MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restcldr Structured version   Unicode version

Theorem restcldr 19845
Description: A set which is closed in the subspace topology induced by a closed set is closed in the original topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
restcldr  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )  ->  B  e.  (
Clsd `  J )
)

Proof of Theorem restcldr
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cldrcl 19697 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32cldss 19700 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
42restcld 19843 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  ( B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) B  =  ( v  i^i  A ) ) )
51, 3, 4syl2anc 659 . . 3  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) B  =  ( v  i^i  A ) ) )
6 incld 19714 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
v  i^i  A )  e.  ( Clsd `  J
) )
76ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  v  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
v  i^i  A )  e.  ( Clsd `  J
) )
8 eleq1 2526 . . . . 5  |-  ( B  =  ( v  i^i 
A )  ->  ( B  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( v  i^i  A )  e.  (
Clsd `  J )
) )
97, 8syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  v  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( B  =  ( v  i^i  A )  ->  B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
109rexlimdva 2946 . . 3  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( E. v  e.  ( Clsd `  J ) B  =  ( v  i^i  A
)  ->  B  e.  ( Clsd `  J )
) )
115, 10sylbid 215 . 2  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) )  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1211imp 427 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )  ->  B  e.  (
Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805    i^i cin 3460    C_ wss 3461   U.cuni 4235   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾t crest 14913   Topctop 19564   Clsdccld 19687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14915  df-topgen 14936  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-cld 19690
This theorem is referenced by:  paste  19965  qtoprest  20387  zcld2  21489  sszcld  21491  logdmopn  23201  dvtanlem  30307  dvasin  30346  dvacos  30347  dvreasin  30348  dvreacos  30349
  Copyright terms: Public domain W3C validator