Theorem restnlly 20574

Description: If the property A passes to open subspaces, then a space is n-locally A iff it is locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restlly.1	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
restnlly	|- ( ph -> 𝑛Locally A = Locally A )

Distinct variable groups:   x, j, A   ph, j, x

Proof of Theorem restnlly

Dummy variables k s u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nllytop 20565	. . . . . 6 |- ( k e. 𝑛Locally A -> k e. Top )
2	1	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> k e. Top )
3		nlly2i 20568	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. 𝑛Locally A /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) )
4	3	3adant1l 1284	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) )
5		simprl 772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. k )
6		simprr2 1079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x C_ s )
7		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> s e. ~P y )
8	7	elpwid 3952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> s C_ y )
9	6, 8	sstrd 3428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x C_ y )
10		selpw 3949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P y <-> x C_ y )
11	9, 10	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ~P y )
12	5, 11	elind 3609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ( k i^i ~P y ) )
13		simprr1 1078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> u e. x )
14		simpll1 1069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) )
15	14	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> k e. 𝑛Locally A )
16	15, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> k e. Top )
17		restabs 20258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. Top /\ x C_ s /\ s e. ~P y ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) = ( k ↾t x ) )
18	16, 6, 7, 17	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) = ( k ↾t x ) )
19		simprr3 1080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( k ↾t s ) e. A )
20	14	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ph )
21		restlly.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )
22	21	expr 626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
23	22	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
25		df-ss 3404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ s <-> ( x i^i s ) = x )
26	6, 25	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x i^i s ) = x )
27		elrestr 15405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. Top /\ s e. ~P y /\ x e. k ) -> ( x i^i s ) e. ( k ↾t s ) )
28	16, 7, 5, 27	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x i^i s ) e. ( k ↾t s ) )
29	26, 28	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ( k ↾t s ) )
30		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( x e. j <-> x e. ( k ↾t s ) ) )
31		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( j ↾t x ) = ( ( k ↾t s ) ↾t x ) )
32	31	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( ( j ↾t x ) e. A <-> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) )
33	30, 32	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) <-> ( x e. ( k ↾t s ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) ) )
34	33	rspcv 3132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k ↾t s ) e. A -> ( A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) -> ( x e. ( k ↾t s ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) ) )
35	19, 24, 29, 34	syl3c 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A )
36	18, 35	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( k ↾t x ) e. A )
37	12, 13, 36	jca32 544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x e. ( k i^i ~P y ) /\ ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
38	37	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) -> ( ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) -> ( x e. ( k i^i ~P y ) /\ ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) ) )
39	38	reximdv2 2855	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) -> ( E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
40	39	rexlimdva 2871	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> ( E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
41	4, 40	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
42	41	3expb 1232	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ ( y e. k /\ u e. y ) ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
43	42	ralrimivva 2814	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> A. y e. k A. u e. y E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
44		islly 20560	. . . . 5 |- ( k e. Locally A <-> ( k e. Top /\ A. y e. k A. u e. y E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
45	2, 43, 44	sylanbrc 677	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> k e. Locally A )
46	45	ex 441	. . 3 |- ( ph -> ( k e. 𝑛Locally A -> k e. Locally A ) )
47	46	ssrdv 3424	. 2 |- ( ph -> 𝑛Locally A C_ Locally A )
48		llyssnlly 20570	. . 3 |- Locally A C_ 𝑛Locally A
49	48	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Locally A C_ 𝑛Locally A )
50	47, 49	eqssd 3435	1 |- ( ph -> 𝑛Locally A = Locally A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942  (class class class)co 6308   ↾_t crest 15397   Topctop 19994  Locally clly 20556  𝑛Locally cnlly 20557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rest 15399  df-top 19998  df-nei 20191  df-lly 20558  df-nlly 20559

This theorem is referenced by:  loclly  20579  hausnlly  20585