Theorem restperf 18923

Description: Perfection of a subspace. Note that the term "perfect set" is reserved for closed sets which are perfect in the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls.1	|- X = U. J
restcls.2	|- K = ( J ↾t Y )

Assertion

Ref	Expression
restperf	|- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( K e. Perf <-> Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) ) )

Proof of Theorem restperf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls.2	. . . . 5 |- K = ( J ↾t Y )
2		restcls.1	. . . . . . 7 |- X = U. J
3	2	toptopon 18673	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
4		resttopon 18900	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
5	3, 4	sylanb 472	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
6	1, 5	syl5eqel 2546	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
7		topontop 18666	. . . 4 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 16	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
9		eqid 2454	. . . . 5 |- U. K = U. K
10	9	isperf 18890	. . . 4 |- ( K e. Perf <-> ( K e. Top /\ ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
11	10	baib 896	. . 3 |- ( K e. Top -> ( K e. Perf <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
12	8, 11	syl 16	. 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( K e. Perf <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
13		dfss1 3666	. . 3 |- ( Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) <-> ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) = Y )
14		ssid 3486	. . . . . 6 |- Y C_ Y
15	2, 1	restlp 18922	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ Y C_ Y ) -> ( ( limPt ` K ) ` Y ) = ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) )
16	14, 15	mp3an3 1304	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( limPt ` K ) ` Y ) = ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) )
17		toponuni 18667	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
18	6, 17	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y = U. K )
19	18	fveq2d 5806	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( limPt ` K ) ` Y ) = ( ( limPt ` K ) ` U. K ) )
20	16, 19	eqtr3d 2497	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) = ( ( limPt ` K ) ` U. K ) )
21	20, 18	eqeq12d 2476	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) = Y <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
22	13, 21	syl5bb 257	. 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
23	12, 22	bitr4d 256	1 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( K e. Perf <-> Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   i^i cin 3438   C_ wss 3439   U.cuni 4202   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ↾_t crest 14481   Topctop 18633  TopOnctopon 18634   limPtclp 18873  Perfcperf 18874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-fin 7427  df-fi 7775  df-rest 14483  df-topgen 14504  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-cld 18758  df-cls 18760  df-lp 18875  df-perf 18876

This theorem is referenced by:  perfcls  19104  reperflem  20530  perfdvf  21514