MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restuni Structured version   Unicode version

Theorem restuni 19424
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restuni.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restuni  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )

Proof of Theorem restuni
StepHypRef Expression
1 restuni.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21toptopon 19196 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 resttopon 19423 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
42, 3sylanb 472 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
5 toponuni 19190 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
64, 5syl 16 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471   U.cuni 4240   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   ↾t crest 14667   Topctop 19156  TopOnctopon 19157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-fin 7512  df-fi 7862  df-rest 14669  df-topgen 14690  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164
This theorem is referenced by:  restuni2  19429  restcld  19434  restopn2  19439  neitr  19442  restcls  19443  restntr  19444  rncmp  19657  cmpsublem  19660  cmpsub  19661  fiuncmp  19665  consubclo  19686  conima  19687  concn  19688  nllyrest  19748  cldllycmp  19757  lly1stc  19758  llycmpkgen2  19781  1stckgen  19785  txkgen  19883  xkopjcn  19887  xkococnlem  19890  cnextfres  20298  cncfcnvcn  21155  cnheibor  21185  evthicc  21601  psercn  22550  abelth  22565  conpcon  28308  cvmscld  28346  cvmsss2  28347  cvmliftmolem1  28354  cvmliftlem10  28367  cvmlift2lem9  28384  cvmlift2lem11  28386  cvmlift2lem12  28387  cvmlift3lem7  28398  ptrest  29614  ivthALT  29719  cncfuni  31182  cncfiooicclem1  31189  stoweidlem28  31285  dirkercncflem4  31363  fourierdlem42  31406
  Copyright terms: Public domain W3C validator