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Theorem restidsing 5330
Description: Restriction of the identity to a singleton. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
restidsing  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)

Proof of Theorem restidsing
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5301 . 2  |-  Rel  (  _I  |`  { A }
)
2 relxp 5110 . 2  |-  Rel  ( { A }  X.  { A } )
3 df-br 4448 . . . . . 6  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
43bicomi 202 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  _I  y
)
54anbi1i 695 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e. 
{ A } )  <-> 
( x  _I  y  /\  x  e.  { A } ) )
6 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  x  e.  { A } )
7 elsn 4041 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
8 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
9 ideqg 5154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  _V  ->  (
x  _I  y  <->  x  =  y ) )
109biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
x  _I  y  ->  x  =  y )
)
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  _I  y  ->  x  =  y )
12 eqtr2 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  A )  ->  y  =  A )
1312ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  =  A ) )
14 elsn 4041 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
1513, 14syl6ibr 227 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  e.  { A } ) )
1611, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  e.  { A } ) )
177, 16syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( x  _I  y  ->  (
x  e.  { A }  ->  y  e.  { A } ) )
1817imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  y  e.  { A } )
196, 18jca 532 . . . . 5  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
20 eqtr3 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  A  /\  x  =  A )  ->  y  =  x )
218ideq 5155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
22 equcom 1743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
2321, 22bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  _I  y  <->  y  =  x )
2420, 23sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  A  /\  x  =  A )  ->  x  _I  y )
2524ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
x  =  A  ->  x  _I  y )
)
2614, 25sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { A }  ->  ( x  =  A  ->  x  _I  y
) )
2726com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
y  e.  { A }  ->  x  _I  y
) )
287, 27sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( y  e.  { A }  ->  x  _I  y ) )
2928imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  x  _I  y )
30 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  x  e.  { A } )
3129, 30jca 532 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  _I  y  /\  x  e.  { A } ) )
3219, 31impbii 188 . . . 4  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  <->  ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
335, 32bitri 249 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e. 
{ A } )  <-> 
( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
348opelres 5279 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  { A } )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e.  { A } ) )
35 opelxp 5029 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( { A }  X.  { A } )  <-> 
( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
3633, 34, 353bitr4i 277 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  { A } )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( { A }  X.  { A } ) )
371, 2, 36eqrelriiv 5097 1  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447    _I cid 4790    X. cxp 4997    |` cres 5001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-res 5011
This theorem is referenced by:  residpr  6066  psgnsn  16360  m1detdiag  18906
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