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Theorem resthauslem 20379
Description: Lemma for resthaus 20384 and similar theorems. If the topological property  A is preserved under injective preimages, then property  A passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resthauslem.1  |-  ( J  e.  A  ->  J  e.  Top )
resthauslem.2  |-  ( ( J  e.  A  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J )  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J ) )  ->  ( Jt  S )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
resthauslem  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  e.  A
)

Proof of Theorem resthauslem
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  A )
2 f1oi 5850 . . 3  |-  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-onto-> ( S  i^i  U. J )
3 f1of1 5813 . . 3  |-  ( (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-onto-> ( S  i^i  U. J )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-> ( S  i^i  U. J ) )
42, 3mp1i 13 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J ) )
5 inss2 3653 . . . . 5  |-  ( S  i^i  U. J ) 
C_  U. J
6 resabs1 5133 . . . . 5  |-  ( ( S  i^i  U. J
)  C_  U. J  -> 
( (  _I  |`  U. J
)  |`  ( S  i^i  U. J ) )  =  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  U. J )  |`  ( S  i^i  U. J ) )  =  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )
8 resthauslem.1 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  A  ->  J  e.  Top )
98adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  Top )
10 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1110toptopon 19948 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
129, 11sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
13 idcn 20273 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (  _I  |`  U. J )  e.  ( J  Cn  J ) )
1412, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  U. J
)  e.  ( J  Cn  J ) )
1510cnrest 20301 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  U. J
)  e.  ( J  Cn  J )  /\  ( S  i^i  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( (  _I  |`  U. J )  |`  ( S  i^i  U. J
) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
1614, 5, 15sylancl 668 . . . 4  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( (  _I  |`  U. J
)  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
177, 16syl5eqelr 2534 . . 3  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
1810restin 20182 . . . 4  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  =  ( Jt  ( S  i^i  U. J ) ) )
1918oveq1d 6305 . . 3  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( ( Jt  S )  Cn  J )  =  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
2017, 19eleqtrrd 2532 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J
) )
21 resthauslem.2 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J )  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J ) )  ->  ( Jt  S )  e.  A )
221, 4, 20, 21syl3anc 1268 1  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    i^i cin 3403    C_ wss 3404   U.cuni 4198    _I cid 4744    |` cres 4836   -1-1->wf1 5579   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾t crest 15319   Topctop 19917  TopOnctopon 19918    Cn ccn 20240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243
This theorem is referenced by:  restt0  20382  restt1  20383  resthaus  20384
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