MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttop Structured version   Unicode version

Theorem resttop 19424
Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89.  A is normally a subset of the base set of  J. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttop  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )

Proof of Theorem resttop
StepHypRef Expression
1 tgrest 19423 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  =  ( ( topGen `  J )t  A
) )
2 tgtop 19238 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  J )  =  J )
43oveq1d 6297 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( topGen `  J
)t 
A )  =  ( Jt  A ) )
51, 4eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  =  ( Jt  A ) )
6 topbas 19237 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e. 
TopBases )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  TopBases )
8 restbas 19422 . . 3  |-  ( J  e.  TopBases  ->  ( Jt  A )  e.  TopBases )
9 tgcl 19234 . . 3  |-  ( ( Jt  A )  e.  TopBases  -> 
( topGen `  ( Jt  A
) )  e.  Top )
107, 8, 93syl 20 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  e.  Top )
115, 10eqeltrrd 2556 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ↾t crest 14669   topGenctg 14686   Topctop 19158   TopBasesctb 19162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14671  df-topgen 14692  df-top 19163  df-bases 19165
This theorem is referenced by:  resttopon  19425  resttopon2  19432  rest0  19433  restcld  19436  neitr  19444  restcls  19445  restntr  19446  ordtrest  19466  cmpsub  19663  fiuncmp  19667  1stcrest  19717  subislly  19745  llyrest  19749  nllyrest  19750  toplly  19754  cldllycmp  19759  kgencmp2  19779  llycmpkgen2  19783  1stckgen  19787  txkgen  19885  cnextfres  20300  zdis  21053  cnmpt2pc  21160  dvbss  22037  dvreslem  22045  dvres2lem  22046  dvcnp2  22055  dvmptres  22098  ulmdvlem3  22528  psercn  22552  abelth  22567  ordtrestNEW  27536  cvxpcon  28324  cvmscld  28355  ptrest  29623  cnambfre  29638  limcresiooub  31184  limcresioolb  31185  cncfuni  31225  cncfiooicclem1  31232  fourierdlem32  31439  fourierdlem33  31440  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fouriersw  31532
  Copyright terms: Public domain W3C validator