Theorem restperf 20200

Description: Perfection of a subspace. Note that the term "perfect set" is reserved for closed sets which are perfect in the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls.1	|- X = U. J
restcls.2	|- K = ( J ↾t Y )

Assertion

Ref	Expression
restperf	|- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( K e. Perf <-> Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) ) )

Proof of Theorem restperf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls.2	. . . . 5 |- K = ( J ↾t Y )
2		restcls.1	. . . . . . 7 |- X = U. J
3	2	toptopon 19948	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
4		resttopon 20177	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
5	3, 4	sylanb 475	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
6	1, 5	syl5eqel 2533	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
7		topontop 19941	. . . 4 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 17	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
9		eqid 2451	. . . . 5 |- U. K = U. K
10	9	isperf 20167	. . . 4 |- ( K e. Perf <-> ( K e. Top /\ ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
11	10	baib 914	. . 3 |- ( K e. Top -> ( K e. Perf <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
12	8, 11	syl 17	. 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( K e. Perf <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
13		dfss1 3637	. . 3 |- ( Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) <-> ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) = Y )
14		ssid 3451	. . . . . 6 |- Y C_ Y
15	2, 1	restlp 20199	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ Y C_ Y ) -> ( ( limPt ` K ) ` Y ) = ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) )
16	14, 15	mp3an3 1353	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( limPt ` K ) ` Y ) = ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) )
17		toponuni 19942	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
18	6, 17	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y = U. K )
19	18	fveq2d 5869	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( limPt ` K ) ` Y ) = ( ( limPt ` K ) ` U. K ) )
20	16, 19	eqtr3d 2487	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) = ( ( limPt ` K ) ` U. K ) )
21	20, 18	eqeq12d 2466	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) = Y <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
22	13, 21	syl5bb 261	. 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
23	12, 22	bitr4d 260	1 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( K e. Perf <-> Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   i^i cin 3403   C_ wss 3404   U.cuni 4198   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾_t crest 15319   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   limPtclp 20150  Perfcperf 20151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-cls 20036  df-lp 20152  df-perf 20153

This theorem is referenced by:  perfcls  20381  reperflem  21836  perfdvf  22858