Theorem restsn2 18617

Description: The subspace topology induced by a singleton. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsn2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> ( J ↾t { A } ) = ~P { A } )

Proof of Theorem restsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4005	. . 3 |- ( A e. X -> { A } C_ X )
2		resttopon 18607	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { A } C_ X ) -> ( J ↾t { A } ) e. (TopOn ` { A } ) )
3	1, 2	sylan2 471	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> ( J ↾t { A } ) e. (TopOn ` { A } ) )
4		topsn 18382	. 2 |- ( ( J ↾t { A } ) e. (TopOn ` { A } ) -> ( J ↾t { A } ) = ~P { A } )
5	3, 4	syl 16	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> ( J ↾t { A } ) = ~P { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   C_ wss 3316   ~Pcpw 3848   {csn 3865   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   ↾_t crest 14342  TopOnctopon 18341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-fin 7302  df-fi 7649  df-rest 14344  df-topgen 14365  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348

This theorem is referenced by:  concompid  18877  xkohaus  19068  xkoptsub  19069  cvmlift2lem9  27048