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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > restntr | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: An interior in a subspace topology. Willard in General Topology says that there is no analogue of restcls 20274 for interiors. In some sense, that is true. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) |
Ref | Expression |
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restcls.1 |
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restcls.2 |
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Ref | Expression |
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restntr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | restcls.2 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | fveq2i 5882 |
. . . . . 6
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3 | 2 | fveq1i 5880 |
. . . . 5
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4 | restcls.1 |
. . . . . . . . . 10
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5 | 4 | topopn 20013 |
. . . . . . . . 9
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6 | ssexg 4542 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | ancoms 460 |
. . . . . . . . 9
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8 | 5, 7 | sylan 479 |
. . . . . . . 8
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9 | resttop 20253 |
. . . . . . . 8
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10 | 8, 9 | syldan 478 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | 3adant3 1050 |
. . . . . 6
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12 | 4 | restuni 20255 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | sseq2d 3446 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | biimp3a 1397 |
. . . . . 6
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15 | eqid 2471 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | ntropn 20141 |
. . . . . 6
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17 | 11, 14, 16 | syl2anc 673 |
. . . . 5
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18 | 3, 17 | syl5eqel 2553 |
. . . 4
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19 | simp1 1030 |
. . . . 5
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20 | uniexg 6607 |
. . . . . . . . 9
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21 | 4, 20 | syl5eqel 2553 |
. . . . . . . 8
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22 | ssexg 4542 |
. . . . . . . 8
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23 | 21, 22 | sylan2 482 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | ancoms 460 |
. . . . . 6
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25 | 24 | 3adant3 1050 |
. . . . 5
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26 | elrest 15404 |
. . . . 5
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27 | 19, 25, 26 | syl2anc 673 |
. . . 4
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28 | 18, 27 | mpbid 215 |
. . 3
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29 | 4 | eltopss 20014 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | sseld 3417 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 30 | adantrr 731 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31 | 3ad2antl1 1192 |
. . . . . . . 8
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33 | eldif 3400 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | simplbi2 637 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | orrd 385 |
. . . . . . . 8
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36 | 32, 35 | syl6 33 |
. . . . . . 7
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37 | elin 3608 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | eleq2 2538 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | elun1 3592 |
. . . . . . . . . . . . 13
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40 | 38, 39 | syl6bir 237 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40 | ad2antll 743 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 37, 41 | syl5bir 226 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | expdimp 444 |
. . . . . . . . 9
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44 | elun2 3593 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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46 | 43, 45 | jaod 387 |
. . . . . . . 8
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47 | 46 | ex 441 |
. . . . . . 7
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48 | 36, 47 | mpdd 40 |
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49 | 48 | ssrdv 3424 |
. . . . 5
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50 | 11 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
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51 | 1, 50 | syl5eqel 2553 |
. . . . . . 7
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52 | 14 | adantr 472 |
. . . . . . 7
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53 | 1 | unieqi 4199 |
. . . . . . . . 9
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54 | 53 | eqcomi 2480 |
. . . . . . . 8
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55 | 54 | ntrss2 20149 |
. . . . . . 7
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56 | 51, 52, 55 | syl2anc 673 |
. . . . . 6
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57 | unss1 3594 |
. . . . . 6
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58 | 56, 57 | syl 17 |
. . . . 5
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59 | 49, 58 | sstrd 3428 |
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102 | 95, 101 | bitri 257 |
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109 | 108 | ssrdv 3424 |
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110 | 94, 109 | sstrd 3428 |
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111 | 54 | ssntr 20150 |
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112 | 82, 14, 90, 110, 111 | syl22anc 1293 |
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113 | 81, 112 | eqssd 3435 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-oadd 7204 df-er 7381 df-en 7588 df-fin 7591 df-fi 7943 df-rest 15399 df-topgen 15420 df-top 19998 df-bases 19999 df-topon 20000 df-ntr 20112 |
This theorem is referenced by: llycmpkgen2 20642 dvreslem 22943 dvres2lem 22944 dvaddbr 22971 dvmulbr 22972 dvcnvrelem2 23049 limciccioolb 37798 limcicciooub 37814 ioccncflimc 37860 icocncflimc 37864 cncfiooicclem1 37868 fourierdlem62 38144 |
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