MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restdis Structured version   Unicode version

Theorem restdis 19974
Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restdis  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ~P At  B )  =  ~P B )

Proof of Theorem restdis
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 19791 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  ~P A  e.  Top )
3 elpw2g 4559 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( B  e.  ~P A  <->  B 
C_  A ) )
43biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ~P A
)
5 restopn2 19973 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  B  e.  ~P A
)  ->  ( x  e.  ( ~P At  B )  <-> 
( x  e.  ~P A  /\  x  C_  B
) ) )
62, 4, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  ( ~P At  B )  <->  ( x  e.  ~P A  /\  x  C_  B ) ) )
7 selpw 3964 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P B  <->  x  C_  B
)
8 sstr 3452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  B  /\  B  C_  A )  ->  x  C_  A )
98expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  A  ->  (
x  C_  B  ->  x 
C_  A ) )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( x  C_  B  ->  x  C_  A )
)
11 selpw 3964 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
1210, 11syl6ibr 229 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( x  C_  B  ->  x  e.  ~P A
) )
1312pm4.71rd 635 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( x  C_  B  <->  ( x  e.  ~P A  /\  x  C_  B ) ) )
147, 13syl5bb 259 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  ~P B 
<->  ( x  e.  ~P A  /\  x  C_  B
) ) )
156, 14bitr4d 258 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  ( ~P At  B )  <->  x  e.  ~P B ) )
1615eqrdv 2401 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ~P At  B )  =  ~P B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    C_ wss 3416   ~Pcpw 3957  (class class class)co 6280   ↾t crest 15037   Topctop 19688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-fin 7560  df-fi 7907  df-rest 15039  df-topgen 15060  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696
This theorem is referenced by:  dislly  20292  xkopt  20450
  Copyright terms: Public domain W3C validator