Theorem restnlly 20483

Description: If the property A passes to open subspaces, then a space is n-locally A iff it is locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restlly.1	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
restnlly	|- ( ph -> 𝑛Locally A = Locally A )

Distinct variable groups:   x, j, A   ph, j, x

Proof of Theorem restnlly

Dummy variables k s u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nllytop 20474	. . . . . 6 |- ( k e. 𝑛Locally A -> k e. Top )
2	1	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> k e. Top )
3		nlly2i 20477	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. 𝑛Locally A /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) )
4	3	3adant1l 1256	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) )
5		simprl 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. k )
6		simprr2 1054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x C_ s )
7		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> s e. ~P y )
8	7	elpwid 3989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> s C_ y )
9	6, 8	sstrd 3474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x C_ y )
10		selpw 3986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P y <-> x C_ y )
11	9, 10	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ~P y )
12	5, 11	elind 3650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ( k i^i ~P y ) )
13		simprr1 1053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> u e. x )
14		simpll1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) )
15	14	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> k e. 𝑛Locally A )
16	15, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> k e. Top )
17		restabs 20167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. Top /\ x C_ s /\ s e. ~P y ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) = ( k ↾t x ) )
18	16, 6, 7, 17	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) = ( k ↾t x ) )
19		simprr3 1055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( k ↾t s ) e. A )
20	14	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ph )
21		restlly.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )
22	21	expr 618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
23	22	ralrimiva 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
25		df-ss 3450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ s <-> ( x i^i s ) = x )
26	6, 25	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x i^i s ) = x )
27		elrestr 15314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. Top /\ s e. ~P y /\ x e. k ) -> ( x i^i s ) e. ( k ↾t s ) )
28	16, 7, 5, 27	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x i^i s ) e. ( k ↾t s ) )
29	26, 28	eqeltrrd 2511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ( k ↾t s ) )
30		eleq2 2495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( x e. j <-> x e. ( k ↾t s ) ) )
31		oveq1 6308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( j ↾t x ) = ( ( k ↾t s ) ↾t x ) )
32	31	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( ( j ↾t x ) e. A <-> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) )
33	30, 32	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) <-> ( x e. ( k ↾t s ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) ) )
34	33	rspcv 3178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k ↾t s ) e. A -> ( A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) -> ( x e. ( k ↾t s ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) ) )
35	19, 24, 29, 34	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A )
36	18, 35	eqeltrrd 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( k ↾t x ) e. A )
37	12, 13, 36	jca32 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x e. ( k i^i ~P y ) /\ ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
38	37	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) -> ( ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) -> ( x e. ( k i^i ~P y ) /\ ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) ) )
39	38	reximdv2 2896	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) -> ( E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
40	39	rexlimdva 2917	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> ( E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
41	4, 40	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
42	41	3expb 1206	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ ( y e. k /\ u e. y ) ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
43	42	ralrimivva 2846	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> A. y e. k A. u e. y E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
44		islly 20469	. . . . 5 |- ( k e. Locally A <-> ( k e. Top /\ A. y e. k A. u e. y E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
45	2, 43, 44	sylanbrc 668	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> k e. Locally A )
46	45	ex 435	. . 3 |- ( ph -> ( k e. 𝑛Locally A -> k e. Locally A ) )
47	46	ssrdv 3470	. 2 |- ( ph -> 𝑛Locally A C_ Locally A )
48		llyssnlly 20479	. . 3 |- Locally A C_ 𝑛Locally A
49	48	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Locally A C_ 𝑛Locally A )
50	47, 49	eqssd 3481	1 |- ( ph -> 𝑛Locally A = Locally A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   i^i cin 3435   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979  (class class class)co 6301   ↾_t crest 15306   Topctop 19903  Locally clly 20465  𝑛Locally cnlly 20466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-rest 15308  df-top 19907  df-nei 20100  df-lly 20467  df-nlly 20468

This theorem is referenced by:  loclly  20488  hausnlly  20494