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Theorem restidsing 5167
Description: Restriction of the identity to a singleton. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
restidsing  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)

Proof of Theorem restidsing
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5138 . 2  |-  Rel  (  _I  |`  { A }
)
2 relxp 4947 . 2  |-  Rel  ( { A }  X.  { A } )
3 df-br 4396 . . . . . 6  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
43bicomi 207 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  _I  y
)
54anbi1i 709 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e. 
{ A } )  <-> 
( x  _I  y  /\  x  e.  { A } ) )
6 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  x  e.  { A } )
7 elsn 3973 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
8 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
9 ideqg 4991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  _V  ->  (
x  _I  y  <->  x  =  y ) )
109biimpd 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
x  _I  y  ->  x  =  y )
)
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  _I  y  ->  x  =  y )
12 eqtr2 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  A )  ->  y  =  A )
1312ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  =  A ) )
14 elsn 3973 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
1513, 14syl6ibr 235 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  e.  { A } ) )
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  e.  { A } ) )
177, 16syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( x  _I  y  ->  (
x  e.  { A }  ->  y  e.  { A } ) )
1817imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  y  e.  { A } )
196, 18jca 541 . . . . 5  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
20 eqtr3 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  A  /\  x  =  A )  ->  y  =  x )
218ideq 4992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
22 equcom 1870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
2321, 22bitri 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  _I  y  <->  y  =  x )
2420, 23sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  A  /\  x  =  A )  ->  x  _I  y )
2524ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
x  =  A  ->  x  _I  y )
)
2614, 25sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { A }  ->  ( x  =  A  ->  x  _I  y
) )
2726com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
y  e.  { A }  ->  x  _I  y
) )
287, 27sylbi 200 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( y  e.  { A }  ->  x  _I  y ) )
2928imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  x  _I  y )
30 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  x  e.  { A } )
3129, 30jca 541 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  _I  y  /\  x  e.  { A } ) )
3219, 31impbii 192 . . . 4  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  <->  ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
335, 32bitri 257 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e. 
{ A } )  <-> 
( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
348opelres 5116 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  { A } )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e.  { A } ) )
35 opelxp 4869 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( { A }  X.  { A } )  <-> 
( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
3633, 34, 353bitr4i 285 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  { A } )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( { A }  X.  { A } ) )
371, 2, 36eqrelriiv 4934 1  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   {csn 3959   <.cop 3965   class class class wbr 4395    _I cid 4749    X. cxp 4837    |` cres 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-res 4851
This theorem is referenced by:  residpr  6084  psgnsn  17239  m1detdiag  19699
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