Theorem restperf 19558

Description: Perfection of a subspace. Note that the term "perfect set" is reserved for closed sets which are perfect in the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls.1	|- X = U. J
restcls.2	|- K = ( J ↾t Y )

Assertion

Ref	Expression
restperf	|- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( K e. Perf <-> Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) ) )

Proof of Theorem restperf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls.2	. . . . 5 |- K = ( J ↾t Y )
2		restcls.1	. . . . . . 7 |- X = U. J
3	2	toptopon 19307	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
4		resttopon 19535	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
5	3, 4	sylanb 472	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
6	1, 5	syl5eqel 2535	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
7		topontop 19300	. . . 4 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 16	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
9		eqid 2443	. . . . 5 |- U. K = U. K
10	9	isperf 19525	. . . 4 |- ( K e. Perf <-> ( K e. Top /\ ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
11	10	baib 903	. . 3 |- ( K e. Top -> ( K e. Perf <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
12	8, 11	syl 16	. 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( K e. Perf <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
13		dfss1 3688	. . 3 |- ( Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) <-> ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) = Y )
14		ssid 3508	. . . . . 6 |- Y C_ Y
15	2, 1	restlp 19557	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ Y C_ Y ) -> ( ( limPt ` K ) ` Y ) = ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) )
16	14, 15	mp3an3 1314	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( limPt ` K ) ` Y ) = ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) )
17		toponuni 19301	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
18	6, 17	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y = U. K )
19	18	fveq2d 5860	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( limPt ` K ) ` Y ) = ( ( limPt ` K ) ` U. K ) )
20	16, 19	eqtr3d 2486	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) = ( ( limPt ` K ) ` U. K ) )
21	20, 18	eqeq12d 2465	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( ( limPt ` J ) ` Y ) i^i Y ) = Y <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
22	13, 21	syl5bb 257	. 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) <-> ( ( limPt ` K ) ` U. K ) = U. K ) )
23	12, 22	bitr4d 256	1 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( K e. Perf <-> Y C_ ( ( limPt ` J ) ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   i^i cin 3460   C_ wss 3461   U.cuni 4234   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ↾_t crest 14695   Topctop 19267  TopOnctopon 19268   limPtclp 19508  Perfcperf 19509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-fin 7522  df-fi 7873  df-rest 14697  df-topgen 14718  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-cld 19393  df-cls 19395  df-lp 19510  df-perf 19511

This theorem is referenced by:  perfcls  19739  reperflem  21196  perfdvf  22180