Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restntr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem restntr 20275
 Description: An interior in a subspace topology. Willard in General Topology says that there is no analogue of restcls 20274 for interiors. In some sense, that is true. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1
restcls.2 t
Assertion
Ref Expression
restntr

Proof of Theorem restntr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . . . . 7 t
21fveq2i 5882 . . . . . 6 t
32fveq1i 5880 . . . . 5 t
4 restcls.1 . . . . . . . . . 10
54topopn 20013 . . . . . . . . 9
6 ssexg 4542 . . . . . . . . . 10
76ancoms 460 . . . . . . . . 9
85, 7sylan 479 . . . . . . . 8
9 resttop 20253 . . . . . . . 8 t
108, 9syldan 478 . . . . . . 7 t
11103adant3 1050 . . . . . 6 t
124restuni 20255 . . . . . . . 8 t
1312sseq2d 3446 . . . . . . 7 t
1413biimp3a 1397 . . . . . 6 t
15 eqid 2471 . . . . . . 7 t t
1615ntropn 20141 . . . . . 6 t t t t
1711, 14, 16syl2anc 673 . . . . 5 t t
183, 17syl5eqel 2553 . . . 4 t
19 simp1 1030 . . . . 5
20 uniexg 6607 . . . . . . . . 9
214, 20syl5eqel 2553 . . . . . . . 8
22 ssexg 4542 . . . . . . . 8
2321, 22sylan2 482 . . . . . . 7
2423ancoms 460 . . . . . 6
25243adant3 1050 . . . . 5
26 elrest 15404 . . . . 5 t
2719, 25, 26syl2anc 673 . . . 4 t
2818, 27mpbid 215 . . 3
294eltopss 20014 . . . . . . . . . . 11
3029sseld 3417 . . . . . . . . . 10
3130adantrr 731 . . . . . . . . 9
32313ad2antl1 1192 . . . . . . . 8
33 eldif 3400 . . . . . . . . . 10
3433simplbi2 637 . . . . . . . . 9
3534orrd 385 . . . . . . . 8
3632, 35syl6 33 . . . . . . 7
37 elin 3608 . . . . . . . . . . 11
38 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . 13
39 elun1 3592 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39syl6bir 237 . . . . . . . . . . . 12
4140ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11
4237, 41syl5bir 226 . . . . . . . . . 10
4342expdimp 444 . . . . . . . . 9
44 elun2 3593 . . . . . . . . . 10
4544a1i 11 . . . . . . . . 9
4643, 45jaod 387 . . . . . . . 8
4746ex 441 . . . . . . 7
4836, 47mpdd 40 . . . . . 6
4948ssrdv 3424 . . . . 5
5011adantr 472 . . . . . . . 8 t
511, 50syl5eqel 2553 . . . . . . 7
5214adantr 472 . . . . . . 7 t
531unieqi 4199 . . . . . . . . 9 t
5453eqcomi 2480 . . . . . . . 8 t
5554ntrss2 20149 . . . . . . 7 t
5651, 52, 55syl2anc 673 . . . . . 6
57 unss1 3594 . . . . . 6
5856, 57syl 17 . . . . 5
5949, 58sstrd 3428 . . . 4
60 simpl1 1033 . . . . . . . . . 10
61 sstr 3426 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14
63623adant1 1048 . . . . . . . . . . . . 13
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
65 difss 3549 . . . . . . . . . . . 12
6664, 65jctir 547 . . . . . . . . . . 11
67 unss 3599 . . . . . . . . . . 11
6866, 67sylib 201 . . . . . . . . . 10
69 simprl 772 . . . . . . . . . 10
70 simprr 774 . . . . . . . . . 10
714ssntr 20150 . . . . . . . . . 10
7260, 68, 69, 70, 71syl22anc 1293 . . . . . . . . 9
73 ssrin 3648 . . . . . . . . 9
7472, 73syl 17 . . . . . . . 8
75 sseq1 3439 . . . . . . . 8
7674, 75syl5ibrcom 230 . . . . . . 7
7776expr 626 . . . . . 6
7877com23 80 . . . . 5
7978impr 631 . . . 4
8059, 79mpd 15 . . 3
8128, 80rexlimddv 2875 . 2
821, 11syl5eqel 2553 . . 3
8383adant3 1050 . . . . 5
8463, 65jctir 547 . . . . . . 7
8584, 67sylib 201 . . . . . 6
864ntropn 20141 . . . . . 6
8719, 85, 86syl2anc 673 . . . . 5
88 elrestr 15405 . . . . 5 t
8919, 83, 87, 88syl3anc 1292 . . . 4 t
9089, 1syl6eleqr 2560 . . 3
914ntrss2 20149 . . . . . 6
9219, 85, 91syl2anc 673 . . . . 5
93 ssrin 3648 . . . . 5
9492, 93syl 17 . . . 4
95 elin 3608 . . . . . . 7
96 elun 3565 . . . . . . . . 9
97 orcom 394 . . . . . . . . . 10
98 df-or 377 . . . . . . . . . 10
9997, 98bitri 257 . . . . . . . . 9
10096, 99bitri 257 . . . . . . . 8
101100anbi1i 709 . . . . . . 7
10295, 101bitri 257 . . . . . 6
103 elndif 3546 . . . . . . . . 9
104 pm2.27 39 . . . . . . . . 9
105103, 104syl 17 . . . . . . . 8
106105impcom 437 . . . . . . 7
107106a1i 11 . . . . . 6
108102, 107syl5bi 225 . . . . 5
109108ssrdv 3424 . . . 4
11094, 109sstrd 3428 . . 3
11154ssntr 20150 . . 3 t
11282, 14, 90, 110, 111syl22anc 1293 . 2
11381, 112eqssd 3435 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  cuni 4190  cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397  ctop 19994  cnt 20109 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-ntr 20112 This theorem is referenced by:  llycmpkgen2  20642  dvreslem  22943  dvres2lem  22944  dvaddbr  22971  dvmulbr  22972  dvcnvrelem2  23049  limciccioolb  37798  limcicciooub  37814  ioccncflimc  37860  icocncflimc  37864  cncfiooicclem1  37868  fourierdlem62  38144
 Copyright terms: Public domain W3C validator