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Theorem restntr 18919
Description: An interior in a subspace topology. Willard in General Topology says that there is no analog of restcls 18918 for interiors. In some sense, that is true. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 |- X = U. J
restcls.2 |- K = ( J ↾t Y )
Assertion
Ref Expression
restntr |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) = ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
Proof of Theorem restntr
Dummy variables x o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . . . . 7 |- K = ( J ↾t Y )
21fveq2i 5803 . . . . . 6 |- ( int ` K ) = ( int ` ( J ↾t Y ) )
32fveq1i 5801 . . . . 5 |- ( ( int ` K ) ` S ) = ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` S )
4 restcls.1 . . . . . . . . . 10 |- X = U. J
54topopn 18652 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> X e. J )
6 ssexg 4547 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Y C_ X /\ X e. J ) -> Y e. _V )
76ancoms 453 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. J /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
85, 7sylan 471 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
9 resttop 18897 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
108, 9syldan 470 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
11103adant3 1008 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
124restuni 18899 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
1312sseq2d 3493 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( S C_ Y <-> S C_ U. ( J ↾t Y ) ) )
1413biimp3a 1319 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ U. ( J ↾t Y ) )
15 eqid 2454 . . . . . . 7 |- U. ( J ↾t Y ) = U. ( J ↾t Y )
1615ntropn 18786 . . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) )
1711, 14, 16syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) )
183, 17syl5eqel 2546 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) )
19 simp1 988 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
20 uniexg 6488 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
214, 20syl5eqel 2546 . . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> X e. _V )
22 ssexg 4547 . . . . . . . 8 |- ( ( Y C_ X /\ X e. _V ) -> Y e. _V )
2321, 22sylan2 474 . . . . . . 7 |- ( ( Y C_ X /\ J e. Top ) -> Y e. _V )
2423ancoms 453 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
25243adant3 1008 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> Y e. _V )
26 elrest 14486 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) <-> E. o e. J ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) )
2719, 25, 26syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) <-> E. o e. J ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) )
2818, 27mpbid 210 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. o e. J ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) )
294eltopss 18653 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> o C_ X )
3029sseld 3464 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> ( x e. o -> x e. X ) )
3130adantrr 716 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> x e. X ) )
32313ad2antl1 1150 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> x e. X ) )
33 eldif 3447 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X \ Y ) <-> ( x e. X /\ -. x e. Y ) )
3433simplbi2 625 . . . . . . . . 9 |- ( x e. X -> ( -. x e. Y -> x e. ( X \ Y ) ) )
3534orrd 378 . . . . . . . 8 |- ( x e. X -> ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) )
3632, 35syl6 33 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) ) )
37 elin 3648 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( o i^i Y ) <-> ( x e. o /\ x e. Y ) )
38 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( x e. ( ( int ` K ) ` S ) <-> x e. ( o i^i Y ) ) )
39 elun1 3632 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( int ` K ) ` S ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) )
4038, 39syl6bir 229 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( x e. ( o i^i Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. ( o i^i Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4237, 41syl5bir 218 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( x e. o /\ x e. Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4342expdimp 437 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) /\ x e. o ) -> ( x e. Y -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
44 elun2 3633 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X \ Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) )
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) /\ x e. o ) -> ( x e. ( X \ Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4643, 45jaod 380 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) /\ x e. o ) -> ( ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4746ex 434 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> ( ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) ) )
4836, 47mpdd 40 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4948ssrdv 3471 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> o C_ ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) )
5011adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
511, 50syl5eqel 2546 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> K e. Top )
5214adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> S C_ U. ( J ↾t Y ) )
531unieqi 4209 . . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( J ↾t Y )
5453eqcomi 2467 . . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t Y ) = U. K
5554ntrss2 18794 . . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
5651, 52, 55syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
57 unss1 3634 . . . . . 6 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) C_ S -> ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
5949, 58sstrd 3475 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
60 simpl1 991 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> J e. Top )
61 sstr 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ Y /\ Y C_ X ) -> S C_ X )
6261ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
63623adant1 1006 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> S C_ X )
65 difss 3592 . . . . . . . . . . . 12 |- ( X \ Y ) C_ X
6664, 65jctir 538 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> ( S C_ X /\ ( X \ Y ) C_ X ) )
67 unss 3639 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ X /\ ( X \ Y ) C_ X ) <-> ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X )
6866, 67sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X )
69 simprl 755 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o e. J )
70 simprr 756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
714ssntr 18795 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o C_ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) )
7260, 68, 69, 70, 71syl22anc 1220 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o C_ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) )
73 ssrin 3684 . . . . . . . . 9 |- ( o C_ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) -> ( o i^i Y ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> ( o i^i Y ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
75 sseq1 3486 . . . . . . . 8 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) <-> ( o i^i Y ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) )
7674, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) )
7776expr 615 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ o e. J ) -> ( o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) ) )
7877com23 78 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ o e. J ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) ) )
7978impr 619 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) )
8059, 79mpd 15 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
8128, 80rexlimddv 2951 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
821, 11syl5eqel 2546 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> K e. Top )
8383adant3 1008 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> Y e. _V )
8463, 65jctir 538 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( S C_ X /\ ( X \ Y ) C_ X ) )
8584, 67sylib 196 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X )
864ntropn 18786 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) e. J )
8719, 85, 86syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) e. J )
88 elrestr 14487 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V /\ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) e. J ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. ( J ↾t Y ) )
8919, 83, 87, 88syl3anc 1219 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. ( J ↾t Y ) )
9089, 1syl6eleqr 2553 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. K )
914ntrss2 18794 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
9219, 85, 91syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
93 ssrin 3684 . . . . 5 |- ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) )
9492, 93syl 16 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) )
95 elin 3648 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) <-> ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) /\ x e. Y ) )
96 elun 3606 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) <-> ( x e. S \/ x e. ( X \ Y ) ) )
97 orcom 387 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S \/ x e. ( X \ Y ) ) <-> ( x e. ( X \ Y ) \/ x e. S ) )
98 df-or 370 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( X \ Y ) \/ x e. S ) <-> ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) )
9997, 98bitri 249 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. S \/ x e. ( X \ Y ) ) <-> ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) )
10096, 99bitri 249 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) <-> ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) )
101100anbi1i 695 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) /\ x e. Y ) <-> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) )
10295, 101bitri 249 . . . . . 6 |- ( x e. ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) <-> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) )
103 elndif 3589 . . . . . . . . 9 |- ( x e. Y -> -. x e. ( X \ Y ) )
104 pm2.27 39 . . . . . . . . 9 |- ( -. x e. ( X \ Y ) -> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) -> x e. S ) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . 8 |- ( x e. Y -> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) -> x e. S ) )
106105impcom 430 . . . . . . 7 |- ( ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) -> x e. S )
107106a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) -> x e. S ) )
108102, 107syl5bi 217 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( x e. ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) -> x e. S ) )
109108ssrdv 3471 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) C_ S )
11094, 109sstrd 3475 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ S )
11154ssntr 18795 . . 3 |- ( ( ( K e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) /\ ( ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. K /\ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ S ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( int ` K ) ` S ) )
11282, 14, 90, 110, 111syl22anc 1220 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( int ` K ) ` S ) )
11381, 112eqssd 3482 1 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) = ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   \ cdif 3434   u. cun 3435   i^i cin 3436   C_ wss 3437   U.cuni 4200   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   ↾t crest 14479   Topctop 18631   intcnt 18754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-fin 7425  df-fi 7773  df-rest 14481  df-topgen 14502  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-ntr 18757
This theorem is referenced by:  llycmpkgen2  19256  dvreslem  21518  dvres2lem  21519  dvaddbr  21546  dvmulbr  21547  dvcnvrelem2  21624
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