MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restopn2 Structured version   Unicode version

Theorem restopn2 18908
Description: The if  A is open, then  B is open in  A iff it is an open subset of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopn2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  e.  J  /\  B  C_  A ) ) )

Proof of Theorem restopn2
StepHypRef Expression
1 elssuni 4224 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Jt  A )  ->  B  C_  U. ( Jt  A ) )
2 elssuni 4224 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
3 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
43restuni 18893 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
52, 4sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
65sseq2d 3487 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  C_  A  <->  B 
C_  U. ( Jt  A ) ) )
71, 6syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  ->  B  C_  A ) )
87pm4.71rd 635 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  C_  A  /\  B  e.  ( Jt  A ) ) ) )
9 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  J  e.  Top )
10 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  A  e.  J )
11 ssid 3478 . . . . . 6  |-  A  C_  A
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  A  C_  A
)
13 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  B  C_  A
)
14 restopnb 18906 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  ( A  e.  J  /\  A  C_  A  /\  B  C_  A
) )  ->  ( B  e.  J  <->  B  e.  ( Jt  A ) ) )
159, 10, 10, 12, 13, 14syl23anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  ( B  e.  J  <->  B  e.  ( Jt  A ) ) )
1615pm5.32da 641 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( ( B  C_  A  /\  B  e.  J
)  <->  ( B  C_  A  /\  B  e.  ( Jt  A ) ) ) )
178, 16bitr4d 256 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  C_  A  /\  B  e.  J ) ) )
18 ancom 450 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  B  e.  J )  <->  ( B  e.  J  /\  B  C_  A ) )
1917, 18syl6bb 261 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  e.  J  /\  B  C_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3431   U.cuni 4194  (class class class)co 6195   ↾t crest 14473   Topctop 18625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-fin 7419  df-fi 7767  df-rest 14475  df-topgen 14496  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633
This theorem is referenced by:  restdis  18909  perfopn  18916  llyrest  19216  nllyrest  19217  llyidm  19219  nllyidm  19220  lly1stc  19227  qtoprest  19417  xrtgioo  20510  lhop  21616  efopnlem2  22230  cvmopnlem  27306  cvmlift2lem9a  27331  cvmlift2lem9  27339  cvmlift3lem6  27352
  Copyright terms: Public domain W3C validator