Theorem restnlly 19086

Description: If the property A passes to open subspaces, then a space is n-locally A iff it is locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restlly.1	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
restnlly	|- ( ph -> 𝑛Locally A = Locally A )

Distinct variable groups:   x, j, A   ph, j, x

Proof of Theorem restnlly

Dummy variables k s u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nllytop 19077	. . . . . 6 |- ( k e. 𝑛Locally A -> k e. Top )
2	1	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> k e. Top )
3		nlly2i 19080	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. 𝑛Locally A /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) )
4	3	3adant1l 1210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) )
5		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. k )
6		simprr2 1037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x C_ s )
7		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> s e. ~P y )
8	7	elpwid 3870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> s C_ y )
9	6, 8	sstrd 3366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x C_ y )
10		selpw 3867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P y <-> x C_ y )
11	9, 10	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ~P y )
12	5, 11	elind 3540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ( k i^i ~P y ) )
13		simprr1 1036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> u e. x )
14		simpll1 1027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) )
15	14	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> k e. 𝑛Locally A )
16	15, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> k e. Top )
17		restabs 18769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. Top /\ x C_ s /\ s e. ~P y ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) = ( k ↾t x ) )
18	16, 6, 7, 17	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) = ( k ↾t x ) )
19		simprr3 1038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( k ↾t s ) e. A )
20	14	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ph )
21		restlly.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )
22	21	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
23	22	ralrimiva 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
24	20, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
25		df-ss 3342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ s <-> ( x i^i s ) = x )
26	6, 25	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x i^i s ) = x )
27		elrestr 14367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. Top /\ s e. ~P y /\ x e. k ) -> ( x i^i s ) e. ( k ↾t s ) )
28	16, 7, 5, 27	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x i^i s ) e. ( k ↾t s ) )
29	26, 28	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ( k ↾t s ) )
30		eleq2 2504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( x e. j <-> x e. ( k ↾t s ) ) )
31		oveq1 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( j ↾t x ) = ( ( k ↾t s ) ↾t x ) )
32	31	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( ( j ↾t x ) e. A <-> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) )
33	30, 32	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) <-> ( x e. ( k ↾t s ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) ) )
34	33	rspcv 3069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k ↾t s ) e. A -> ( A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) -> ( x e. ( k ↾t s ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) ) )
35	19, 24, 29, 34	syl3c 61	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A )
36	18, 35	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( k ↾t x ) e. A )
37	12, 13, 36	jca32 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x e. ( k i^i ~P y ) /\ ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
38	37	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) -> ( ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) -> ( x e. ( k i^i ~P y ) /\ ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) ) )
39	38	reximdv2 2825	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) -> ( E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
40	39	rexlimdva 2841	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> ( E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
41	4, 40	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
42	41	3expb 1188	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ ( y e. k /\ u e. y ) ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
43	42	ralrimivva 2808	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> A. y e. k A. u e. y E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
44		islly 19072	. . . . 5 |- ( k e. Locally A <-> ( k e. Top /\ A. y e. k A. u e. y E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
45	2, 43, 44	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> k e. Locally A )
46	45	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( k e. 𝑛Locally A -> k e. Locally A ) )
47	46	ssrdv 3362	. 2 |- ( ph -> 𝑛Locally A C_ Locally A )
48		llyssnlly 19082	. . 3 |- Locally A C_ 𝑛Locally A
49	48	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Locally A C_ 𝑛Locally A )
50	47, 49	eqssd 3373	1 |- ( ph -> 𝑛Locally A = Locally A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   i^i cin 3327   C_ wss 3328   ~Pcpw 3860  (class class class)co 6091   ↾_t crest 14359   Topctop 18498  Locally clly 19068  𝑛Locally cnlly 19069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-rest 14361  df-top 18503  df-nei 18702  df-lly 19070  df-nlly 19071

This theorem is referenced by:  loclly  19091  hausnlly  19097