MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthaus Structured version   Unicode version

Theorem resthaus 19675
Description: A subspace of a Hausdorff topology is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resthaus  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Haus )

Proof of Theorem resthaus
StepHypRef Expression
1 haustop 19638 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
2 cnhaus 19661 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (  _I  |`  ( A  i^i  U. J ) ) : ( A  i^i  U. J ) -1-1-> ( A  i^i  U. J )  /\  (  _I  |`  ( A  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  J
) )  ->  ( Jt  A )  e.  Haus )
31, 2resthauslem 19670 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    i^i cin 3475   U.cuni 4245    _I cid 4790    |` cres 5001  (class class class)co 6285   ↾t crest 14679   Hauscha 19615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-fin 7521  df-fi 7872  df-rest 14681  df-topgen 14702  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cn 19534  df-haus 19622
This theorem is referenced by:  hauslly  19799  hausnlly  19800  xrge0tsms  21166  cncfcnvcn  21252  xrge0tsmsd  27535  xrge0haus  27677  esumpfinval  27832  esumpfinvalf  27833
  Copyright terms: Public domain W3C validator