MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttopon2 Structured version   Unicode version

Theorem resttopon2 19778
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  X
) ) )

Proof of Theorem resttopon2
StepHypRef Expression
1 topontop 19535 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 resttop 19770 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
31, 2sylan 469 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
4 toponuni 19536 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
54ineq2d 3631 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A  i^i  X )  =  ( A  i^i  U. J
) )
65adantr 463 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X )  =  ( A  i^i  U. J ) )
7 eqid 2396 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
87restuni2 19777 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
91, 8sylan 469 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
106, 9eqtrd 2437 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X )  = 
U. ( Jt  A ) )
11 istopon 19534 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  X
) )  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  ( A  i^i  X
)  =  U. ( Jt  A ) ) )
123, 10, 11sylanbrc 662 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    i^i cin 3405   U.cuni 4180   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   ↾t crest 14851   Topctop 19502  TopOnctopon 19503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-oadd 7074  df-er 7251  df-en 7458  df-fin 7461  df-fi 7808  df-rest 14853  df-topgen 14874  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510
This theorem is referenced by:  resstps  19797  lmss  19908
  Copyright terms: Public domain W3C validator