Theorem restid 13616

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restid	|- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 |- X = U. J
2		uniexg 4665	. . 3 |- ( J e. V -> U. J e. _V )
3	1, 2	syl5eqel 2488	. 2 |- ( J e. V -> X e. _V )
4	1	eqimss2i 3363	. . 3 |- U. J C_ X
5		sspwuni 4136	. . 3 |- ( J C_ ~P X <-> U. J C_ X )
6	4, 5	mpbir 201	. 2 |- J C_ ~P X
7		restid2 13613	. 2 |- ( ( X e. _V /\ J C_ ~P X ) -> ( J ↾t X ) = J )
8	3, 6, 7	sylancl 644	1 |- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975  (class class class)co 6040   ↾_t crest 13603

This theorem is referenced by:  restin  17184  cnrmnrm  17379  cmpkgen  17536  xkopt  17640  xkoinjcn  17672  ussid  18243  tuslem  18250  cnperf  18804  retopcon  18813  cncfcn1  18893  cncfmpt2f  18897  cdivcncf  18900  abscncfALT  18903  cnmpt2pc  18906  cnrehmeo  18931  cnlimc  19728  recnperf  19745  dvidlem  19755  dvcnp2  19759  dvcn  19760  dvnres  19770  dvaddbr  19777  dvmulbr  19778  dvcobr  19785  dvcjbr  19788  dvrec  19794  dvexp3  19815  dveflem  19816  dvlipcn  19831  lhop1lem  19850  ftc1cn  19880  dvply1  20154  dvtaylp  20239  taylthlem2  20243  psercn  20295  pserdvlem2  20297  pserdv  20298  abelth  20310  logcn  20491  dvloglem  20492  dvlog  20495  dvlog2  20497  efopnlem2  20501  logtayl  20504  cxpcn  20582  cxpcn2  20583  cxpcn3  20585  resqrcn  20586  sqrcn  20587  dvatan  20728  ftalem3  20810  retopscon  24889  ftc1cnnc  26178  ivthALT  26228

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-rest 13605