MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthaus Structured version   Unicode version

Theorem resthaus 20315
Description: A subspace of a Hausdorff topology is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resthaus  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Haus )

Proof of Theorem resthaus
StepHypRef Expression
1 haustop 20278 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
2 cnhaus 20301 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (  _I  |`  ( A  i^i  U. J ) ) : ( A  i^i  U. J ) -1-1-> ( A  i^i  U. J )  /\  (  _I  |`  ( A  i^i  U. J ) )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  J
) )  ->  ( Jt  A )  e.  Haus )
31, 2resthauslem 20310 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1870    i^i cin 3441   U.cuni 4222    _I cid 4764    |` cres 4856  (class class class)co 6305   ↾t crest 15278   Hauscha 20255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-fin 7581  df-fi 7931  df-rest 15280  df-topgen 15301  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cn 20174  df-haus 20262
This theorem is referenced by:  hauslly  20438  hausnlly  20439  xrge0tsms  21763  cncfcnvcn  21849  xrge0tsmsd  28387  xrge0haus  28589  esumpfinval  28735  esumpfinvalf  28736
  Copyright terms: Public domain W3C validator