MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restcldr Structured version   Unicode version

Theorem restcldr 19441
Description: A set which is closed in the subspace topology induced by a closed set is closed in the original topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
restcldr  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )  ->  B  e.  (
Clsd `  J )
)

Proof of Theorem restcldr
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cldrcl 19293 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32cldss 19296 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
42restcld 19439 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  ( B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) B  =  ( v  i^i  A ) ) )
51, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) B  =  ( v  i^i  A ) ) )
6 incld 19310 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
v  i^i  A )  e.  ( Clsd `  J
) )
76ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  v  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
v  i^i  A )  e.  ( Clsd `  J
) )
8 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( B  =  ( v  i^i 
A )  ->  ( B  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( v  i^i  A )  e.  (
Clsd `  J )
) )
97, 8syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  v  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( B  =  ( v  i^i  A )  ->  B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
109rexlimdva 2955 . . 3  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( E. v  e.  ( Clsd `  J ) B  =  ( v  i^i  A
)  ->  B  e.  ( Clsd `  J )
) )
115, 10sylbid 215 . 2  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) )  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1211imp 429 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )  ->  B  e.  (
Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    i^i cin 3475    C_ wss 3476   U.cuni 4245   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ↾t crest 14672   Topctop 19161   Clsdccld 19283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cld 19286
This theorem is referenced by:  paste  19561  qtoprest  19953  zcld2  21055  sszcld  21057  logdmopn  22758  dvtanlem  29641  dvasin  29680  dvacos  29681  dvreasin  29682  dvreacos  29683
  Copyright terms: Public domain W3C validator