MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restperf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem restperf 20200
Description: Perfection of a subspace. Note that the term "perfect set" is reserved for closed sets which are perfect in the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
restperf  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( K  e. Perf  <->  Y  C_  (
( limPt `  J ) `  Y ) ) )

Proof of Theorem restperf
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  Y )
2 restcls.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
32toptopon 19948 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 resttopon 20177 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
53, 4sylanb 475 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
61, 5syl5eqel 2533 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
7 topontop 19941 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2451 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
109isperf 20167 . . . 4  |-  ( K  e. Perf 
<->  ( K  e.  Top  /\  ( ( limPt `  K
) `  U. K )  =  U. K ) )
1110baib 914 . . 3  |-  ( K  e.  Top  ->  ( K  e. Perf  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
128, 11syl 17 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( K  e. Perf  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
13 dfss1 3637 . . 3  |-  ( Y 
C_  ( ( limPt `  J ) `  Y
)  <->  ( ( (
limPt `  J ) `  Y )  i^i  Y
)  =  Y )
14 ssid 3451 . . . . . 6  |-  Y  C_  Y
152, 1restlp 20199 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  Y  C_  Y )  ->  (
( limPt `  K ) `  Y )  =  ( ( ( limPt `  J
) `  Y )  i^i  Y ) )
1614, 15mp3an3 1353 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( limPt `  K
) `  Y )  =  ( ( (
limPt `  J ) `  Y )  i^i  Y
) )
17 toponuni 19942 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
186, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  =  U. K )
1918fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( limPt `  K
) `  Y )  =  ( ( limPt `  K ) `  U. K ) )
2016, 19eqtr3d 2487 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( limPt `  J ) `  Y
)  i^i  Y )  =  ( ( limPt `  K ) `  U. K ) )
2120, 18eqeq12d 2466 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( (
limPt `  J ) `  Y )  i^i  Y
)  =  Y  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
2213, 21syl5bb 261 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( Y  C_  (
( limPt `  J ) `  Y )  <->  ( ( limPt `  K ) `  U. K )  =  U. K ) )
2312, 22bitr4d 260 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( K  e. Perf  <->  Y  C_  (
( limPt `  J ) `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    i^i cin 3403    C_ wss 3404   U.cuni 4198   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾t crest 15319   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   limPtclp 20150  Perfcperf 20151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-cls 20036  df-lp 20152  df-perf 20153
This theorem is referenced by:  perfcls  20381  reperflem  21836  perfdvf  22858
  Copyright terms: Public domain W3C validator