Theorem restsn2 18893

Description: The subspace topology induced by a singleton. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsn2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> ( J ↾t { A } ) = ~P { A } )

Proof of Theorem restsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4117	. . 3 |- ( A e. X -> { A } C_ X )
2		resttopon 18883	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { A } C_ X ) -> ( J ↾t { A } ) e. (TopOn ` { A } ) )
3	1, 2	sylan2 474	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> ( J ↾t { A } ) e. (TopOn ` { A } ) )
4		topsn 18658	. 2 |- ( ( J ↾t { A } ) e. (TopOn ` { A } ) -> ( J ↾t { A } ) = ~P { A } )
5	3, 4	syl 16	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> ( J ↾t { A } ) = ~P { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   C_ wss 3428   ~Pcpw 3960   {csn 3977   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   ↾_t crest 14463  TopOnctopon 18617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-fin 7416  df-fi 7764  df-rest 14465  df-topgen 14486  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624

This theorem is referenced by:  concompid  19153  xkohaus  19344  xkoptsub  19345  cvmlift2lem9  27336