MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttop Structured version   Unicode version

Theorem resttop 18739
Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89.  A is normally a subset of the base set of  J. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttop  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )

Proof of Theorem resttop
StepHypRef Expression
1 tgrest 18738 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  =  ( ( topGen `  J )t  A
) )
2 tgtop 18553 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  J )  =  J )
43oveq1d 6101 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( topGen `  J
)t 
A )  =  ( Jt  A ) )
51, 4eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  =  ( Jt  A ) )
6 topbas 18552 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e. 
TopBases )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  TopBases )
8 restbas 18737 . . 3  |-  ( J  e.  TopBases  ->  ( Jt  A )  e.  TopBases )
9 tgcl 18549 . . 3  |-  ( ( Jt  A )  e.  TopBases  -> 
( topGen `  ( Jt  A
) )  e.  Top )
107, 8, 93syl 20 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  e.  Top )
115, 10eqeltrrd 2513 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ↾t crest 14351   topGenctg 14368   Topctop 18473   TopBasesctb 18477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-fin 7306  df-fi 7653  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-top 18478  df-bases 18480
This theorem is referenced by:  resttopon  18740  resttopon2  18747  rest0  18748  restcld  18751  neitr  18759  restcls  18760  restntr  18761  ordtrest  18781  cmpsub  18978  fiuncmp  18982  1stcrest  19032  subislly  19060  llyrest  19064  nllyrest  19065  toplly  19069  cldllycmp  19074  kgencmp2  19094  llycmpkgen2  19098  1stckgen  19102  txkgen  19200  cnextfres  19615  zdis  20368  cnmpt2pc  20475  dvbss  21351  dvreslem  21359  dvres2lem  21360  dvcnp2  21369  dvmptres  21412  ulmdvlem3  21842  psercn  21866  abelth  21881  ordtrestNEW  26303  cvxpcon  27083  cvmscld  27114  ptrest  28378  cnambfre  28393
  Copyright terms: Public domain W3C validator