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Theorem resthauslem 18942
Description: Lemma for resthaus 18947 and similar theorems. If the topological property  A is preserved under injective preimages, then property  A passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resthauslem.1  |-  ( J  e.  A  ->  J  e.  Top )
resthauslem.2  |-  ( ( J  e.  A  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J )  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J ) )  ->  ( Jt  S )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
resthauslem  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  e.  A
)

Proof of Theorem resthauslem
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  A )
2 f1oi 5671 . . 3  |-  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-onto-> ( S  i^i  U. J )
3 f1of1 5635 . . 3  |-  ( (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-onto-> ( S  i^i  U. J )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-> ( S  i^i  U. J ) )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J ) )
5 inss2 3566 . . . . 5  |-  ( S  i^i  U. J ) 
C_  U. J
6 resabs1 5134 . . . . 5  |-  ( ( S  i^i  U. J
)  C_  U. J  -> 
( (  _I  |`  U. J
)  |`  ( S  i^i  U. J ) )  =  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  U. J )  |`  ( S  i^i  U. J ) )  =  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )
8 resthauslem.1 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  A  ->  J  e.  Top )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  Top )
10 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1110toptopon 18513 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
129, 11sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
13 idcn 18836 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (  _I  |`  U. J )  e.  ( J  Cn  J ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  U. J
)  e.  ( J  Cn  J ) )
1510cnrest 18864 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  U. J
)  e.  ( J  Cn  J )  /\  ( S  i^i  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( (  _I  |`  U. J )  |`  ( S  i^i  U. J
) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
1614, 5, 15sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( (  _I  |`  U. J
)  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
177, 16syl5eqelr 2523 . . 3  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
1810restin 18745 . . . 4  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  =  ( Jt  ( S  i^i  U. J ) ) )
1918oveq1d 6101 . . 3  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( ( Jt  S )  Cn  J )  =  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
2017, 19eleqtrrd 2515 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J
) )
21 resthauslem.2 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J )  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J ) )  ->  ( Jt  S )  e.  A )
221, 4, 20, 21syl3anc 1218 1  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3322    C_ wss 3323   U.cuni 4086    _I cid 4626    |` cres 4837   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ↾t crest 14351   Topctop 18473  TopOnctopon 18474    Cn ccn 18803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-fin 7306  df-fi 7653  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cn 18806
This theorem is referenced by:  restt0  18945  restt1  18946  resthaus  18947
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