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Theorem resthauslem 19623
Description: Lemma for resthaus 19628 and similar theorems. If the topological property  A is preserved under injective preimages, then property  A passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resthauslem.1  |-  ( J  e.  A  ->  J  e.  Top )
resthauslem.2  |-  ( ( J  e.  A  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J )  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J ) )  ->  ( Jt  S )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
resthauslem  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  e.  A
)

Proof of Theorem resthauslem
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  A )
2 f1oi 5842 . . 3  |-  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-onto-> ( S  i^i  U. J )
3 f1of1 5806 . . 3  |-  ( (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-onto-> ( S  i^i  U. J )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-> ( S  i^i  U. J ) )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J ) )
5 inss2 3712 . . . . 5  |-  ( S  i^i  U. J ) 
C_  U. J
6 resabs1 5293 . . . . 5  |-  ( ( S  i^i  U. J
)  C_  U. J  -> 
( (  _I  |`  U. J
)  |`  ( S  i^i  U. J ) )  =  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  U. J )  |`  ( S  i^i  U. J ) )  =  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )
8 resthauslem.1 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  A  ->  J  e.  Top )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  Top )
10 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1110toptopon 19194 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
129, 11sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
13 idcn 19517 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (  _I  |`  U. J )  e.  ( J  Cn  J ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  U. J
)  e.  ( J  Cn  J ) )
1510cnrest 19545 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  U. J
)  e.  ( J  Cn  J )  /\  ( S  i^i  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( (  _I  |`  U. J )  |`  ( S  i^i  U. J
) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
1614, 5, 15sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( (  _I  |`  U. J
)  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
177, 16syl5eqelr 2553 . . 3  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
1810restin 19426 . . . 4  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  =  ( Jt  ( S  i^i  U. J ) ) )
1918oveq1d 6290 . . 3  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( ( Jt  S )  Cn  J )  =  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
2017, 19eleqtrrd 2551 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J
) )
21 resthauslem.2 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J )  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J ) )  ->  ( Jt  S )  e.  A )
221, 4, 20, 21syl3anc 1223 1  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    i^i cin 3468    C_ wss 3469   U.cuni 4238    _I cid 4783    |` cres 4994   -1-1->wf1 5576   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ↾t crest 14665   Topctop 19154  TopOnctopon 19155    Cn ccn 19484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-fin 7510  df-fi 7860  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cn 19487
This theorem is referenced by:  restt0  19626  restt1  19627  resthaus  19628
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