MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttop Structured version   Unicode version

Theorem resttop 18895
Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89.  A is normally a subset of the base set of  J. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttop  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )

Proof of Theorem resttop
StepHypRef Expression
1 tgrest 18894 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  =  ( ( topGen `  J )t  A
) )
2 tgtop 18709 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  J )  =  J )
43oveq1d 6214 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( topGen `  J
)t 
A )  =  ( Jt  A ) )
51, 4eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  =  ( Jt  A ) )
6 topbas 18708 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e. 
TopBases )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  TopBases )
8 restbas 18893 . . 3  |-  ( J  e.  TopBases  ->  ( Jt  A )  e.  TopBases )
9 tgcl 18705 . . 3  |-  ( ( Jt  A )  e.  TopBases  -> 
( topGen `  ( Jt  A
) )  e.  Top )
107, 8, 93syl 20 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  e.  Top )
115, 10eqeltrrd 2543 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   ↾t crest 14477   topGenctg 14494   Topctop 18629   TopBasesctb 18633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-fin 7423  df-fi 7771  df-rest 14479  df-topgen 14500  df-top 18634  df-bases 18636
This theorem is referenced by:  resttopon  18896  resttopon2  18903  rest0  18904  restcld  18907  neitr  18915  restcls  18916  restntr  18917  ordtrest  18937  cmpsub  19134  fiuncmp  19138  1stcrest  19188  subislly  19216  llyrest  19220  nllyrest  19221  toplly  19225  cldllycmp  19230  kgencmp2  19250  llycmpkgen2  19254  1stckgen  19258  txkgen  19356  cnextfres  19771  zdis  20524  cnmpt2pc  20631  dvbss  21508  dvreslem  21516  dvres2lem  21517  dvcnp2  21526  dvmptres  21569  ulmdvlem3  21999  psercn  22023  abelth  22038  ordtrestNEW  26495  cvxpcon  27274  cvmscld  27305  ptrest  28572  cnambfre  28587
  Copyright terms: Public domain W3C validator