Theorem restid 14685

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restid	|- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 |- X = U. J
2		uniexg 6579	. . 3 |- ( J e. V -> U. J e. _V )
3	1, 2	syl5eqel 2559	. 2 |- ( J e. V -> X e. _V )
4	1	eqimss2i 3559	. . 3 |- U. J C_ X
5		sspwuni 4411	. . 3 |- ( J C_ ~P X <-> U. J C_ X )
6	4, 5	mpbir 209	. 2 |- J C_ ~P X
7		restid2 14682	. 2 |- ( ( X e. _V /\ J C_ ~P X ) -> ( J ↾t X ) = J )
8	3, 6, 7	sylancl 662	1 |- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245  (class class class)co 6282   ↾_t crest 14672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-rest 14674

This theorem is referenced by:  restin  19433  cnrmnrm  19628  cmpkgen  19787  xkopt  19891  xkoinjcn  19923  ussid  20498  tuslem  20505  cnperf  21060  retopcon  21069  cncfcn1  21149  cncfmpt2f  21153  cdivcncf  21156  abscncfALT  21159  cnmpt2pc  21163  cnrehmeo  21188  cnlimc  22027  recnperf  22044  dvidlem  22054  dvcnp2  22058  dvcn  22059  dvnres  22069  dvaddbr  22076  dvmulbr  22077  dvcobr  22084  dvcjbr  22087  dvrec  22093  dvexp3  22114  dveflem  22115  dvlipcn  22130  lhop1lem  22149  ftc1cn  22179  dvply1  22414  dvtaylp  22499  taylthlem2  22503  psercn  22555  pserdvlem2  22557  pserdv  22558  abelth  22570  logcn  22756  dvloglem  22757  dvlog  22760  dvlog2  22762  efopnlem2  22766  logtayl  22769  cxpcn  22847  cxpcn2  22848  cxpcn3  22850  resqrtcn  22851  sqrtcn  22852  dvatan  22994  ftalem3  23076  retopscon  28334  dvtan  29642  ftc1cnnc  29666  dvasin  29680  dvacos  29681  ivthALT  29730  fsumcncf  31216  ioccncflimc  31224  cncfuni  31225  icocncflimc  31228  cncfiooicclem1  31232  dvasinbx  31250  dvcosax  31256  itgsubsticclem  31293  dirkercncflem2  31404  dirkercncflem4  31406  fourierdlem32  31439  fourierdlem33  31440  fourierdlem62  31469  fourierdlem93  31500  fourierdlem101  31508