3  22231  logdifbnd  22271  emcllem1  22273  emcllem2  22274  emcllem5  22277  emcllem6  22278  harmonicbnd4  22288  fsumharmonic  22289  ftalem2  22295  ftalem5  22298  chpub  22443  logfaclbnd  22445  logfacbnd3  22446  logexprlim  22448  bposlem1  22507  bposlem9  22515  lgseisenlem1  22572  lgsquadlem1  22577  chtppilimlem1  22606  vmadivsum  22615  vmadivsumb  22616  rplogsumlem1  22617  rplogsumlem2  22618  rpvmasumlem  22620  dchrisumlem2  22623  dchrisum0re  22646  rplogsum  22660  mulogsumlem  22664  mulog2sumlem1  22667  vmalogdivsum2  22671  vmalogdivsum  22672  2vmadivsumlem  22673  log2sumbnd  22677  selbergb  22682  selberg2lem  22683  selberg2b  22685  chpdifbndlem1  22686  selberg3lem1  22690  selberg3lem2  22691  selberg3  22692  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  pntrf  22696  pntrmax  22697  pntrsumo1  22698  selberg3r  22702  selberg4r  22703  selberg34r  22704  pntrlog2bndlem1  22710  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem3  22712  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714  pntrlog2bndlem6  22716  pntrlog2bnd  22717  pntpbnd1a  22718  pntpbnd2  22720  pntibndlem2  22724  pntlemg  22731  pntlemn  22733  pntlemj  22736  pntlemf  22738  pntlemo  22740  pntlem3  22742  pntleml  22744  ttgcontlem1  22953  eqeelen  22972  brbtwn2  22973  colinearalg  22978  axcgrid  22984  axsegconlem1  22985  axsegconlem3  22987  axsegconlem8  22992  axsegconlem9  22993  axsegconlem10  22994  ax5seglem3a  22998  ax5seg  23006  axpaschlem  23008  axcontlem8  23039  nvabs  23883  dipcj  23934  minvecolem4  24103  lt2addrd  25860  xlt2addrd  25875  fzsplit3  25900  bcm1n  25901  cnre2csqlem  26193  tpr2rico  26195  dya2ub  26538  dya2icoseg  26545  ballotlemfcc  26723  ballotlemfrcn0  26759  sgnsub  26774  signslema  26810  lgamgulmlem2  26863  lgamgulmlem3  26864  lgamucov  26871  relgamcl  26895  subfacval3  26924  bpoly4  28048  supaddc  28258  opnmbllem0  28268  mblfinlem3  28271  mblfinlem4  28272  itg2addnclem  28284  itg2addnclem3  28286  itg2gt0cn  28288  ftc1cnnclem  28306  areacirclem1  28325  areacirclem2  28326  areacirclem4  28328  areacirclem5  28329  areacirc  28330  cntotbnd  28536  rrnmet  28569  rrndstprj1  28570  rrndstprj2  28571  icodiamlt  29003  irrapxlem2  29006  irrapxlem3  29007  irrapxlem4  29008  irrapxlem5  29009  pellexlem2  29013  pellexlem6  29017  pell1qrgaplem  29056  rmspecfund  29092  rmspecpos  29099  jm2.24nn  29144  jm2.17c  29147  fzmaxdif  29166  acongeq  29168  modabsdifz  29176  jm3.1lem2  29209  areaquad  29434  fmul01lt1lem2  29608  climinf  29622  stoweidlem1  29639  stoweidlem11  29649  stoweidlem12  29650  stoweidlem13  29651  stoweidlem14  29652  stoweidlem23  29661  stoweidlem24  29662  stoweidlem25  29663  stoweidlem26  29664  stoweidlem34  29672  stoweidlem40  29678  stoweidlem41  29679  stoweidlem42  29680  stoweidlem45  29683  stoweidlem60  29698  stoweidlem62  29700  wallispilem3  29705  wallispilem4  29706  wallispi  29708  wallispi2lem1  29709  stirlinglem5  29716  stirlinglem11  29722  stirlinglem12  29723  2elfz2melfz  30045  clwlkisclwwlklem2fv2  30288  clwlkisclwwlklem2a4  30289  clwlkisclwwlklem2a  30290  ltsubsubaddltsub  30310  extwwlkfablem2  30514
  Copyright terms: Public domain W3C validator