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Theorem restbas 20251
Description: A subspace topology basis is a basis.  Y is normally a subset of the base set of  J. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restbas  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )

Proof of Theorem restbas
Dummy variables  a 
b  c  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrest 15404 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
a  e.  ( Bt  A )  <->  E. u  e.  B  a  =  ( u  i^i  A ) ) )
2 elrest 15404 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
b  e.  ( Bt  A )  <->  E. v  e.  B  b  =  ( v  i^i  A ) ) )
31, 2anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
( a  e.  ( Bt  A )  /\  b  e.  ( Bt  A ) )  <->  ( E. u  e.  B  a  =  ( u  i^i 
A )  /\  E. v  e.  B  b  =  ( v  i^i 
A ) ) ) )
4 reeanv 2944 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  B  E. v  e.  B  (
a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  <->  ( E. u  e.  B  a  =  ( u  i^i 
A )  /\  E. v  e.  B  b  =  ( v  i^i 
A ) ) )
53, 4syl6bbr 271 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
( a  e.  ( Bt  A )  /\  b  e.  ( Bt  A ) )  <->  E. u  e.  B  E. v  e.  B  ( a  =  ( u  i^i 
A )  /\  b  =  ( v  i^i 
A ) ) ) )
6 simplll 776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  B  e.  TopBases )
7 simplrl 778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  u  e.  B )
8 simplrr 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  -> 
v  e.  B )
9 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  v )  i^i  A )  C_  ( u  i^i  v
)
10 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  -> 
c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )
119, 10sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  -> 
c  e.  ( u  i^i  v ) )
12 basis2 20043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  B )  /\  ( v  e.  B  /\  c  e.  (
u  i^i  v )
) )  ->  E. z  e.  B  ( c  e.  z  /\  z  C_  ( u  i^i  v
) ) )
136, 7, 8, 11, 12syl22anc 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  E. z  e.  B  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) )
14 simplll 776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )
)
1514simpld 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  ->  B  e.  TopBases )
1614simprd 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  ->  A  e.  _V )
17 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
z  e.  B )
18 elrestr 15405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V  /\  z  e.  B )  ->  (
z  i^i  A )  e.  ( Bt  A ) )
1915, 16, 17, 18syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  e.  ( Bt  A ) )
20 simprrl 782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  z )
21 inss2 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  v )  i^i  A )  C_  A
22 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )
2321, 22sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  A )
2420, 23elind 3609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  ( z  i^i  A ) )
25 simprrr 783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
z  C_  ( u  i^i  v ) )
26 ssrin 3648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
z  i^i  A )  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  C_  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )
28 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( z  i^i 
A )  ->  (
c  e.  w  <->  c  e.  ( z  i^i  A
) ) )
29 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( z  i^i 
A )  ->  (
w  C_  ( (
u  i^i  v )  i^i  A )  <->  ( z  i^i  A )  C_  (
( u  i^i  v
)  i^i  A )
) )
3028, 29anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( z  i^i 
A )  ->  (
( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )  <-> 
( c  e.  ( z  i^i  A )  /\  ( z  i^i 
A )  C_  (
( u  i^i  v
)  i^i  A )
) ) )
3130rspcev 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  e.  ( Bt  A )  /\  ( c  e.  ( z  i^i 
A )  /\  (
z  i^i  A )  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )  ->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
3219, 24, 27, 31syl12anc 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  ->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
3313, 32rexlimddv 2875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
3433ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  A. c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
35 ineq12 3620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( a  i^i  b
)  =  ( ( u  i^i  A )  i^i  ( v  i^i 
A ) ) )
36 inindir 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  v )  i^i  A )  =  ( ( u  i^i 
A )  i^i  (
v  i^i  A )
)
3735, 36syl6eqr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( a  i^i  b
)  =  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )
3837sseq2d 3446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( w  C_  (
a  i^i  b )  <->  w 
C_  ( ( u  i^i  v )  i^i 
A ) ) )
3938anbi2d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) )  <->  ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) ) )
4039rexbidv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) )  <->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) ) )
4137, 40raleqbidv 2987 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) )  <->  A. c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) ) )
4234, 41syl5ibrcom 230 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  (
( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  ->  A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
4342rexlimdvva 2878 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. u  e.  B  E. v  e.  B  ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  ->  A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
445, 43sylbid 223 . . . 4  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
( a  e.  ( Bt  A )  /\  b  e.  ( Bt  A ) )  ->  A. c  e.  (
a  i^i  b ) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
4544ralrimivv 2813 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  A. a  e.  ( Bt  A ) A. b  e.  ( Bt  A ) A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) )
46 ovex 6336 . . . 4  |-  ( Bt  A )  e.  _V
47 isbasis2g 20040 . . . 4  |-  ( ( Bt  A )  e.  _V  ->  ( ( Bt  A )  e.  TopBases 
<-> 
A. a  e.  ( Bt  A ) A. b  e.  ( Bt  A ) A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
4846, 47ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( Bt  A )  e.  TopBases  <->  A. a  e.  ( Bt  A ) A. b  e.  ( Bt  A ) A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) )
4945, 48sylibr 217 . 2  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )
50 relxp 4947 . . . . . 6  |-  Rel  ( _V  X.  _V )
51 restfn 15401 . . . . . . . 8  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
52 fndm 5685 . . . . . . . 8  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
5453releqi 4923 . . . . . 6  |-  ( Rel 
domt  <->  Rel  ( _V  X.  _V ) )
5550, 54mpbir 214 . . . . 5  |-  Rel  domt
5655ovprc2 6340 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Bt  A )  =  (/) )
5756adantl 473 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Bt  A )  =  (/) )
58 fi0 7952 . . . 4  |-  ( fi
`  (/) )  =  (/)
59 fibas 20070 . . . 4  |-  ( fi
`  (/) )  e.  TopBases
6058, 59eqeltrri 2546 . . 3  |-  (/)  e.  TopBases
6157, 60syl6eqel 2557 . 2  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )
6249, 61pm2.61dan 808 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722    X. cxp 4837   dom cdm 4839   Rel wrel 4844    Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ficfi 7942   ↾t crest 15397   TopBasesctb 19997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-bases 19999
This theorem is referenced by:  resttop  20253  2ndcrest  20546
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