Theorem restid 14483

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restid	|- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 |- X = U. J
2		uniexg 6480	. . 3 |- ( J e. V -> U. J e. _V )
3	1, 2	syl5eqel 2543	. 2 |- ( J e. V -> X e. _V )
4	1	eqimss2i 3512	. . 3 |- U. J C_ X
5		sspwuni 4357	. . 3 |- ( J C_ ~P X <-> U. J C_ X )
6	4, 5	mpbir 209	. 2 |- J C_ ~P X
7		restid2 14480	. 2 |- ( ( X e. _V /\ J C_ ~P X ) -> ( J ↾t X ) = J )
8	3, 6, 7	sylancl 662	1 |- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3071   C_ wss 3429   ~Pcpw 3961   U.cuni 4192  (class class class)co 6193   ↾_t crest 14470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-rest 14472

This theorem is referenced by:  restin  18895  cnrmnrm  19090  cmpkgen  19249  xkopt  19353  xkoinjcn  19385  ussid  19960  tuslem  19967  cnperf  20522  retopcon  20531  cncfcn1  20611  cncfmpt2f  20615  cdivcncf  20618  abscncfALT  20621  cnmpt2pc  20625  cnrehmeo  20650  cnlimc  21489  recnperf  21506  dvidlem  21516  dvcnp2  21520  dvcn  21521  dvnres  21531  dvaddbr  21538  dvmulbr  21539  dvcobr  21546  dvcjbr  21549  dvrec  21555  dvexp3  21576  dveflem  21577  dvlipcn  21592  lhop1lem  21611  ftc1cn  21641  dvply1  21876  dvtaylp  21961  taylthlem2  21965  psercn  22017  pserdvlem2  22019  pserdv  22020  abelth  22032  logcn  22218  dvloglem  22219  dvlog  22222  dvlog2  22224  efopnlem2  22228  logtayl  22231  cxpcn  22309  cxpcn2  22310  cxpcn3  22312  resqrcn  22313  sqrcn  22314  dvatan  22456  ftalem3  22538  retopscon  27275  dvtan  28583  ftc1cnnc  28607  dvasin  28621  dvacos  28622  ivthALT  28671