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Theorem restcnrm 18988
Description: A subspace of a completely normal space is completely normal. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restcnrm  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e. CNrm )

Proof of Theorem restcnrm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  U. J  =  U. J
21restin 18792 . 2  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  =  ( Jt  ( A  i^i  U. J ) ) )
3 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  J  e. CNrm )
4 elpwi 3890 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ( A  i^i  U. J )  ->  x  C_  ( A  i^i  U. J ) )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  x  C_  ( A  i^i  U. J ) )
6 inex1g 4456 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  U. J )  e.  _V )
76ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  ( A  i^i  U. J )  e.  _V )
8 restabs 18791 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  x  C_  ( A  i^i  U. J )  /\  ( A  i^i  U. J )  e.  _V )  -> 
( ( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  =  ( Jt  x ) )
93, 5, 7, 8syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  (
( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  =  ( Jt  x ) )
10 cnrmi 18986 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J ) )  -> 
( Jt  x )  e.  Nrm )
1110adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  ( Jt  x )  e.  Nrm )
129, 11eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  (
( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  e.  Nrm )
1312ralrimiva 2820 . . 3  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ~P  ( A  i^i  U. J ) ( ( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  e.  Nrm )
14 cnrmtop 18963 . . . . . . 7  |-  ( J  e. CNrm  ->  J  e.  Top )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  Top )
161toptopon 18560 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1715, 16sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
18 inss2 3592 . . . . 5  |-  ( A  i^i  U. J ) 
C_  U. J
19 resttopon 18787 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( A  i^i  U. J ) 
C_  U. J )  -> 
( Jt  ( A  i^i  U. J ) )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  U. J ) ) )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  ( A  i^i  U. J
) )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  U. J ) ) )
21 iscnrm2 18964 . . . 4  |-  ( ( Jt  ( A  i^i  U. J ) )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  U. J ) )  ->  ( ( Jt  ( A  i^i  U. J
) )  e. CNrm  <->  A. x  e.  ~P  ( A  i^i  U. J ) ( ( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  e.  Nrm ) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  (
( Jt  ( A  i^i  U. J ) )  e. CNrm  <->  A. x  e.  ~P  ( A  i^i  U. J ) ( ( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  e.  Nrm ) )
2313, 22mpbird 232 . 2  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  ( A  i^i  U. J
) )  e. CNrm )
242, 23eqeltrd 2517 1  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e. CNrm )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   ↾t crest 14380   Topctop 18520  TopOnctopon 18521   Nrmcnrm 18936  CNrmccnrm 18937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-fin 7335  df-fi 7682  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-cnrm 18944
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