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Theorem restbas 18604
Description: A subspace topology basis is a basis. Y is normally a subset of the base set of J. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restbas |- ( B e. TopBases -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
Proof of Theorem restbas
Dummy variables a b c u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrest 14349 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( a e. ( B ↾t A ) <-> E. u e. B a = ( u i^i A ) ) )
2 elrest 14349 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( b e. ( B ↾t A ) <-> E. v e. B b = ( v i^i A ) ) )
31, 2anbi12d 703 . . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) <-> ( E. u e. B a = ( u i^i A ) /\ E. v e. B b = ( v i^i A ) ) ) )
4 reeanv 2878 . . . . . 6 |- ( E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) <-> ( E. u e. B a = ( u i^i A ) /\ E. v e. B b = ( v i^i A ) ) )
53, 4syl6bbr 263 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) <-> E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) ) )
6 simplll 750 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> B e. TopBases )
7 simplrl 752 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> u e. B )
8 simplrr 753 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> v e. B )
9 inss1 3558 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) C_ ( u i^i v )
10 simpr 458 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) )
119, 10sseldi 3342 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> c e. ( u i^i v ) )
12 basis2 18398 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. TopBases /\ u e. B ) /\ ( v e. B /\ c e. ( u i^i v ) ) ) -> E. z e. B ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) )
136, 7, 8, 11, 12syl22anc 1212 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> E. z e. B ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) )
14 simplll 750 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( B e. TopBases /\ A e. _V ) )
1514simpld 456 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> B e. TopBases )
1614simprd 460 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> A e. _V )
17 simprl 748 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> z e. B )
18 elrestr 14350 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V /\ z e. B ) -> ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
1915, 16, 17, 18syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
20 simprrl 756 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. z )
21 inss2 3559 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) C_ A
22 simplr 747 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) )
2321, 22sseldi 3342 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. A )
2420, 23elind 3528 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. ( z i^i A ) )
25 simprrr 757 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> z C_ ( u i^i v ) )
26 ssrin 3563 . . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ ( u i^i v ) -> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) )
28 eleq2 2494 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( c e. w <-> c e. ( z i^i A ) ) )
29 sseq1 3365 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) <-> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3028, 29anbi12d 703 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) <-> ( c e. ( z i^i A ) /\ ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
3130rspcev 3062 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) /\ ( c e. ( z i^i A ) /\ ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3219, 24, 27, 31syl12anc 1209 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3313, 32rexlimddv 2835 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3433ralrimiva 2789 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> A. c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
35 ineq12 3535 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( a i^i b ) = ( ( u i^i A ) i^i ( v i^i A ) ) )
36 inindir 3556 . . . . . . . . 9 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) = ( ( u i^i A ) i^i ( v i^i A ) )
3735, 36syl6eqr 2483 . . . . . . . 8 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( a i^i b ) = ( ( u i^i v ) i^i A ) )
3837sseq2d 3372 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( w C_ ( a i^i b ) <-> w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3938anbi2d 696 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4039rexbidv 2726 . . . . . . . 8 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4137, 40raleqbidv 2921 . . . . . . 7 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> A. c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4234, 41syl5ibrcom 222 . . . . . 6 |- ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4342rexlimdvva 2838 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
445, 43sylbid 215 . . . 4 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4544ralrimivv 2797 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) )
46 ovex 6105 . . . 4 |- ( B ↾t A ) e. _V
47 isbasis2g 18395 . . . 4 |- ( ( B ↾t A ) e. _V -> ( ( B ↾t A ) e. TopBases <-> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4846, 47ax-mp 5 . . 3 |- ( ( B ↾t A ) e. TopBases <-> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) )
4945, 48sylibr 212 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
50 relxp 4934 . . . . . 6 |- Rel ( _V X. _V )
51 restfn 14346 . . . . . . . 8 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
52 fndm 5498 . . . . . . . 8 |- ( ↾t Fn ( _V X. _V ) -> dom ↾t = ( _V X. _V ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7 |- dom ↾t = ( _V X. _V )
5453releqi 4910 . . . . . 6 |- ( Rel dom ↾t <-> Rel ( _V X. _V ) )
5550, 54mpbir 209 . . . . 5 |- Rel dom ↾t
5655ovprc2 6109 . . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( B ↾t A ) = (/) )
5756adantl 463 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ -. A e. _V ) -> ( B ↾t A ) = (/) )
58 fi0 7658 . . . 4 |- ( fi ` (/) ) = (/)
59 fibas 18424 . . . 4 |- ( fi ` (/) ) e. TopBases
6058, 59eqeltrri 2504 . . 3 |- (/) e. TopBases
6157, 60syl6eqel 2521 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ -. A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
6249, 61pm2.61dan 782 1 |- ( B e. TopBases -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962   i^i cin 3315   C_ wss 3316   (/)c0 3625   X. cxp 4825   dom cdm 4827   Rel wrel 4832   Fn wfn 5401   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   ficfi 7648   ↾t crest 14342   TopBasesctb 18344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-fin 7302  df-fi 7649  df-rest 14344  df-bases 18347
This theorem is referenced by:  resttop  18606  2ndcrest  18900
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