Theorem restcls 20196

Description: A closure in a subspace topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls.1	|- X = U. J
restcls.2	|- K = ( J ↾t Y )

Assertion

Ref	Expression
restcls	|- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )

Proof of Theorem restcls

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1005	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
2		sstr 3472	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ Y /\ Y C_ X ) -> S C_ X )
3	2	ancoms 454	. . . . . . 7 |- ( ( Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
4	3	3adant1 1023	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
5		restcls.1	. . . . . . 7 |- X = U. J
6	5	clscld 20061	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) )
7	1, 4, 6	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) )
8		eqid 2422	. . . . 5 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y )
9		ineq1 3657	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( x i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
10	9	eqeq2d 2436	. . . . . 6 |- ( x = ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) )
11	10	rspcev 3182	. . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) )
12	7, 8, 11	sylancl 666	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) )
13		restcls.2	. . . . . . 7 |- K = ( J ↾t Y )
14	13	fveq2i 5885	. . . . . 6 |- ( Clsd ` K ) = ( Clsd ` ( J ↾t Y ) )
15	14	eleq2i 2499	. . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
16	5	restcld 20187	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
17	16	3adant3 1025	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
18	15, 17	syl5bb 260	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
19	12, 18	mpbird 235	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) )
20	5	sscls 20070	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
21	1, 4, 20	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
22		simp3 1007	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ Y )
23	21, 22	ssind 3686	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
24		eqid 2422	. . . 4 |- U. K = U. K
25	24	clsss2 20087	. . 3 |- ( ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) /\ S C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
26	19, 23, 25	syl2anc 665	. 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
27	13	fveq2i 5885	. . . . . 6 |- ( cls ` K ) = ( cls ` ( J ↾t Y ) )
28	27	fveq1i 5883	. . . . 5 |- ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S )
29		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( Y C_ X -> Y C_ X )
30	5	topopn 19935	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> X e. J )
31		ssexg 4570	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ X /\ X e. J ) -> Y e. _V )
32	29, 30, 31	syl2anr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
33		resttop 20175	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
34	32, 33	syldan 472	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
35	34	3adant3 1025	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
36	5	restuni 20177	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
37	36	3adant3 1025	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
38	22, 37	sseqtrd 3500	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ U. ( J ↾t Y ) )
39		eqid 2422	. . . . . . 7 |- U. ( J ↾t Y ) = U. ( J ↾t Y )
40	39	clscld 20061	. . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
41	35, 38, 40	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
42	28, 41	syl5eqel 2511	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
43	5	restcld 20187	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) )
44	43	3adant3 1025	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) )
45	42, 44	mpbid 213	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) )
46	13, 34	syl5eqel 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
47	46	3adant3 1025	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> K e. Top )
48	13	unieqi 4228	. . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( J ↾t Y )
49	48	eqcomi 2435	. . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t Y ) = U. K
50	49	sscls 20070	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
51	47, 38, 50	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
52	51	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
53		inss1 3682	. . . . . . 7 |- ( x i^i Y ) C_ x
54		sseq1 3485	. . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x <-> ( x i^i Y ) C_ x ) )
55	53, 54	mpbiri 236	. . . . . 6 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x )
56	55	ad2antll 733	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x )
57	52, 56	sstrd 3474	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> S C_ x )
58	5	clsss2 20087	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x )
59	58	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x )
60		ssrin 3687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) )
62		sseq2 3486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) ) )
63	61, 62	syl5ibrcom 225	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
64	63	expr 618	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) ) )
65	64	com23 81	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) ) )
66	65	impr 623	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
67	57, 66	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
68	45, 67	rexlimddv 2918	. 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
69	26, 68	eqssd 3481	1 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   i^i cin 3435   C_ wss 3436   U.cuni 4219   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   ↾_t crest 15319   Topctop 19916   Clsdccld 20030   clsccl 20032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-oadd 7198  df-er 7375  df-en 7582  df-fin 7585  df-fi 7935  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19920  df-bases 19921  df-topon 19922  df-cld 20033  df-cls 20035

This theorem is referenced by:  restlp  20198  resscdrg  22324