MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restuni Structured version   Unicode version

Theorem restuni 18765
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restuni.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restuni  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )

Proof of Theorem restuni
StepHypRef Expression
1 restuni.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21toptopon 18537 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 resttopon 18764 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
42, 3sylanb 472 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
5 toponuni 18531 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
64, 5syl 16 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3327   U.cuni 4090   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   ↾t crest 14358   Topctop 18497  TopOnctopon 18498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-fin 7313  df-fi 7660  df-rest 14360  df-topgen 14381  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505
This theorem is referenced by:  restuni2  18770  restcld  18775  restopn2  18780  neitr  18783  restcls  18784  restntr  18785  rncmp  18998  cmpsublem  19001  cmpsub  19002  fiuncmp  19006  consubclo  19027  conima  19028  concn  19029  nllyrest  19089  cldllycmp  19098  lly1stc  19099  llycmpkgen2  19122  1stckgen  19126  txkgen  19224  xkopjcn  19228  xkococnlem  19231  cnextfres  19639  cncfcnvcn  20496  cnheibor  20526  evthicc  20942  psercn  21890  abelth  21905  conpcon  27123  cvmscld  27161  cvmsss2  27162  cvmliftmolem1  27169  cvmliftlem10  27182  cvmlift2lem9  27199  cvmlift2lem11  27201  cvmlift2lem12  27202  cvmlift3lem7  27213  ptrest  28423  ivthALT  28528  stoweidlem28  29821
  Copyright terms: Public domain W3C validator