Theorem restid 15046

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restid	|- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 |- X = U. J
2		uniexg 6578	. . 3 |- ( J e. V -> U. J e. _V )
3	1, 2	syl5eqel 2494	. 2 |- ( J e. V -> X e. _V )
4	1	eqimss2i 3496	. . 3 |- U. J C_ X
5		sspwuni 4359	. . 3 |- ( J C_ ~P X <-> U. J C_ X )
6	4, 5	mpbir 209	. 2 |- J C_ ~P X
7		restid2 15043	. 2 |- ( ( X e. _V /\ J C_ ~P X ) -> ( J ↾t X ) = J )
8	3, 6, 7	sylancl 660	1 |- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1405   e. wcel 1842   _Vcvv 3058   C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   U.cuni 4190  (class class class)co 6277   ↾_t crest 15033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-rest 15035

This theorem is referenced by:  restin  19958  cnrmnrm  20153  cmpkgen  20342  xkopt  20446  xkoinjcn  20478  ussid  21053  tuslem  21060  cnperf  21615  retopcon  21624  cncfcn1  21704  cncfmpt2f  21708  cdivcncf  21711  abscncfALT  21714  cnmpt2pc  21718  cnrehmeo  21743  cnlimc  22582  recnperf  22599  dvidlem  22609  dvcnp2  22613  dvcn  22614  dvnres  22624  dvaddbr  22631  dvmulbr  22632  dvcobr  22639  dvcjbr  22642  dvrec  22648  dvexp3  22669  dveflem  22670  dvlipcn  22685  lhop1lem  22704  ftc1cn  22734  dvply1  22970  dvtaylp  23055  taylthlem2  23059  psercn  23111  pserdvlem2  23113  pserdv  23114  abelth  23126  logcn  23320  dvloglem  23321  dvlog  23324  dvlog2  23326  efopnlem2  23330  logtayl  23333  cxpcn  23413  cxpcn2  23414  cxpcn3  23416  resqrtcn  23417  sqrtcn  23418  dvatan  23589  ftalem3  23727  retopscon  29533  ivthALT  30550  dvtan  31418  ftc1cnnc  31442  dvasin  31454  dvacos  31455  binomcxplemdvbinom  36086  binomcxplemnotnn0  36089  fsumcncf  37029  ioccncflimc  37037  cncfuni  37038  icocncflimc  37041  cncfiooicclem1  37045  cxpcncf2  37052  itgsubsticclem  37123  dirkercncflem2  37235  dirkercncflem4  37237  fourierdlem32  37270  fourierdlem33  37271  fourierdlem62  37300  fourierdlem93  37331  fourierdlem101  37339