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Theorem restidsing 5164
Description: Restriction of the identity to a singleton. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
restidsing  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)

Proof of Theorem restidsing
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5135 . 2  |-  Rel  (  _I  |`  { A }
)
2 relxp 4945 . 2  |-  Rel  ( { A }  X.  { A } )
3 df-br 4406 . . . . . 6  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
43bicomi 206 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  _I  y
)
54anbi1i 702 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e. 
{ A } )  <-> 
( x  _I  y  /\  x  e.  { A } ) )
6 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  x  e.  { A } )
7 elsn 3984 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
8 vex 3050 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
9 ideqg 4989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  _V  ->  (
x  _I  y  <->  x  =  y ) )
109biimpd 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
x  _I  y  ->  x  =  y )
)
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  _I  y  ->  x  =  y )
12 eqtr2 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  A )  ->  y  =  A )
1312ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  =  A ) )
14 elsn 3984 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
1513, 14syl6ibr 231 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  e.  { A } ) )
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  e.  { A } ) )
177, 16syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( x  _I  y  ->  (
x  e.  { A }  ->  y  e.  { A } ) )
1817imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  y  e.  { A } )
196, 18jca 535 . . . . 5  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
20 eqtr3 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  A  /\  x  =  A )  ->  y  =  x )
218ideq 4990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
22 equcom 1864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
2321, 22bitri 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  _I  y  <->  y  =  x )
2420, 23sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  A  /\  x  =  A )  ->  x  _I  y )
2524ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
x  =  A  ->  x  _I  y )
)
2614, 25sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { A }  ->  ( x  =  A  ->  x  _I  y
) )
2726com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
y  e.  { A }  ->  x  _I  y
) )
287, 27sylbi 199 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( y  e.  { A }  ->  x  _I  y ) )
2928imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  x  _I  y )
30 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  x  e.  { A } )
3129, 30jca 535 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  _I  y  /\  x  e.  { A } ) )
3219, 31impbii 191 . . . 4  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  <->  ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
335, 32bitri 253 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e. 
{ A } )  <-> 
( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
348opelres 5113 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  { A } )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e.  { A } ) )
35 opelxp 4867 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( { A }  X.  { A } )  <-> 
( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
3633, 34, 353bitr4i 281 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  { A } )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( { A }  X.  { A } ) )
371, 2, 36eqrelriiv 4932 1  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047   {csn 3970   <.cop 3976   class class class wbr 4405    _I cid 4747    X. cxp 4835    |` cres 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-br 4406  df-opab 4465  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-res 4849
This theorem is referenced by:  residpr  6073  psgnsn  17173  m1detdiag  19634
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