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Theorem resthauslem 19737
Description: Lemma for resthaus 19742 and similar theorems. If the topological property  A is preserved under injective preimages, then property  A passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resthauslem.1  |-  ( J  e.  A  ->  J  e.  Top )
resthauslem.2  |-  ( ( J  e.  A  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J )  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J ) )  ->  ( Jt  S )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
resthauslem  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  e.  A
)

Proof of Theorem resthauslem
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  A )
2 f1oi 5841 . . 3  |-  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-onto-> ( S  i^i  U. J )
3 f1of1 5805 . . 3  |-  ( (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-onto-> ( S  i^i  U. J )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J ) -1-1-> ( S  i^i  U. J ) )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J ) )
5 inss2 3704 . . . . 5  |-  ( S  i^i  U. J ) 
C_  U. J
6 resabs1 5292 . . . . 5  |-  ( ( S  i^i  U. J
)  C_  U. J  -> 
( (  _I  |`  U. J
)  |`  ( S  i^i  U. J ) )  =  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  U. J )  |`  ( S  i^i  U. J ) )  =  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )
8 resthauslem.1 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  A  ->  J  e.  Top )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  Top )
10 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1110toptopon 19307 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
129, 11sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
13 idcn 19631 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (  _I  |`  U. J )  e.  ( J  Cn  J ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  U. J
)  e.  ( J  Cn  J ) )
1510cnrest 19659 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  U. J
)  e.  ( J  Cn  J )  /\  ( S  i^i  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( (  _I  |`  U. J )  |`  ( S  i^i  U. J
) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
1614, 5, 15sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( (  _I  |`  U. J
)  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
177, 16syl5eqelr 2536 . . 3  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
1810restin 19540 . . . 4  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  =  ( Jt  ( S  i^i  U. J ) ) )
1918oveq1d 6296 . . 3  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( ( Jt  S )  Cn  J )  =  ( ( Jt  ( S  i^i  U. J ) )  Cn  J ) )
2017, 19eleqtrrd 2534 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J
) )
21 resthauslem.2 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) ) : ( S  i^i  U. J )
-1-1-> ( S  i^i  U. J )  /\  (  _I  |`  ( S  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  S )  Cn  J ) )  ->  ( Jt  S )  e.  A )
221, 4, 20, 21syl3anc 1229 1  |-  ( ( J  e.  A  /\  S  e.  V )  ->  ( Jt  S )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    i^i cin 3460    C_ wss 3461   U.cuni 4234    _I cid 4780    |` cres 4991   -1-1->wf1 5575   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ↾t crest 14695   Topctop 19267  TopOnctopon 19268    Cn ccn 19598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-fin 7522  df-fi 7873  df-rest 14697  df-topgen 14718  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-cn 19601
This theorem is referenced by:  restt0  19740  restt1  19741  resthaus  19742
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