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Theorem restcld 19759
Description: A closed set of a subspace topology is a closed set of the original topology intersected with the subset. (Contributed by FL, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
restcld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restcld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, S    x, X

Proof of Theorem restcld
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5  |-  ( S 
C_  X  ->  S  C_  X )
2 restcld.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32topopn 19500 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
4 ssexg 4511 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  S  e.  _V )
51, 3, 4syl2anr 476 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
6 resttop 19747 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
75, 6syldan 468 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( Jt  S )  e.  Top )
8 eqid 2382 . . . 4  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
98iscld 19613 . . 3  |-  ( ( Jt  S )  e.  Top  ->  ( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
107, 9syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
112restuni 19749 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1211sseq2d 3445 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  C_  S  <->  A 
C_  U. ( Jt  S ) ) )
1311difeq1d 3535 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  A
)  =  ( U. ( Jt  S )  \  A
) )
1413eleq1d 2451 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) )
1512, 14anbi12d 708 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
16 elrest 14835 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) )
175, 16syldan 468 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) )
1817anbi2d 701 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( A  C_  S  /\  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) ) )
192opncld 19619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2019adantlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  o  e.  J
)  ->  ( X  \  o )  e.  (
Clsd `  J )
)
2120adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  A  C_  S
)  /\  o  e.  J )  ->  ( X  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
2221adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( X  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
23 incom 3605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  i^i  S )  =  ( S  i^i  X
)
24 df-ss 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  X  <->  ( S  i^i  X )  =  S )
2524biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  i^i  X )  =  S )
2623, 25syl5eq 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  X  ->  ( X  i^i  S )  =  S )
2726ad4antlr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( X  i^i  S )  =  S )
2827difeq1d 3535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  (
( X  i^i  S
)  \  o )  =  ( S  \ 
o ) )
29 difeq2 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  \  A )  =  ( o  i^i 
S )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  (
o  i^i  S )
) )
30 difindi 3677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
\  ( o  i^i 
S ) )  =  ( ( S  \ 
o )  u.  ( S  \  S ) )
31 difid 3812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
\  S )  =  (/)
3231uneq2i 3569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  \  o )  u.  ( S  \  S ) )  =  ( ( S  \ 
o )  u.  (/) )
33 un0 3737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  \  o )  u.  (/) )  =  ( S  \  o )
3430, 32, 333eqtri 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
\  ( o  i^i 
S ) )  =  ( S  \  o
)
3529, 34syl6eq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  A )  =  ( o  i^i 
S )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  o
) )
3635adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  o
) )
37 dfss4 3657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  S  <->  ( S  \  ( S  \  A
) )  =  A )
3837biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  S  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  A )
3938ad3antlr 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  A )
4028, 36, 393eqtr2rd 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  A  =  ( ( X  i^i  S )  \ 
o ) )
4123difeq1i 3532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  i^i  S ) 
\  o )  =  ( ( S  i^i  X )  \  o )
42 indif2 3666 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  ( ( S  i^i  X )  \  o )
43 incom 3605 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
)
4441, 42, 433eqtr2i 2417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  S ) 
\  o )  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
)
4540, 44syl6eq 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  A  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )
46 ineq1 3607 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( X  \ 
o )  ->  (
x  i^i  S )  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )
4746eqeq2d 2396 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( X  \ 
o )  ->  ( A  =  ( x  i^i  S )  <->  A  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
) ) )
4847rspcev 3135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) )
4922, 45, 48syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) )
5049ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  A  C_  S
)  /\  o  e.  J )  ->  (
( S  \  A
)  =  ( o  i^i  S )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) ) )
5150rexlimdva 2874 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  ->  ( E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S )  ->  E. x  e.  (
Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
5251expimpd 601 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
5318, 52sylbid 215 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) ) )
54 difindi 3677 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  =  ( ( S  \  x )  u.  ( S  \  S ) )
5531uneq2i 3569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  x )  u.  ( S  \  S ) )  =  ( ( S  \  x )  u.  (/) )
56 un0 3737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  x )  u.  (/) )  =  ( S  \  x )
5754, 55, 563eqtri 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  =  ( S  \  x
)
58 difin2 3685 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  \  x )  =  ( ( X  \  x )  i^i  S
) )
5958adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  x
)  =  ( ( X  \  x )  i^i  S ) )
6057, 59syl5eq 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  (
x  i^i  S )
)  =  ( ( X  \  x )  i^i  S ) )
6160adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  =  ( ( X  \  x
)  i^i  S )
)
62 simpll 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  J  e.  Top )
635adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  S  e.  _V )
642cldopn 19617 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  x )  e.  J
)
6564adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( X  \  x )  e.  J
)
66 elrestr 14836 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V  /\  ( X  \  x )  e.  J )  ->  (
( X  \  x
)  i^i  S )  e.  ( Jt  S ) )
6762, 63, 65, 66syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( X 
\  x )  i^i 
S )  e.  ( Jt  S ) )
6861, 67eqeltrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) )
69 inss2 3633 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  S )  C_  S
7068, 69jctil 535 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( x  i^i  S )  C_  S  /\  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) ) )
71 sseq1 3438 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  ( A  C_  S  <->  ( x  i^i  S )  C_  S
) )
72 difeq2 3530 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  ( S  \  A )  =  ( S  \  (
x  i^i  S )
) )
7372eleq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  (
( S  \  A
)  e.  ( Jt  S )  <->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) ) )
7471, 73anbi12d 708 . . . . 5  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  (
( A  C_  S  /\  ( S  \  A
)  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( (
x  i^i  S )  C_  S  /\  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7570, 74syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( A  =  ( x  i^i  S
)  ->  ( A  C_  S  /\  ( S 
\  A )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7675rexlimdva 2874 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S )  ->  ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7753, 76impbid 191 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
7810, 15, 773bitr2d 281 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   U.cuni 4163   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   ↾t crest 14828   Topctop 19479   Clsdccld 19602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-fin 7439  df-fi 7786  df-rest 14830  df-topgen 14851  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-cld 19605
This theorem is referenced by:  restcldi  19760  restcldr  19761  restcls  19768  consubclo  20010  cldllycmp  20081
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