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Theorem restnlly 20574
Description: If the property  A passes to open subspaces, then a space is n-locally  A iff it is locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restlly.1  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
Assertion
Ref Expression
restnlly  |-  ( ph  -> 𝑛Locally  A  = Locally  A )
Distinct variable groups:    x, j, A    ph, j, x

Proof of Theorem restnlly
Dummy variables  k 
s  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 20565 . . . . . 6  |-  ( k  e. 𝑛Locally  A  ->  k  e.  Top )
21adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A
)  ->  k  e.  Top )
3 nlly2i 20568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e. 𝑛Locally  A  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  ->  E. s  e.  ~P  y E. x  e.  k  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) )
433adant1l 1284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  ->  E. s  e.  ~P  y E. x  e.  k  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) )
5 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  e.  k )
6 simprr2 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  C_  s
)
7 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  e.  ~P y )
87elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  C_  y
)
96, 8sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  C_  y
)
10 selpw 3949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P y  <->  x  C_  y
)
119, 10sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  e.  ~P y )
125, 11elind 3609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  e.  ( k  i^i  ~P y
) )
13 simprr1 1078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  e.  x
)
14 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A ) )
1514simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  k  e. 𝑛Locally  A )
1615, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  k  e.  Top )
17 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  Top  /\  x  C_  s  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( kt  s )t  x )  =  ( kt  x ) )
1816, 6, 7, 17syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ( kt  s )t  x )  =  ( kt  x ) )
19 simprr3 1080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( kt  s )  e.  A )
2014simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ph )
21 restlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
2221expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
x  e.  j  -> 
( jt  x )  e.  A
) )
2322ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( x  e.  j  ->  ( jt  x )  e.  A
) )
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  A. j  e.  A  ( x  e.  j  ->  ( jt  x )  e.  A
) )
25 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  s  <->  ( x  i^i  s )  =  x )
266, 25sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( x  i^i  s )  =  x )
27 elrestr 15405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  Top  /\  s  e.  ~P y  /\  x  e.  k
)  ->  ( x  i^i  s )  e.  ( kt  s ) )
2816, 7, 5, 27syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( x  i^i  s )  e.  ( kt  s ) )
2926, 28eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  e.  ( kt  s ) )
30 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( kt  s )  ->  ( x  e.  j  <->  x  e.  (
kt  s ) ) )
31 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  ( kt  s )  ->  ( jt  x )  =  ( ( kt  s )t  x ) )
3231eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( kt  s )  ->  ( ( jt  x )  e.  A  <->  ( (
kt  s )t  x )  e.  A
) )
3330, 32imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( kt  s )  ->  ( ( x  e.  j  ->  (
jt  x )  e.  A
)  <->  ( x  e.  ( kt  s )  -> 
( ( kt  s )t  x )  e.  A ) ) )
3433rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( kt  s )  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  ( x  e.  j  ->  ( jt  x
)  e.  A )  ->  ( x  e.  ( kt  s )  -> 
( ( kt  s )t  x )  e.  A ) ) )
3519, 24, 29, 34syl3c 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ( kt  s )t  x )  e.  A
)
3618, 35eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( kt  x )  e.  A )
3712, 13, 36jca32 544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  /\  (
x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( x  e.  ( k  i^i  ~P y )  /\  (
u  e.  x  /\  ( kt  x )  e.  A
) ) )
3837ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  ->  (
( x  e.  k  /\  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A ) )  ->  ( x  e.  ( k  i^i  ~P y )  /\  (
u  e.  x  /\  ( kt  x )  e.  A
) ) ) )
3938reximdv2 2855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  /\  s  e.  ~P y )  ->  ( E. x  e.  k 
( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A )  ->  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) ) )
4039rexlimdva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  ->  ( E. s  e.  ~P  y E. x  e.  k  ( u  e.  x  /\  x  C_  s  /\  ( kt  s )  e.  A )  ->  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) ) )
414, 40mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  y  e.  k  /\  u  e.  y )  ->  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) )
42413expb 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A )  /\  (
y  e.  k  /\  u  e.  y )
)  ->  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) )
4342ralrimivva 2814 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A
)  ->  A. y  e.  k  A. u  e.  y  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) )
44 islly 20560 . . . . 5  |-  ( k  e. Locally  A  <->  ( k  e. 
Top  /\  A. y  e.  k  A. u  e.  y  E. x  e.  ( k  i^i  ~P y ) ( u  e.  x  /\  (
kt  x )  e.  A
) ) )
452, 43, 44sylanbrc 677 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e. 𝑛Locally  A
)  ->  k  e. Locally  A )
4645ex 441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e. 𝑛Locally  A  -> 
k  e. Locally  A ) )
4746ssrdv 3424 . 2  |-  ( ph  -> 𝑛Locally  A 
C_ Locally  A )
48 llyssnlly 20570 . . 3  |- Locally  A  C_ 𝑛Locally  A
4948a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> Locally 
A  C_ 𝑛Locally  A )
5047, 49eqssd 3435 1  |-  ( ph  -> 𝑛Locally  A  = Locally  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994  Locally clly 20556  𝑛Locally cnlly 20557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rest 15399  df-top 19998  df-nei 20191  df-lly 20558  df-nlly 20559
This theorem is referenced by:  loclly  20579  hausnlly  20585
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