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Theorem restntr 20275
Description: An interior in a subspace topology. Willard in General Topology says that there is no analogue of restcls 20274 for interiors. In some sense, that is true. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
restntr  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
) )

Proof of Theorem restntr
Dummy variables  x  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Jt  Y )
21fveq2i 5882 . . . . . 6  |-  ( int `  K )  =  ( int `  ( Jt  Y ) )
32fveq1i 5880 . . . . 5  |-  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  S )
4 restcls.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
54topopn 20013 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
6 ssexg 4542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  Y  e.  _V )
76ancoms 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  J  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
85, 7sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
9 resttop 20253 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
108, 9syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( Jt  Y )  e.  Top )
11103adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
124restuni 20255 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
1312sseq2d 3446 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( S  C_  Y  <->  S 
C_  U. ( Jt  Y ) ) )
1413biimp3a 1397 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_ 
U. ( Jt  Y ) )
15 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. ( Jt  Y )
1615ntropn 20141 . . . . . 6  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  S )  e.  ( Jt  Y ) )
1711, 14, 16syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  ( Jt  Y ) ) `  S )  e.  ( Jt  Y ) )
183, 17syl5eqel 2553 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  e.  ( Jt  Y ) )
19 simp1 1030 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  J  e.  Top )
20 uniexg 6607 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
214, 20syl5eqel 2553 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  _V )
22 ssexg 4542 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
2321, 22sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  X  /\  J  e.  Top )  ->  Y  e.  _V )
2423ancoms 460 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
25243adant3 1050 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  Y  e.  _V )
26 elrest 15404 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( ( int `  K ) `  S
)  e.  ( Jt  Y )  <->  E. o  e.  J  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )
2719, 25, 26syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  K
) `  S )  e.  ( Jt  Y )  <->  E. o  e.  J  ( ( int `  K ) `  S )  =  ( o  i^i  Y ) ) )
2818, 27mpbid 215 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  E. o  e.  J  ( ( int `  K ) `  S )  =  ( o  i^i  Y ) )
294eltopss 20014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
3029sseld 3417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  X
) )
3130adantrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  X ) )
32313ad2antl1 1192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  X ) )
33 eldif 3400 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  \  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  Y ) )
3433simplbi2 637 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  Y  ->  x  e.  ( X 
\  Y ) ) )
3534orrd 385 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  (
x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y ) ) )
3632, 35syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  ( x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y
) ) ) )
37 elin 3608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( o  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  o  /\  x  e.  Y ) )
38 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  ( ( int `  K ) `
 S )  <->  x  e.  ( o  i^i  Y
) ) )
39 elun1 3592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( int `  K ) `  S
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) )
4038, 39syl6bir 237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  ( o  i^i  Y )  ->  x  e.  ( (
( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
4140ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  ( o  i^i  Y
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4237, 41syl5bir 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( x  e.  o  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4342expdimp 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( o  i^i  Y
) ) )  /\  x  e.  o )  ->  ( x  e.  Y  ->  x  e.  ( ( ( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
44 elun2 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) )
4544a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( o  i^i  Y
) ) )  /\  x  e.  o )  ->  ( x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
4643, 45jaod 387 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K ) `
 S )  =  ( o  i^i  Y
) ) )  /\  x  e.  o )  ->  ( ( x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y
) )  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4746ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  ( (
x  e.  Y  \/  x  e.  ( X  \  Y ) )  ->  x  e.  ( (
( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) ) ) )
4836, 47mpdd 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( x  e.  o  ->  x  e.  ( ( ( int `  K ) `  S
)  u.  ( X 
\  Y ) ) ) )
4948ssrdv 3424 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  o  C_  (
( ( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) ) )
5011adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
511, 50syl5eqel 2553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  K  e.  Top )
5214adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  S  C_  U. ( Jt  Y ) )
531unieqi 4199 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. ( Jt  Y )
5453eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. K
5554ntrss2 20149 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  ->  (
( int `  K
) `  S )  C_  S )
5651, 52, 55syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( int `  K ) `  S
)  C_  S )
57 unss1 3594 . . . . . 6  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  C_  S  ->  ( (
( int `  K
) `  S )  u.  ( X  \  Y
) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
5856, 57syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( ( int `  K ) `
 S )  u.  ( X  \  Y
) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
5949, 58sstrd 3428 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
60 simpl1 1033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
61 sstr 3426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  S  C_  X )
6261ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  X )
63623adant1 1048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  X )
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  S  C_  X
)
65 difss 3549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X 
\  Y )  C_  X
6664, 65jctir 547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  Y )  C_  X ) )
67 unss 3599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  X  /\  ( X  \  Y ) 
C_  X )  <->  ( S  u.  ( X  \  Y
) )  C_  X
)
6866, 67sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( S  u.  ( X  \  Y
) )  C_  X
)
69 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  e.  J )
70 simprr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
714ssntr 20150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) 
C_  X )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  C_  ( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
7260, 68, 69, 70, 71syl22anc 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  o  C_  ( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) ) )
73 ssrin 3648 . . . . . . . . 9  |-  ( o 
C_  ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  ->  ( o  i^i 
Y )  C_  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
7472, 73syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( o  i^i  Y )  C_  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
75 sseq1 3439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
( ( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y )  <->  ( o  i^i  Y )  C_  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) ) )
7674, 75syl5ibrcom 230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) ) )  ->  ( (
( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) ) )
7776expr 626 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  o  e.  J )  ->  ( o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  -> 
( ( ( int `  K ) `  S
)  =  ( o  i^i  Y )  -> 
( ( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) ) ) )
7877com23 80 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  o  e.  J )  ->  ( ( ( int `  K ) `  S
)  =  ( o  i^i  Y )  -> 
( o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  -> 
( ( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) ) ) )
7978impr 631 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( o  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  ->  ( ( int `  K ) `  S
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) ) )
8059, 79mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( o  e.  J  /\  ( ( int `  K
) `  S )  =  ( o  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( int `  K ) `  S
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
8128, 80rexlimddv 2875 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  C_  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y ) )
821, 11syl5eqel 2553 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  K  e.  Top )
8383adant3 1050 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  Y  e.  _V )
8463, 65jctir 547 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( S  C_  X  /\  ( X  \  Y )  C_  X ) )
8584, 67sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  C_  X )
864ntropn 20141 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  e.  J )
8719, 85, 86syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  e.  J )
88 elrestr 15405 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V  /\  (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  e.  J )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  e.  ( Jt  Y ) )
8919, 83, 87, 88syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  e.  ( Jt  Y ) )
9089, 1syl6eleqr 2560 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  e.  K
)
914ntrss2 20149 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
9219, 85, 91syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )
93 ssrin 3648 . . . . 5  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  C_  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  ->  ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
)  C_  ( ( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i 
Y ) )
9492, 93syl 17 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  C_  (
( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i  Y ) )
95 elin 3608 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  /\  x  e.  Y
) )
96 elun 3565 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  <->  ( x  e.  S  \/  x  e.  ( X  \  Y
) ) )
97 orcom 394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  \/  x  e.  ( X  \  Y ) )  <->  ( x  e.  ( X  \  Y
)  \/  x  e.  S ) )
98 df-or 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  Y )  \/  x  e.  S )  <-> 
( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S ) )
9997, 98bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  \/  x  e.  ( X  \  Y ) )  <->  ( -.  x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  S ) )
10096, 99bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  <->  ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S ) )
101100anbi1i 709 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( S  u.  ( X  \  Y ) )  /\  x  e.  Y )  <->  ( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y ) )
10295, 101bitri 257 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i 
Y )  <->  ( ( -.  x  e.  ( X  \  Y )  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y
) )
103 elndif 3546 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  Y  ->  -.  x  e.  ( X  \  Y ) )
104 pm2.27 39 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( X 
\  Y )  -> 
( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  ->  x  e.  S ) )
105103, 104syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  ->  x  e.  S ) )
106105impcom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  S )
107106a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( -.  x  e.  ( X  \  Y
)  ->  x  e.  S )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  S ) )
108102, 107syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( ( S  u.  ( X 
\  Y ) )  i^i  Y )  ->  x  e.  S )
)
109108ssrdv 3424 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( S  u.  ( X  \  Y ) )  i^i  Y )  C_  S )
11094, 109sstrd 3428 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  C_  S
)
11154ssntr 20150 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  /\  ( ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
)  e.  K  /\  ( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y )  C_  S ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y )  C_  ( ( int `  K
) `  S )
)
11282, 14, 90, 110, 111syl22anc 1293 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( S  u.  ( X  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  C_  (
( int `  K
) `  S )
)
11381, 112eqssd 3435 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( int `  K
) `  S )  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( S  u.  ( X  \  Y ) ) )  i^i  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   U.cuni 4190   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994   intcnt 20109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-ntr 20112
This theorem is referenced by:  llycmpkgen2  20642  dvreslem  22943  dvres2lem  22944  dvaddbr  22971  dvmulbr  22972  dvcnvrelem2  23049  limciccioolb  37798  limcicciooub  37814  ioccncflimc  37860  icocncflimc  37864  cncfiooicclem1  37868  fourierdlem62  38144
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