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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > restntr | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: An interior in a subspace topology. Willard in General Topology says that there is no analogue of restcls 20190 for interiors. In some sense, that is true. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) |
Ref | Expression |
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restcls.1 |
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restcls.2 |
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Ref | Expression |
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restntr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | restcls.2 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | fveq2i 5866 |
. . . . . 6
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3 | 2 | fveq1i 5864 |
. . . . 5
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4 | restcls.1 |
. . . . . . . . . 10
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5 | 4 | topopn 19929 |
. . . . . . . . 9
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6 | ssexg 4548 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | ancoms 455 |
. . . . . . . . 9
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8 | 5, 7 | sylan 474 |
. . . . . . . 8
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9 | resttop 20169 |
. . . . . . . 8
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10 | 8, 9 | syldan 473 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | 3adant3 1027 |
. . . . . 6
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12 | 4 | restuni 20171 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | sseq2d 3459 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | biimp3a 1368 |
. . . . . 6
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15 | eqid 2450 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | ntropn 20057 |
. . . . . 6
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17 | 11, 14, 16 | syl2anc 666 |
. . . . 5
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18 | 3, 17 | syl5eqel 2532 |
. . . 4
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19 | simp1 1007 |
. . . . 5
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20 | uniexg 6585 |
. . . . . . . . 9
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21 | 4, 20 | syl5eqel 2532 |
. . . . . . . 8
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22 | ssexg 4548 |
. . . . . . . 8
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23 | 21, 22 | sylan2 477 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | ancoms 455 |
. . . . . 6
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25 | 24 | 3adant3 1027 |
. . . . 5
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26 | elrest 15319 |
. . . . 5
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27 | 19, 25, 26 | syl2anc 666 |
. . . 4
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28 | 18, 27 | mpbid 214 |
. . 3
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29 | 4 | eltopss 19930 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | sseld 3430 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 30 | adantrr 722 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31 | 3ad2antl1 1169 |
. . . . . . . 8
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33 | eldif 3413 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | simplbi2 630 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | orrd 380 |
. . . . . . . 8
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36 | 32, 35 | syl6 34 |
. . . . . . 7
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37 | elin 3616 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | eleq2 2517 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | elun1 3600 |
. . . . . . . . . . . . 13
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40 | 38, 39 | syl6bir 233 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40 | ad2antll 734 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 37, 41 | syl5bir 222 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | expdimp 439 |
. . . . . . . . 9
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44 | elun2 3601 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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46 | 43, 45 | jaod 382 |
. . . . . . . 8
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47 | 46 | ex 436 |
. . . . . . 7
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48 | 36, 47 | mpdd 41 |
. . . . . 6
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49 | 48 | ssrdv 3437 |
. . . . 5
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50 | 11 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
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51 | 1, 50 | syl5eqel 2532 |
. . . . . . 7
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52 | 14 | adantr 467 |
. . . . . . 7
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53 | 1 | unieqi 4206 |
. . . . . . . . 9
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54 | 53 | eqcomi 2459 |
. . . . . . . 8
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55 | 54 | ntrss2 20065 |
. . . . . . 7
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56 | 51, 52, 55 | syl2anc 666 |
. . . . . 6
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57 | unss1 3602 |
. . . . . 6
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58 | 56, 57 | syl 17 |
. . . . 5
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59 | 49, 58 | sstrd 3441 |
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66 | 64, 65 | jctir 541 |
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89 | 19, 83, 87, 88 | syl3anc 1267 |
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101 | 100 | anbi1i 700 |
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102 | 95, 101 | bitri 253 |
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103 | elndif 3556 |
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104 | pm2.27 40 |
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105 | 103, 104 | syl 17 |
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107 | 106 | a1i 11 |
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108 | 102, 107 | syl5bi 221 |
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109 | 108 | ssrdv 3437 |
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110 | 94, 109 | sstrd 3441 |
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111 | 54 | ssntr 20066 |
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112 | 82, 14, 90, 110, 111 | syl22anc 1268 |
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113 | 81, 112 | eqssd 3448 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-pss 3419 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-tp 3972 df-op 3974 df-uni 4198 df-int 4234 df-iun 4279 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-tr 4497 df-eprel 4744 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-fr 4792 df-we 4794 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-pred 5379 df-ord 5425 df-on 5426 df-lim 5427 df-suc 5428 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-om 6690 df-1st 6790 df-2nd 6791 df-wrecs 7025 df-recs 7087 df-rdg 7125 df-oadd 7183 df-er 7360 df-en 7567 df-fin 7570 df-fi 7922 df-rest 15314 df-topgen 15335 df-top 19914 df-bases 19915 df-topon 19916 df-ntr 20028 |
This theorem is referenced by: llycmpkgen2 20558 dvreslem 22857 dvres2lem 22858 dvaddbr 22885 dvmulbr 22886 dvcnvrelem2 22963 limciccioolb 37695 limcicciooub 37711 ioccncflimc 37757 icocncflimc 37761 cncfiooicclem1 37765 fourierdlem62 38026 |
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