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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > restcls | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A closure in a subspace topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) |
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restcls.1 |
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restcls.2 |
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restcls |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp1 1030 |
. . . . . 6
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2 | sstr 3426 |
. . . . . . . 8
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3 | 2 | ancoms 460 |
. . . . . . 7
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4 | 3 | 3adant1 1048 |
. . . . . 6
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5 | restcls.1 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | clscld 20139 |
. . . . . 6
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7 | 1, 4, 6 | syl2anc 673 |
. . . . 5
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8 | eqid 2471 |
. . . . 5
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9 | ineq1 3618 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | eqeq2d 2481 |
. . . . . 6
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11 | 10 | rspcev 3136 |
. . . . 5
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12 | 7, 8, 11 | sylancl 675 |
. . . 4
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13 | restcls.2 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | fveq2i 5882 |
. . . . . 6
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15 | 14 | eleq2i 2541 |
. . . . 5
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16 | 5 | restcld 20265 |
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17 | 16 | 3adant3 1050 |
. . . . 5
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18 | 15, 17 | syl5bb 265 |
. . . 4
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19 | 12, 18 | mpbird 240 |
. . 3
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20 | 5 | sscls 20148 |
. . . . 5
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21 | 1, 4, 20 | syl2anc 673 |
. . . 4
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22 | simp3 1032 |
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23 | 21, 22 | ssind 3647 |
. . 3
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24 | eqid 2471 |
. . . 4
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25 | 24 | clsss2 20165 |
. . 3
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26 | 19, 23, 25 | syl2anc 673 |
. 2
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27 | 13 | fveq2i 5882 |
. . . . . 6
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28 | 27 | fveq1i 5880 |
. . . . 5
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29 | id 22 |
. . . . . . . . 9
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30 | 5 | topopn 20013 |
. . . . . . . . 9
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31 | ssexg 4542 |
. . . . . . . . 9
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32 | 29, 30, 31 | syl2anr 486 |
. . . . . . . 8
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33 | resttop 20253 |
. . . . . . . 8
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34 | 32, 33 | syldan 478 |
. . . . . . 7
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35 | 34 | 3adant3 1050 |
. . . . . 6
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36 | 5 | restuni 20255 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | 3adant3 1050 |
. . . . . . 7
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38 | 22, 37 | sseqtrd 3454 |
. . . . . 6
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39 | eqid 2471 |
. . . . . . 7
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40 | 39 | clscld 20139 |
. . . . . 6
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41 | 35, 38, 40 | syl2anc 673 |
. . . . 5
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42 | 28, 41 | syl5eqel 2553 |
. . . 4
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43 | 5 | restcld 20265 |
. . . . 5
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44 | 43 | 3adant3 1050 |
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45 | 42, 44 | mpbid 215 |
. . 3
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46 | 13, 34 | syl5eqel 2553 |
. . . . . . . 8
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47 | 46 | 3adant3 1050 |
. . . . . . 7
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48 | 13 | unieqi 4199 |
. . . . . . . . 9
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49 | 48 | eqcomi 2480 |
. . . . . . . 8
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50 | 49 | sscls 20148 |
. . . . . . 7
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51 | 47, 38, 50 | syl2anc 673 |
. . . . . 6
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52 | 51 | adantr 472 |
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53 | inss1 3643 |
. . . . . . 7
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54 | sseq1 3439 |
. . . . . . 7
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55 | 53, 54 | mpbiri 241 |
. . . . . 6
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56 | 55 | ad2antll 743 |
. . . . 5
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57 | 52, 56 | sstrd 3428 |
. . . 4
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58 | 5 | clsss2 20165 |
. . . . . . . . . 10
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59 | 58 | adantl 473 |
. . . . . . . . 9
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60 | ssrin 3648 |
. . . . . . . . 9
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61 | 59, 60 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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62 | sseq2 3440 |
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63 | 61, 62 | syl5ibrcom 230 |
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64 | 63 | expr 626 |
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65 | 64 | com23 80 |
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66 | 65 | impr 631 |
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67 | 57, 66 | mpd 15 |
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68 | 45, 67 | rexlimddv 2875 |
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69 | 26, 68 | eqssd 3435 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-iin 4272 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-oadd 7204 df-er 7381 df-en 7588 df-fin 7591 df-fi 7943 df-rest 15399 df-topgen 15420 df-top 19998 df-bases 19999 df-topon 20000 df-cld 20111 df-cls 20113 |
This theorem is referenced by: restlp 20276 resscdrg 22403 |
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