MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resub Structured version   Unicode version

Theorem resub 12935
Description: Real part distributes over subtraction. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
resub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Re `  A )  -  ( Re `  B ) ) )

Proof of Theorem resub
StepHypRef Expression
1 negcl 9830 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
2 readd 12934 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  -u B
) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  -u B ) ) )
31, 2sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  -u B ) ) )
4 reneg 12933 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
54adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  -u B
)  =  -u (
Re `  B )
)
65oveq2d 6310 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  -u B
) )  =  ( ( Re `  A
)  +  -u (
Re `  B )
) )
73, 6eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( Re `  A )  +  -u ( Re `  B ) ) )
8 negsub 9877 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
98fveq2d 5875 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  -u B ) )  =  ( Re
`  ( A  -  B ) ) )
10 recl 12918 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1110recnd 9632 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
12 recl 12918 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1312recnd 9632 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
14 negsub 9877 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  +  -u ( Re `  B ) )  =  ( ( Re `  A )  -  ( Re `  B ) ) )
1511, 13, 14syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  +  -u ( Re `  B ) )  =  ( ( Re `  A )  -  ( Re `  B ) ) )
167, 9, 153eqtr3d 2516 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Re `  A )  -  ( Re `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   CCcc 9500    + caddc 9505    - cmin 9815   -ucneg 9816   Recre 12905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-2 10604  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909
This theorem is referenced by:  resubd  13024  recn2  13398  caucvgr  13473  tanregt0  22769  logcnlem4  22869  isosctrlem1  22995  acoscos  23067  acosbnd  23074  atanlogsublem  23089  isosctrlem1ALT  33107
  Copyright terms: Public domain W3C validator