MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restnlly Structured version   Unicode version

Theorem restnlly 20108
Description: If the property  A passes to open subspaces, then a space is n-locally  A iff it is locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restlly.1  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
Assertion
Ref Expression
restnlly  |-  ( ph  -> 𝑛Locally  A  = Locally  A )
Distinct variable groups:    x, j, A    ph, j, x

Proof of Theorem restnlly
Dummy variables  k 
s  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 20099 . . . . . 6  |-  ( k  e. 𝑛Locally  A  ->  k  e.  Top )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A
)  ->  k  e.  Top )
3 nlly2i 20102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e. 𝑛Locally  A  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  ->  E. s  e.  ~P  y E. x  e.  k  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) )
433adant1l 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  ->  E. s  e.  ~P  y E. x  e.  k  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) )
5 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  e.  k )
6 simprr2 1045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  C_  s
)
7 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  e.  ~P y )
87elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  C_  y
)
96, 8sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  C_  y
)
10 selpw 4022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P y  <->  x  C_  y
)
119, 10sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  e.  ~P y )
125, 11elind 3684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  e.  ( k  i^i  ~P y
) )
13 simprr1 1044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  e.  x
)
14 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A ) )
1514simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  k  e. 𝑛Locally  A )
1615, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  k  e.  Top )
17 restabs 19792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  Top  /\  x  C_  s  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( kt  s )t  x )  =  ( kt  x ) )
1816, 6, 7, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ( kt  s )t  x )  =  ( kt  x ) )
19 simprr3 1046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( kt  s )  e.  A )
2014simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ph )
21 restlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
2221expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
x  e.  j  -> 
( jt  x )  e.  A
) )
2322ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( x  e.  j  ->  ( jt  x )  e.  A
) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  A. j  e.  A  ( x  e.  j  ->  ( jt  x )  e.  A
) )
25 df-ss 3485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  s  <->  ( x  i^i  s )  =  x )
266, 25sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( x  i^i  s )  =  x )
27 elrestr 14845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  Top  /\  s  e.  ~P y  /\  x  e.  k
)  ->  ( x  i^i  s )  e.  ( kt  s ) )
2816, 7, 5, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( x  i^i  s )  e.  ( kt  s ) )
2926, 28eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  e.  ( kt  s ) )
30 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( kt  s )  ->  ( x  e.  j  <->  x  e.  (
kt  s ) ) )
31 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  ( kt  s )  ->  ( jt  x )  =  ( ( kt  s )t  x ) )
3231eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( kt  s )  ->  ( ( jt  x )  e.  A  <->  ( (
kt  s )t  x )  e.  A
) )
3330, 32imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( kt  s )  ->  ( ( x  e.  j  ->  (
jt  x )  e.  A
)  <->  ( x  e.  ( kt  s )  -> 
( ( kt  s )t  x )  e.  A ) ) )
3433rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( kt  s )  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  ( x  e.  j  ->  ( jt  x
)  e.  A )  ->  ( x  e.  ( kt  s )  -> 
( ( kt  s )t  x )  e.  A ) ) )
3519, 24, 29, 34syl3c 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ( kt  s )t  x )  e.  A
)
3618, 35eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( kt  x )  e.  A )
3712, 13, 36jca32 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( x  e.  ( k  i^i  ~P y )  /\  (
u  e.  x  /\  ( kt  x )  e.  A
) ) )
3837ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  ->  (
( x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) )  ->  ( x  e.  ( k  i^i  ~P y )  /\  (
u  e.  x  /\  ( kt  x )  e.  A
) ) ) )
3938reximdv2 2928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  ->  ( E. x  e.  k 
( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A )  ->  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) ) )
4039rexlimdva 2949 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  ->  ( E. s  e.  ~P  y E. x  e.  k  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A )  ->  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) ) )
414, 40mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  ->  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) )
42413expb 1197 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  (
y  e.  k  /\  u  e.  y )
)  ->  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) )
4342ralrimivva 2878 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A
)  ->  A. y  e.  k  A. u  e.  y  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) )
44 islly 20094 . . . . 5  |-  ( k  e. Locally  A  <->  ( k  e. 
Top  /\  A. y  e.  k  A. u  e.  y  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) ) )
452, 43, 44sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A
)  ->  k  e. Locally  A )
4645ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e. 𝑛Locally  A  -> 
k  e. Locally  A ) )
4746ssrdv 3505 . 2  |-  ( ph  -> 𝑛Locally  A 
C_ Locally  A )
48 llyssnlly 20104 . . 3  |- Locally  A  C_ 𝑛Locally  A
4948a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> Locally 
A  C_ 𝑛Locally  A )
5047, 49eqssd 3516 1  |-  ( ph  -> 𝑛Locally  A  = Locally  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015  (class class class)co 6296   ↾t crest 14837   Topctop 19520  Locally clly 20090  𝑛Locally cnlly 20091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-rest 14839  df-top 19525  df-nei 19725  df-lly 20092  df-nlly 20093
This theorem is referenced by:  loclly  20113  hausnlly  20119
  Copyright terms: Public domain W3C validator