MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restrcl Structured version   Unicode version

Theorem restrcl 18896
Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
restrcl  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)

Proof of Theorem restrcl
StepHypRef Expression
1 0opn 18652 . . 3  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Jt  A
) )
2 n0i 3753 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( Jt  A )  ->  -.  ( Jt  A )  =  (/) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  -.  ( Jt  A )  =  (/) )
4 restfn 14485 . . . 4  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
5 fndm 5621 . . . 4  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
76ndmov 6360 . 2  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
83, 7nsyl2 127 1  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   (/)c0 3748    X. cxp 4949   dom cdm 4951    Fn wfn 5524  (class class class)co 6203   ↾t crest 14481   Topctop 18633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-rest 14483  df-top 18638
This theorem is referenced by:  cnrest2r  19026  imacmp  19135  fiuncmp  19142  concompss  19172  kgeni  19245  kgencmp  19253  kgencmp2  19254
  Copyright terms: Public domain W3C validator