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Theorem restntr 18761
Description: An interior in a subspace topology. Willard in General Topology says that there is no analog of restcls 18760 for interiors. In some sense, that is true. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
restntr  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
) )

Proof of Theorem restntr
Dummy variables  x  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Jt  Y )
21fveq2i 5689 . . . . . 6  |-  ( int `  K )  =  ( int `  ( Jt  Y ) )
32fveq1i 5687 . . . . 5  |-  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  S )
4 restcls.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
54topopn 18494 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
6 ssexg 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  Y  e.  _V )
76ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  J  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
85, 7sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
9 resttop 18739 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
108, 9syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( Jt  Y )  e.  Top )
11103adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
124restuni 18741 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
1312sseq2d 3379 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( S  C_  Y  <->  S 
C_  U. ( Jt  Y ) ) )
1413biimp3a 1318 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_ 
U. ( Jt  Y ) )
15 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. ( Jt  Y )
1615ntropn 18628 . . . . . 6  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  S )  e.  ( Jt  Y ) )
1711, 14, 16syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  ( Jt  Y ) ) `  S )  e.  ( Jt  Y ) )
183, 17syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  e.  ( Jt  Y ) )
19 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  J  e.  Top )
20 uniexg 6372 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
214, 20syl5eqel 2522 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  _V )
22 ssexg 4433 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
2321, 22sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  X  /\  J  e.  Top )  ->  Y  e.  _V )
2423ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
25243adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  Y  e.  _V )
26 elrest 14358 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( ( int `  K ) `  S
)  e.  ( Jt  Y )  <->  E. o  e.  J  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )
2719, 25, 26syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  K
) `  S )  e.  ( Jt  Y )  <->  E. o  e.  J  ( ( int `  K ) `  S )  =  ( o  i^i  Y ) ) )
2818, 27mpbid 210 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  E. o  e.  J  ( ( int `  K ) `  S )  =  ( o  i^i  Y ) )
294eltopss 18495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
3029sseld 3350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  X
) )
3130adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  X ) )
32313ad2antl1 1150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  X ) )
33 eldif 3333 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  \  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  Y ) )
3433simplbi2 625 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  Y  ->  x  e.  ( X 
\  Y ) ) )
3534orrd 378 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  (
x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y ) ) )
3632, 35syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  ( x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y
) ) ) )
37 elin 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( o  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  o  /\  x  e.  Y ) )
38 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  ( ( int `  K ) `
 S )  <->  x  e.  ( o  i^i  Y
) ) )
39 elun1 3518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( int `  K ) `  S
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) )
4038, 39syl6bir 229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  ( o  i^i  Y )  ->  x  e.  ( (
( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  ( o  i^i  Y
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4237, 41syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( x  e.  o  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4342expdimp 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( o  i^i  Y
) ) )  /\  x  e.  o )  ->  ( x  e.  Y  ->  x  e.  ( ( ( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
44 elun2 3519 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) )
4544a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( o  i^i  Y
) ) )  /\  x  e.  o )  ->  ( x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
4643, 45jaod 380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( o  i^i  Y
) ) )  /\  x  e.  o )  ->  ( ( x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y
) )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4746ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  ( (
x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y ) )  ->  x  e.  ( (
( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) ) )
4836, 47mpdd 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4948ssrdv 3357 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  o  C_  (
( ( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) )
5011adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
511, 50syl5eqel 2522 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  K  e.  Top )
5214adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  S  C_  U. ( Jt  Y ) )
531unieqi 4095 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. ( Jt  Y )
5453eqcomi 2442 . . . . . . . 8  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. K
5554ntrss2 18636 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  ->  (
( int `  K
) `  S )  C_  S )
5651, 52, 55syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( int `  K ) `  S
)  C_  S )
57 unss1 3520 . . . . . 6  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  C_  S  ->  ( (
( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( ( int `  K ) `
 S )  u.  ( X  \  Y
) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
5949, 58sstrd 3361 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
60 simpl1 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
61 sstr 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  S  C_  X )
6261ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  X )
63623adant1 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  X )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  S  C_  X
)
65 difss 3478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X 
\  Y )  C_  X
6664, 65jctir 538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  Y )  C_  X ) )
67 unss 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  X  /\  ( X  \  Y ) 
C_  X )  <->  ( S  u.  ( X  \  Y
) )  C_  X
)
6866, 67sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( S  u.  ( X  \  Y
) )  C_  X
)
69 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  e.  J )
70 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
714ssntr 18637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) 
C_  X )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  C_  ( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
7260, 68, 69, 70, 71syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  C_  ( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
73 ssrin 3570 . . . . . . . . 9  |-  ( o 
C_  ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  ->  ( o  i^i 
Y )  C_  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( o  i^i  Y )  C_  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
75 sseq1 3372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
( ( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y )  <->  ( o  i^i  Y )  C_  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) ) )
7674, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( (
( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) ) )
7776expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  o  e.  J )  ->  ( o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  -> 
( ( ( int `  K ) `  S
)  =  ( o  i^i  Y )  -> 
( ( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) ) ) )
7877com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  o  e.  J )  ->  ( ( ( int `  K ) `  S
)  =  ( o  i^i  Y )  -> 
( o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  -> 
( ( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) ) ) )
7978impr 619 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  ->  ( ( int `  K ) `  S
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) ) )
8059, 79mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( int `  K ) `  S
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
8128, 80rexlimddv 2840 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) )
821, 11syl5eqel 2522 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  K  e.  Top )
8383adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  Y  e.  _V )
8463, 65jctir 538 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( S  C_  X  /\  ( X  \  Y )  C_  X ) )
8584, 67sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  C_  X )
864ntropn 18628 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  e.  J )
8719, 85, 86syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  e.  J )
88 elrestr 14359 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V  /\  (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  e.  J )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  e.  ( Jt  Y ) )
8919, 83, 87, 88syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  e.  ( Jt  Y ) )
9089, 1syl6eleqr 2529 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  e.  K
)
914ntrss2 18636 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
9219, 85, 91syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
93 ssrin 3570 . . . . 5  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  ->  ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
)  C_  ( ( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i 
Y ) )
9492, 93syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  C_  (
( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i  Y ) )
95 elin 3534 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  /\  x  e.  Y
) )
96 elun 3492 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  <->  ( x  e.  S  \/  x  e.  ( X  \  Y
) ) )
97 orcom 387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  \/  x  e.  ( X  \  Y ) )  <->  ( x  e.  ( X  \  Y
)  \/  x  e.  S ) )
98 df-or 370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  Y )  \/  x  e.  S )  <-> 
( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S ) )
9997, 98bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  \/  x  e.  ( X  \  Y ) )  <->  ( -.  x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  S ) )
10096, 99bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  <->  ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S ) )
101100anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  /\  x  e.  Y )  <->  ( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y ) )
10295, 101bitri 249 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i 
Y )  <->  ( ( -.  x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y
) )
103 elndif 3475 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  Y  ->  -.  x  e.  ( X  \  Y ) )
104 pm2.27 39 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( X 
\  Y )  -> 
( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  ->  x  e.  S ) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  ->  x  e.  S ) )
106105impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  S )
107106a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  S ) )
108102, 107syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( ( S  u.  ( X 
\  Y ) )  i^i  Y )  ->  x  e.  S )
)
109108ssrdv 3357 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i  Y )  C_  S )
11094, 109sstrd 3361 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  C_  S
)
11154ssntr 18637 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  /\  ( ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
)  e.  K  /\  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y )  C_  S ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y )  C_  ( ( int `  K
) `  S )
)
11282, 14, 90, 110, 111syl22anc 1219 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  C_  (
( int `  K
) `  S )
)
11381, 112eqssd 3368 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   U.cuni 4086   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ↾t crest 14351   Topctop 18473   intcnt 18596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-fin 7306  df-fi 7653  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-ntr 18599
This theorem is referenced by:  llycmpkgen2  19098  dvreslem  21359  dvres2lem  21360  dvaddbr  21387  dvmulbr  21388  dvcnvrelem2  21465
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