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Theorem restntr 19810
Description: An interior in a subspace topology. Willard in General Topology says that there is no analog of restcls 19809 for interiors. In some sense, that is true. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
restntr  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
) )

Proof of Theorem restntr
Dummy variables  x  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Jt  Y )
21fveq2i 5875 . . . . . 6  |-  ( int `  K )  =  ( int `  ( Jt  Y ) )
32fveq1i 5873 . . . . 5  |-  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  S )
4 restcls.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
54topopn 19542 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
6 ssexg 4602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  Y  e.  _V )
76ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  J  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
85, 7sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
9 resttop 19788 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
108, 9syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( Jt  Y )  e.  Top )
11103adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
124restuni 19790 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
1312sseq2d 3527 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( S  C_  Y  <->  S 
C_  U. ( Jt  Y ) ) )
1413biimp3a 1328 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_ 
U. ( Jt  Y ) )
15 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. ( Jt  Y )
1615ntropn 19677 . . . . . 6  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  S )  e.  ( Jt  Y ) )
1711, 14, 16syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  ( Jt  Y ) ) `  S )  e.  ( Jt  Y ) )
183, 17syl5eqel 2549 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  e.  ( Jt  Y ) )
19 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  J  e.  Top )
20 uniexg 6596 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
214, 20syl5eqel 2549 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  _V )
22 ssexg 4602 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
2321, 22sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  X  /\  J  e.  Top )  ->  Y  e.  _V )
2423ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
25243adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  Y  e.  _V )
26 elrest 14845 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( ( int `  K ) `  S
)  e.  ( Jt  Y )  <->  E. o  e.  J  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )
2719, 25, 26syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  K
) `  S )  e.  ( Jt  Y )  <->  E. o  e.  J  ( ( int `  K ) `  S )  =  ( o  i^i  Y ) ) )
2818, 27mpbid 210 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  E. o  e.  J  ( ( int `  K ) `  S )  =  ( o  i^i  Y ) )
294eltopss 19543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
3029sseld 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  X
) )
3130adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  X ) )
32313ad2antl1 1158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  X ) )
33 eldif 3481 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  \  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  Y ) )
3433simplbi2 625 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  Y  ->  x  e.  ( X 
\  Y ) ) )
3534orrd 378 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  (
x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y ) ) )
3632, 35syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  ( x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y
) ) ) )
37 elin 3683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( o  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  o  /\  x  e.  Y ) )
38 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  ( ( int `  K ) `
 S )  <->  x  e.  ( o  i^i  Y
) ) )
39 elun1 3667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( int `  K ) `  S
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) )
4038, 39syl6bir 229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  ( o  i^i  Y )  ->  x  e.  ( (
( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  ( o  i^i  Y
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4237, 41syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( x  e.  o  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4342expdimp 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( o  i^i  Y
) ) )  /\  x  e.  o )  ->  ( x  e.  Y  ->  x  e.  ( ( ( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
44 elun2 3668 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) )
4544a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( o  i^i  Y
) ) )  /\  x  e.  o )  ->  ( x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
4643, 45jaod 380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( o  i^i  Y
) ) )  /\  x  e.  o )  ->  ( ( x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y
) )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4746ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  ( (
x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y ) )  ->  x  e.  ( (
( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) ) )
4836, 47mpdd 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4948ssrdv 3505 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  o  C_  (
( ( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) )
5011adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
511, 50syl5eqel 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  K  e.  Top )
5214adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  S  C_  U. ( Jt  Y ) )
531unieqi 4260 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. ( Jt  Y )
5453eqcomi 2470 . . . . . . . 8  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. K
5554ntrss2 19685 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  ->  (
( int `  K
) `  S )  C_  S )
5651, 52, 55syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( int `  K ) `  S
)  C_  S )
57 unss1 3669 . . . . . 6  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  C_  S  ->  ( (
( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( ( int `  K ) `
 S )  u.  ( X  \  Y
) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
5949, 58sstrd 3509 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
60 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
61 sstr 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  S  C_  X )
6261ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  X )
63623adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  X )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  S  C_  X
)
65 difss 3627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X 
\  Y )  C_  X
6664, 65jctir 538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  Y )  C_  X ) )
67 unss 3674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  X  /\  ( X  \  Y ) 
C_  X )  <->  ( S  u.  ( X  \  Y
) )  C_  X
)
6866, 67sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( S  u.  ( X  \  Y
) )  C_  X
)
69 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  e.  J )
70 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
714ssntr 19686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) 
C_  X )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  C_  ( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
7260, 68, 69, 70, 71syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  C_  ( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
73 ssrin 3719 . . . . . . . . 9  |-  ( o 
C_  ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  ->  ( o  i^i 
Y )  C_  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( o  i^i  Y )  C_  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
75 sseq1 3520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
( ( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y )  <->  ( o  i^i  Y )  C_  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) ) )
7674, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( (
( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) ) )
7776expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  o  e.  J )  ->  ( o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  -> 
( ( ( int `  K ) `  S
)  =  ( o  i^i  Y )  -> 
( ( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) ) ) )
7877com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  o  e.  J )  ->  ( ( ( int `  K ) `  S
)  =  ( o  i^i  Y )  -> 
( o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  -> 
( ( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) ) ) )
7978impr 619 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  ->  ( ( int `  K ) `  S
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) ) )
8059, 79mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( int `  K ) `  S
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
8128, 80rexlimddv 2953 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) )
821, 11syl5eqel 2549 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  K  e.  Top )
8383adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  Y  e.  _V )
8463, 65jctir 538 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( S  C_  X  /\  ( X  \  Y )  C_  X ) )
8584, 67sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  C_  X )
864ntropn 19677 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  e.  J )
8719, 85, 86syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  e.  J )
88 elrestr 14846 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V  /\  (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  e.  J )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  e.  ( Jt  Y ) )
8919, 83, 87, 88syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  e.  ( Jt  Y ) )
9089, 1syl6eleqr 2556 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  e.  K
)
914ntrss2 19685 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
9219, 85, 91syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
93 ssrin 3719 . . . . 5  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  ->  ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
)  C_  ( ( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i 
Y ) )
9492, 93syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  C_  (
( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i  Y ) )
95 elin 3683 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  /\  x  e.  Y
) )
96 elun 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  <->  ( x  e.  S  \/  x  e.  ( X  \  Y
) ) )
97 orcom 387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  \/  x  e.  ( X  \  Y ) )  <->  ( x  e.  ( X  \  Y
)  \/  x  e.  S ) )
98 df-or 370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  Y )  \/  x  e.  S )  <-> 
( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S ) )
9997, 98bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  \/  x  e.  ( X  \  Y ) )  <->  ( -.  x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  S ) )
10096, 99bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  <->  ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S ) )
101100anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  /\  x  e.  Y )  <->  ( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y ) )
10295, 101bitri 249 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i 
Y )  <->  ( ( -.  x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y
) )
103 elndif 3624 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  Y  ->  -.  x  e.  ( X  \  Y ) )
104 pm2.27 39 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( X 
\  Y )  -> 
( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  ->  x  e.  S ) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  ->  x  e.  S ) )
106105impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  S )
107106a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  S ) )
108102, 107syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( ( S  u.  ( X 
\  Y ) )  i^i  Y )  ->  x  e.  S )
)
109108ssrdv 3505 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i  Y )  C_  S )
11094, 109sstrd 3509 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  C_  S
)
11154ssntr 19686 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  /\  ( ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
)  e.  K  /\  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y )  C_  S ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y )  C_  ( ( int `  K
) `  S )
)
11282, 14, 90, 110, 111syl22anc 1229 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  C_  (
( int `  K
) `  S )
)
11381, 112eqssd 3516 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   U.cuni 4251   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ↾t crest 14838   Topctop 19521   intcnt 19645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-ntr 19648
This theorem is referenced by:  llycmpkgen2  20177  dvreslem  22439  dvres2lem  22440  dvaddbr  22467  dvmulbr  22468  dvcnvrelem2  22545  limciccioolb  31830  limcicciooub  31846  ioccncflimc  31891  icocncflimc  31895  cncfiooicclem1  31899  fourierdlem62  32154
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