MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restperf Structured version   Unicode version

Theorem restperf 18923
Description: Perfection of a subspace. Note that the term "perfect set" is reserved for closed sets which are perfect in the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
restperf  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( K  e. Perf  <->  Y  C_  (
( limPt `  J ) `  Y ) ) )

Proof of Theorem restperf
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  Y )
2 restcls.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
32toptopon 18673 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 resttopon 18900 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
53, 4sylanb 472 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
61, 5syl5eqel 2546 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
7 topontop 18666 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
109isperf 18890 . . . 4  |-  ( K  e. Perf 
<->  ( K  e.  Top  /\  ( ( limPt `  K
) `  U. K )  =  U. K ) )
1110baib 896 . . 3  |-  ( K  e.  Top  ->  ( K  e. Perf  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
128, 11syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( K  e. Perf  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
13 dfss1 3666 . . 3  |-  ( Y 
C_  ( ( limPt `  J ) `  Y
)  <->  ( ( (
limPt `  J ) `  Y )  i^i  Y
)  =  Y )
14 ssid 3486 . . . . . 6  |-  Y  C_  Y
152, 1restlp 18922 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  Y  C_  Y )  ->  (
( limPt `  K ) `  Y )  =  ( ( ( limPt `  J
) `  Y )  i^i  Y ) )
1614, 15mp3an3 1304 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( limPt `  K
) `  Y )  =  ( ( (
limPt `  J ) `  Y )  i^i  Y
) )
17 toponuni 18667 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
186, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  =  U. K )
1918fveq2d 5806 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( limPt `  K
) `  Y )  =  ( ( limPt `  K ) `  U. K ) )
2016, 19eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( limPt `  J ) `  Y
)  i^i  Y )  =  ( ( limPt `  K ) `  U. K ) )
2120, 18eqeq12d 2476 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( (
limPt `  J ) `  Y )  i^i  Y
)  =  Y  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
2213, 21syl5bb 257 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( Y  C_  (
( limPt `  J ) `  Y )  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
2312, 22bitr4d 256 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( K  e. Perf  <->  Y  C_  (
( limPt `  J ) `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3438    C_ wss 3439   U.cuni 4202   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ↾t crest 14481   Topctop 18633  TopOnctopon 18634   limPtclp 18873  Perfcperf 18874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-fin 7427  df-fi 7775  df-rest 14483  df-topgen 14504  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-cld 18758  df-cls 18760  df-lp 18875  df-perf 18876
This theorem is referenced by:  perfcls  19104  reperflem  20530  perfdvf  21514
  Copyright terms: Public domain W3C validator