MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restcls Structured version   Unicode version
Theorem restcls 19808
Description: A closure in a subspace topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 |- X = U. J
restcls.2 |- K = ( J ↾t Y )
Assertion
Ref Expression
restcls |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
Proof of Theorem restcls
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
2 sstr 3507 . . . . . . . 8 |- ( ( S C_ Y /\ Y C_ X ) -> S C_ X )
32ancoms 453 . . . . . . 7 |- ( ( Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
433adant1 1014 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
5 restcls.1 . . . . . . 7 |- X = U. J
65clscld 19674 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) )
71, 4, 6syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) )
8 eqid 2457 . . . . 5 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y )
9 ineq1 3689 . . . . . . 7 |- ( x = ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( x i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
109eqeq2d 2471 . . . . . 6 |- ( x = ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) )
1110rspcev 3210 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) )
127, 8, 11sylancl 662 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) )
13 restcls.2 . . . . . . 7 |- K = ( J ↾t Y )
1413fveq2i 5875 . . . . . 6 |- ( Clsd ` K ) = ( Clsd ` ( J ↾t Y ) )
1514eleq2i 2535 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
165restcld 19799 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
17163adant3 1016 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
1815, 17syl5bb 257 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
1912, 18mpbird 232 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) )
205sscls 19683 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
211, 4, 20syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
22 simp3 998 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ Y )
2321, 22ssind 3718 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
24 eqid 2457 . . . 4 |- U. K = U. K
2524clsss2 19699 . . 3 |- ( ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) /\ S C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
2619, 23, 25syl2anc 661 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
2713fveq2i 5875 . . . . . 6 |- ( cls ` K ) = ( cls ` ( J ↾t Y ) )
2827fveq1i 5873 . . . . 5 |- ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S )
29 id 22 . . . . . . . . 9 |- ( Y C_ X -> Y C_ X )
305topopn 19541 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> X e. J )
31 ssexg 4602 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ X /\ X e. J ) -> Y e. _V )
3229, 30, 31syl2anr 478 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
33 resttop 19787 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
3432, 33syldan 470 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
35343adant3 1016 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
365restuni 19789 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
37363adant3 1016 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
3822, 37sseqtrd 3535 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ U. ( J ↾t Y ) )
39 eqid 2457 . . . . . . 7 |- U. ( J ↾t Y ) = U. ( J ↾t Y )
4039clscld 19674 . . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
4135, 38, 40syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
4228, 41syl5eqel 2549 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
435restcld 19799 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) )
44433adant3 1016 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) )
4542, 44mpbid 210 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) )
4613, 34syl5eqel 2549 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
47463adant3 1016 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> K e. Top )
4813unieqi 4260 . . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( J ↾t Y )
4948eqcomi 2470 . . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t Y ) = U. K
5049sscls 19683 . . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
5147, 38, 50syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
5251adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
53 inss1 3714 . . . . . . 7 |- ( x i^i Y ) C_ x
54 sseq1 3520 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x <-> ( x i^i Y ) C_ x ) )
5553, 54mpbiri 233 . . . . . 6 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x )
5655ad2antll 728 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x )
5752, 56sstrd 3509 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> S C_ x )
585clsss2 19699 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x )
5958adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x )
60 ssrin 3719 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) )
62 sseq2 3521 . . . . . . . 8 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) ) )
6361, 62syl5ibrcom 222 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
6463expr 615 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) ) )
6564com23 78 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) ) )
6665impr 619 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
6757, 66mpd 15 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
6845, 67rexlimddv 2953 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
6926, 68eqssd 3516 1 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   U.cuni 4251   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ↾t crest 14837   Topctop 19520   Clsdccld 19643   clsccl 19645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14839  df-topgen 14860  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cld 19646  df-cls 19648
This theorem is referenced by:  restlp  19810  resscdrg  21923
  Copyright terms: Public domain W3C validator