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Theorem restntr 20184
Description: An interior in a subspace topology. Willard in General Topology says that there is no analog of restcls 20183 for interiors. In some sense, that is true. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 |- X = U. J
restcls.2 |- K = ( J ↾t Y )
Assertion
Ref Expression
restntr |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) = ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
Proof of Theorem restntr
Dummy variables x o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . . . . 7 |- K = ( J ↾t Y )
21fveq2i 5880 . . . . . 6 |- ( int ` K ) = ( int ` ( J ↾t Y ) )
32fveq1i 5878 . . . . 5 |- ( ( int ` K ) ` S ) = ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` S )
4 restcls.1 . . . . . . . . . 10 |- X = U. J
54topopn 19922 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> X e. J )
6 ssexg 4566 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Y C_ X /\ X e. J ) -> Y e. _V )
76ancoms 454 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. J /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
85, 7sylan 473 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
9 resttop 20162 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
108, 9syldan 472 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
11103adant3 1025 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
124restuni 20164 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
1312sseq2d 3492 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( S C_ Y <-> S C_ U. ( J ↾t Y ) ) )
1413biimp3a 1364 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ U. ( J ↾t Y ) )
15 eqid 2422 . . . . . . 7 |- U. ( J ↾t Y ) = U. ( J ↾t Y )
1615ntropn 20050 . . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) )
1711, 14, 16syl2anc 665 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) )
183, 17syl5eqel 2514 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) )
19 simp1 1005 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
20 uniexg 6598 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
214, 20syl5eqel 2514 . . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> X e. _V )
22 ssexg 4566 . . . . . . . 8 |- ( ( Y C_ X /\ X e. _V ) -> Y e. _V )
2321, 22sylan2 476 . . . . . . 7 |- ( ( Y C_ X /\ J e. Top ) -> Y e. _V )
2423ancoms 454 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
25243adant3 1025 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> Y e. _V )
26 elrest 15313 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) <-> E. o e. J ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) )
2719, 25, 26syl2anc 665 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) <-> E. o e. J ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) )
2818, 27mpbid 213 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. o e. J ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) )
294eltopss 19923 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> o C_ X )
3029sseld 3463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> ( x e. o -> x e. X ) )
3130adantrr 721 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> x e. X ) )
32313ad2antl1 1167 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> x e. X ) )
33 eldif 3446 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X \ Y ) <-> ( x e. X /\ -. x e. Y ) )
3433simplbi2 629 . . . . . . . . 9 |- ( x e. X -> ( -. x e. Y -> x e. ( X \ Y ) ) )
3534orrd 379 . . . . . . . 8 |- ( x e. X -> ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) )
3632, 35syl6 34 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) ) )
37 elin 3649 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( o i^i Y ) <-> ( x e. o /\ x e. Y ) )
38 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( x e. ( ( int ` K ) ` S ) <-> x e. ( o i^i Y ) ) )
39 elun1 3633 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( int ` K ) ` S ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) )
4038, 39syl6bir 232 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( x e. ( o i^i Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4140ad2antll 733 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. ( o i^i Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4237, 41syl5bir 221 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( x e. o /\ x e. Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4342expdimp 438 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) /\ x e. o ) -> ( x e. Y -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
44 elun2 3634 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X \ Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) )
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) /\ x e. o ) -> ( x e. ( X \ Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4643, 45jaod 381 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) /\ x e. o ) -> ( ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4746ex 435 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> ( ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) ) )
4836, 47mpdd 41 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
4948ssrdv 3470 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> o C_ ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) )
5011adantr 466 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
511, 50syl5eqel 2514 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> K e. Top )
5214adantr 466 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> S C_ U. ( J ↾t Y ) )
531unieqi 4225 . . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( J ↾t Y )
5453eqcomi 2435 . . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t Y ) = U. K
5554ntrss2 20058 . . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
5651, 52, 55syl2anc 665 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
57 unss1 3635 . . . . . 6 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) C_ S -> ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
5856, 57syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
5949, 58sstrd 3474 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
60 simpl1 1008 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> J e. Top )
61 sstr 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ Y /\ Y C_ X ) -> S C_ X )
6261ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
63623adant1 1023 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
6463adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> S C_ X )
65 difss 3592 . . . . . . . . . . . 12 |- ( X \ Y ) C_ X
6664, 65jctir 540 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> ( S C_ X /\ ( X \ Y ) C_ X ) )
67 unss 3640 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ X /\ ( X \ Y ) C_ X ) <-> ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X )
6866, 67sylib 199 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X )
69 simprl 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o e. J )
70 simprr 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
714ssntr 20059 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o C_ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) )
7260, 68, 69, 70, 71syl22anc 1265 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o C_ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) )
73 ssrin 3687 . . . . . . . . 9 |- ( o C_ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) -> ( o i^i Y ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
7472, 73syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> ( o i^i Y ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
75 sseq1 3485 . . . . . . . 8 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) <-> ( o i^i Y ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) )
7674, 75syl5ibrcom 225 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) )
7776expr 618 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ o e. J ) -> ( o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) ) )
7877com23 81 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ o e. J ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) ) )
7978impr 623 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) )
8059, 79mpd 15 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
8128, 80rexlimddv 2921 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
821, 11syl5eqel 2514 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> K e. Top )
8383adant3 1025 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> Y e. _V )
8463, 65jctir 540 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( S C_ X /\ ( X \ Y ) C_ X ) )
8584, 67sylib 199 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X )
864ntropn 20050 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) e. J )
8719, 85, 86syl2anc 665 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) e. J )
88 elrestr 15314 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V /\ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) e. J ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. ( J ↾t Y ) )
8919, 83, 87, 88syl3anc 1264 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. ( J ↾t Y ) )
9089, 1syl6eleqr 2521 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. K )
914ntrss2 20058 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
9219, 85, 91syl2anc 665 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
93 ssrin 3687 . . . . 5 |- ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) )
9492, 93syl 17 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) )
95 elin 3649 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) <-> ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) /\ x e. Y ) )
96 elun 3606 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) <-> ( x e. S \/ x e. ( X \ Y ) ) )
97 orcom 388 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S \/ x e. ( X \ Y ) ) <-> ( x e. ( X \ Y ) \/ x e. S ) )
98 df-or 371 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( X \ Y ) \/ x e. S ) <-> ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) )
9997, 98bitri 252 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. S \/ x e. ( X \ Y ) ) <-> ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) )
10096, 99bitri 252 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) <-> ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) )
101100anbi1i 699 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) /\ x e. Y ) <-> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) )
10295, 101bitri 252 . . . . . 6 |- ( x e. ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) <-> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) )
103 elndif 3589 . . . . . . . . 9 |- ( x e. Y -> -. x e. ( X \ Y ) )
104 pm2.27 40 . . . . . . . . 9 |- ( -. x e. ( X \ Y ) -> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) -> x e. S ) )
105103, 104syl 17 . . . . . . . 8 |- ( x e. Y -> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) -> x e. S ) )
106105impcom 431 . . . . . . 7 |- ( ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) -> x e. S )
107106a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) -> x e. S ) )
108102, 107syl5bi 220 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( x e. ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) -> x e. S ) )
109108ssrdv 3470 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) C_ S )
11094, 109sstrd 3474 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ S )
11154ssntr 20059 . . 3 |- ( ( ( K e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) /\ ( ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. K /\ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ S ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( int ` K ) ` S ) )
11282, 14, 90, 110, 111syl22anc 1265 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( int ` K ) ` S ) )
11381, 112eqssd 3481 1 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) = ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   \ cdif 3433   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   U.cuni 4216   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   ↾t crest 15306   Topctop 19903   intcnt 20018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-fin 7577  df-fi 7927  df-rest 15308  df-topgen 15329  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-ntr 20021
This theorem is referenced by:  llycmpkgen2  20551  dvreslem  22850  dvres2lem  22851  dvaddbr  22878  dvmulbr  22879  dvcnvrelem2  22956  limciccioolb  37520  limcicciooub  37536  ioccncflimc  37582  icocncflimc  37586  cncfiooicclem1  37590  fourierdlem62  37851
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