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Theorem restcld 19543
Description: A closed set of a subspace topology is a closed set of the original topology intersected with the subset. (Contributed by FL, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
restcld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restcld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, S    x, X

Proof of Theorem restcld
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5  |-  ( S 
C_  X  ->  S  C_  X )
2 restcld.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32topopn 19285 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
4 ssexg 4580 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  S  e.  _V )
51, 3, 4syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
6 resttop 19531 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
75, 6syldan 470 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( Jt  S )  e.  Top )
8 eqid 2441 . . . 4  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
98iscld 19398 . . 3  |-  ( ( Jt  S )  e.  Top  ->  ( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
107, 9syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
112restuni 19533 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1211sseq2d 3515 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  C_  S  <->  A 
C_  U. ( Jt  S ) ) )
1311difeq1d 3604 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  A
)  =  ( U. ( Jt  S )  \  A
) )
1413eleq1d 2510 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) )
1512, 14anbi12d 710 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
16 elrest 14699 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) )
175, 16syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) )
1817anbi2d 703 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( A  C_  S  /\  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) ) )
192opncld 19404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2019adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  o  e.  J
)  ->  ( X  \  o )  e.  (
Clsd `  J )
)
2120adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  A  C_  S
)  /\  o  e.  J )  ->  ( X  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( X  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
23 incom 3674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  i^i  S )  =  ( S  i^i  X
)
24 df-ss 3473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  X  <->  ( S  i^i  X )  =  S )
2524biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  i^i  X )  =  S )
2623, 25syl5eq 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  X  ->  ( X  i^i  S )  =  S )
2726ad4antlr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( X  i^i  S )  =  S )
2827difeq1d 3604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  (
( X  i^i  S
)  \  o )  =  ( S  \ 
o ) )
29 difeq2 3599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  \  A )  =  ( o  i^i 
S )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  (
o  i^i  S )
) )
30 difindi 3735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
\  ( o  i^i 
S ) )  =  ( ( S  \ 
o )  u.  ( S  \  S ) )
31 difid 3879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
\  S )  =  (/)
3231uneq2i 3638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  \  o )  u.  ( S  \  S ) )  =  ( ( S  \ 
o )  u.  (/) )
33 un0 3793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  \  o )  u.  (/) )  =  ( S  \  o )
3430, 32, 333eqtri 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
\  ( o  i^i 
S ) )  =  ( S  \  o
)
3529, 34syl6eq 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  A )  =  ( o  i^i 
S )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  o
) )
3635adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  o
) )
37 dfss4 3715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  S  <->  ( S  \  ( S  \  A
) )  =  A )
3837biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  S  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  A )
3938ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  A )
4028, 36, 393eqtr2rd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  A  =  ( ( X  i^i  S )  \ 
o ) )
4123difeq1i 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  i^i  S ) 
\  o )  =  ( ( S  i^i  X )  \  o )
42 indif2 3724 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  ( ( S  i^i  X )  \  o )
43 incom 3674 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
)
4441, 42, 433eqtr2i 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  S ) 
\  o )  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
)
4540, 44syl6eq 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  A  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )
46 ineq1 3676 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( X  \ 
o )  ->  (
x  i^i  S )  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )
4746eqeq2d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( X  \ 
o )  ->  ( A  =  ( x  i^i  S )  <->  A  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
) ) )
4847rspcev 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) )
4922, 45, 48syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) )
5049ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  A  C_  S
)  /\  o  e.  J )  ->  (
( S  \  A
)  =  ( o  i^i  S )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) ) )
5150rexlimdva 2933 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  ->  ( E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S )  ->  E. x  e.  (
Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
5251expimpd 603 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
5318, 52sylbid 215 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) ) )
54 difindi 3735 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  =  ( ( S  \  x )  u.  ( S  \  S ) )
5531uneq2i 3638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  x )  u.  ( S  \  S ) )  =  ( ( S  \  x )  u.  (/) )
56 un0 3793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  x )  u.  (/) )  =  ( S  \  x )
5754, 55, 563eqtri 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  =  ( S  \  x
)
58 difin2 3743 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  \  x )  =  ( ( X  \  x )  i^i  S
) )
5958adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  x
)  =  ( ( X  \  x )  i^i  S ) )
6057, 59syl5eq 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  (
x  i^i  S )
)  =  ( ( X  \  x )  i^i  S ) )
6160adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  =  ( ( X  \  x
)  i^i  S )
)
62 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  J  e.  Top )
635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  S  e.  _V )
642cldopn 19402 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  x )  e.  J
)
6564adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( X  \  x )  e.  J
)
66 elrestr 14700 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V  /\  ( X  \  x )  e.  J )  ->  (
( X  \  x
)  i^i  S )  e.  ( Jt  S ) )
6762, 63, 65, 66syl3anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( X 
\  x )  i^i 
S )  e.  ( Jt  S ) )
6861, 67eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) )
69 inss2 3702 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  S )  C_  S
7068, 69jctil 537 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( x  i^i  S )  C_  S  /\  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) ) )
71 sseq1 3508 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  ( A  C_  S  <->  ( x  i^i  S )  C_  S
) )
72 difeq2 3599 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  ( S  \  A )  =  ( S  \  (
x  i^i  S )
) )
7372eleq1d 2510 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  (
( S  \  A
)  e.  ( Jt  S )  <->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) ) )
7471, 73anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  (
( A  C_  S  /\  ( S  \  A
)  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( (
x  i^i  S )  C_  S  /\  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7570, 74syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( A  =  ( x  i^i  S
)  ->  ( A  C_  S  /\  ( S 
\  A )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7675rexlimdva 2933 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S )  ->  ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7753, 76impbid 191 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
7810, 15, 773bitr2d 281 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    \ cdif 3456    u. cun 3457    i^i cin 3458    C_ wss 3459   (/)c0 3768   U.cuni 4231   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   ↾t crest 14692   Topctop 19264   Clsdccld 19387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-oadd 7133  df-er 7310  df-en 7516  df-fin 7519  df-fi 7870  df-rest 14694  df-topgen 14715  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-cld 19390
This theorem is referenced by:  restcldi  19544  restcldr  19545  restcls  19552  consubclo  19795  cldllycmp  19866
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