Theorem restnlly 19777

Description: If the property A passes to open subspaces, then a space is n-locally A iff it is locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restlly.1	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
restnlly	|- ( ph -> 𝑛Locally A = Locally A )

Distinct variable groups:   x, j, A   ph, j, x

Proof of Theorem restnlly

Dummy variables k s u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nllytop 19768	. . . . . 6 |- ( k e. 𝑛Locally A -> k e. Top )
2	1	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> k e. Top )
3		nlly2i 19771	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. 𝑛Locally A /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) )
4	3	3adant1l 1220	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) )
5		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. k )
6		simprr2 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x C_ s )
7		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> s e. ~P y )
8	7	elpwid 4020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> s C_ y )
9	6, 8	sstrd 3514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x C_ y )
10		selpw 4017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P y <-> x C_ y )
11	9, 10	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ~P y )
12	5, 11	elind 3688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ( k i^i ~P y ) )
13		simprr1 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> u e. x )
14		simpll1 1035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) )
15	14	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> k e. 𝑛Locally A )
16	15, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> k e. Top )
17		restabs 19460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. Top /\ x C_ s /\ s e. ~P y ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) = ( k ↾t x ) )
18	16, 6, 7, 17	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) = ( k ↾t x ) )
19		simprr3 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( k ↾t s ) e. A )
20	14	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ph )
21		restlly.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )
22	21	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
23	22	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
24	20, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
25		df-ss 3490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ s <-> ( x i^i s ) = x )
26	6, 25	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x i^i s ) = x )
27		elrestr 14684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. Top /\ s e. ~P y /\ x e. k ) -> ( x i^i s ) e. ( k ↾t s ) )
28	16, 7, 5, 27	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x i^i s ) e. ( k ↾t s ) )
29	26, 28	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ( k ↾t s ) )
30		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( x e. j <-> x e. ( k ↾t s ) ) )
31		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( j ↾t x ) = ( ( k ↾t s ) ↾t x ) )
32	31	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( ( j ↾t x ) e. A <-> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) )
33	30, 32	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) <-> ( x e. ( k ↾t s ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) ) )
34	33	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k ↾t s ) e. A -> ( A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) -> ( x e. ( k ↾t s ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) ) )
35	19, 24, 29, 34	syl3c 61	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A )
36	18, 35	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( k ↾t x ) e. A )
37	12, 13, 36	jca32 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x e. ( k i^i ~P y ) /\ ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
38	37	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) -> ( ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) -> ( x e. ( k i^i ~P y ) /\ ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) ) )
39	38	reximdv2 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) -> ( E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
40	39	rexlimdva 2955	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> ( E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
41	4, 40	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
42	41	3expb 1197	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ ( y e. k /\ u e. y ) ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
43	42	ralrimivva 2885	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> A. y e. k A. u e. y E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
44		islly 19763	. . . . 5 |- ( k e. Locally A <-> ( k e. Top /\ A. y e. k A. u e. y E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
45	2, 43, 44	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> k e. Locally A )
46	45	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( k e. 𝑛Locally A -> k e. Locally A ) )
47	46	ssrdv 3510	. 2 |- ( ph -> 𝑛Locally A C_ Locally A )
48		llyssnlly 19773	. . 3 |- Locally A C_ 𝑛Locally A
49	48	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Locally A C_ 𝑛Locally A )
50	47, 49	eqssd 3521	1 |- ( ph -> 𝑛Locally A = Locally A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010  (class class class)co 6284   ↾_t crest 14676   Topctop 19189  Locally clly 19759  𝑛Locally cnlly 19760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-rest 14678  df-top 19194  df-nei 19393  df-lly 19761  df-nlly 19762

This theorem is referenced by:  loclly  19782  hausnlly  19788