Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restcnrm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem restcnrm 20455
 Description: A subspace of a completely normal space is completely normal. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restcnrm CNrm t CNrm

Proof of Theorem restcnrm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . 3
21restin 20259 . 2 CNrm t t
3 simpll 768 . . . . . 6 CNrm CNrm
4 elpwi 3951 . . . . . . 7
54adantl 473 . . . . . 6 CNrm
6 inex1g 4539 . . . . . . 7
76ad2antlr 741 . . . . . 6 CNrm
8 restabs 20258 . . . . . 6 CNrm t t t
93, 5, 7, 8syl3anc 1292 . . . . 5 CNrm t t t
10 cnrmi 20453 . . . . . 6 CNrm t
1110adantlr 729 . . . . 5 CNrm t
129, 11eqeltrd 2549 . . . 4 CNrm t t
1312ralrimiva 2809 . . 3 CNrm t t
14 cnrmtop 20430 . . . . . . 7 CNrm
1514adantr 472 . . . . . 6 CNrm
161toptopon 20025 . . . . . 6 TopOn
1715, 16sylib 201 . . . . 5 CNrm TopOn
18 inss2 3644 . . . . 5
19 resttopon 20254 . . . . 5 TopOn t TopOn
2017, 18, 19sylancl 675 . . . 4 CNrm t TopOn
21 iscnrm2 20431 . . . 4 t TopOn t CNrm t t
2220, 21syl 17 . . 3 CNrm t CNrm t t
2313, 22mpbird 240 . 2 CNrm t CNrm
242, 23eqeltrd 2549 1 CNrm t CNrm
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cpw 3942  cuni 4190  cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397  ctop 19994  TopOnctopon 19995  cnrm 20403  CNrmccnrm 20404 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cnrm 20411 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator