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Theorem restcls 20274
Description: A closure in a subspace topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
restcls  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  K
) `  S )  =  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y ) )

Proof of Theorem restcls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1030 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  J  e.  Top )
2 sstr 3426 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  S  C_  X )
32ancoms 460 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  X )
433adant1 1048 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  X )
5 restcls.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
65clscld 20139 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
71, 4, 6syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
8 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )
9 ineq1 3618 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  ( x  i^i  Y )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y ) )
109eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  ( (
( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  =  ( x  i^i  Y )  <-> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  =  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y ) ) )
1110rspcev 3136 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( (
( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  =  ( x  i^i  Y ) )
127, 8, 11sylancl 675 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  =  ( x  i^i  Y ) )
13 restcls.2 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Jt  Y )
1413fveq2i 5882 . . . . . 6  |-  ( Clsd `  K )  =  (
Clsd `  ( Jt  Y
) )
1514eleq2i 2541 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  e.  (
Clsd `  K )  <->  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  e.  (
Clsd `  ( Jt  Y
) ) )
165restcld 20265 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  e.  (
Clsd `  ( Jt  Y
) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  =  ( x  i^i  Y ) ) )
17163adant3 1050 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  =  ( x  i^i  Y ) ) )
1815, 17syl5bb 265 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  e.  ( Clsd `  K
)  <->  E. x  e.  (
Clsd `  J )
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )
1912, 18mpbird 240 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  e.  (
Clsd `  K )
)
205sscls 20148 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
211, 4, 20syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
22 simp3 1032 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  Y )
2321, 22ssind 3647 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )
)
24 eqid 2471 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
2524clsss2 20165 . . 3  |-  ( ( ( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  e.  ( Clsd `  K
)  /\  S  C_  (
( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y ) )  -> 
( ( cls `  K
) `  S )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )
)
2619, 23, 25syl2anc 673 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  K
) `  S )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )
)
2713fveq2i 5882 . . . . . 6  |-  ( cls `  K )  =  ( cls `  ( Jt  Y ) )
2827fveq1i 5880 . . . . 5  |-  ( ( cls `  K ) `
 S )  =  ( ( cls `  ( Jt  Y ) ) `  S )
29 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
C_  X  ->  Y  C_  X )
305topopn 20013 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
31 ssexg 4542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  Y  e.  _V )
3229, 30, 31syl2anr 486 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
33 resttop 20253 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
3432, 33syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( Jt  Y )  e.  Top )
35343adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
365restuni 20255 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
37363adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
3822, 37sseqtrd 3454 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_ 
U. ( Jt  Y ) )
39 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. ( Jt  Y )
4039clscld 20139 . . . . . 6  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  -> 
( ( cls `  ( Jt  Y ) ) `  S )  e.  (
Clsd `  ( Jt  Y
) ) )
4135, 38, 40syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  ( Jt  Y ) ) `  S )  e.  (
Clsd `  ( Jt  Y
) ) )
4228, 41syl5eqel 2553 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  K
) `  S )  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) ) )
435restcld 20265 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  K ) `  S
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( cls `  K ) `  S
)  =  ( x  i^i  Y ) ) )
44433adant3 1050 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( cls `  K
) `  S )  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( cls `  K ) `  S
)  =  ( x  i^i  Y ) ) )
4542, 44mpbid 215 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( cls `  K ) `  S
)  =  ( x  i^i  Y ) )
4613, 34syl5eqel 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
47463adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  K  e.  Top )
4813unieqi 4199 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. ( Jt  Y )
4948eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. K
5049sscls 20148 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  ->  S  C_  ( ( cls `  K
) `  S )
)
5147, 38, 50syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  ( ( cls `  K
) `  S )
)
5251adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )  ->  S  C_  (
( cls `  K
) `  S )
)
53 inss1 3643 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  Y )  C_  x
54 sseq1 3439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y )  ->  (
( ( cls `  K
) `  S )  C_  x  <->  ( x  i^i 
Y )  C_  x
) )
5553, 54mpbiri 241 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y )  ->  (
( cls `  K
) `  S )  C_  x )
5655ad2antll 743 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  S
)  C_  x )
5752, 56sstrd 3428 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )  ->  S  C_  x
)
585clsss2 20165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  x )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  x )
5958adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  x ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  x )
60 ssrin 3648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  x  ->  ( (
( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  C_  (
x  i^i  Y )
)
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  x ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  C_  (
x  i^i  Y )
)
62 sseq2 3440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  C_  ( ( cls `  K
) `  S )  <->  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  C_  (
x  i^i  Y )
) )
6361, 62syl5ibrcom 230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  x ) )  ->  ( ( ( cls `  K ) `
 S )  =  ( x  i^i  Y
)  ->  ( (
( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  C_  (
( cls `  K
) `  S )
) )
6463expr 626 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( S  C_  x  ->  ( ( ( cls `  K ) `  S
)  =  ( x  i^i  Y )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  C_  ( ( cls `  K
) `  S )
) ) )
6564com23 80 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( cls `  K ) `  S
)  =  ( x  i^i  Y )  -> 
( S  C_  x  ->  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  C_  ( ( cls `  K
) `  S )
) ) )
6665impr 631 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )  ->  ( S  C_  x  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  C_  (
( cls `  K
) `  S )
) )
6757, 66mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  C_  (
( cls `  K
) `  S )
)
6845, 67rexlimddv 2875 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  C_  (
( cls `  K
) `  S )
)
6926, 68eqssd 3435 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  K
) `  S )  =  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   U.cuni 4190   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994   Clsdccld 20108   clsccl 20110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cls 20113
This theorem is referenced by:  restlp  20276  resscdrg  22403
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