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Theorem restbas 20251
Description: A subspace topology basis is a basis. Y is normally a subset of the base set of J. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restbas |- ( B e. TopBases -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
Proof of Theorem restbas
Dummy variables a b c u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrest 15404 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( a e. ( B ↾t A ) <-> E. u e. B a = ( u i^i A ) ) )
2 elrest 15404 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( b e. ( B ↾t A ) <-> E. v e. B b = ( v i^i A ) ) )
31, 2anbi12d 725 . . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) <-> ( E. u e. B a = ( u i^i A ) /\ E. v e. B b = ( v i^i A ) ) ) )
4 reeanv 2944 . . . . . 6 |- ( E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) <-> ( E. u e. B a = ( u i^i A ) /\ E. v e. B b = ( v i^i A ) ) )
53, 4syl6bbr 271 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) <-> E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) ) )
6 simplll 776 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> B e. TopBases )
7 simplrl 778 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> u e. B )
8 simplrr 779 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> v e. B )
9 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) C_ ( u i^i v )
10 simpr 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) )
119, 10sseldi 3416 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> c e. ( u i^i v ) )
12 basis2 20043 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. TopBases /\ u e. B ) /\ ( v e. B /\ c e. ( u i^i v ) ) ) -> E. z e. B ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) )
136, 7, 8, 11, 12syl22anc 1293 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> E. z e. B ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) )
14 simplll 776 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( B e. TopBases /\ A e. _V ) )
1514simpld 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> B e. TopBases )
1614simprd 470 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> A e. _V )
17 simprl 772 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> z e. B )
18 elrestr 15405 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V /\ z e. B ) -> ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
1915, 16, 17, 18syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
20 simprrl 782 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. z )
21 inss2 3644 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) C_ A
22 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) )
2321, 22sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. A )
2420, 23elind 3609 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. ( z i^i A ) )
25 simprrr 783 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> z C_ ( u i^i v ) )
26 ssrin 3648 . . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ ( u i^i v ) -> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) )
28 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( c e. w <-> c e. ( z i^i A ) ) )
29 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) <-> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3028, 29anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) <-> ( c e. ( z i^i A ) /\ ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
3130rspcev 3136 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) /\ ( c e. ( z i^i A ) /\ ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3219, 24, 27, 31syl12anc 1290 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3313, 32rexlimddv 2875 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3433ralrimiva 2809 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> A. c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
35 ineq12 3620 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( a i^i b ) = ( ( u i^i A ) i^i ( v i^i A ) ) )
36 inindir 3641 . . . . . . . . 9 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) = ( ( u i^i A ) i^i ( v i^i A ) )
3735, 36syl6eqr 2523 . . . . . . . 8 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( a i^i b ) = ( ( u i^i v ) i^i A ) )
3837sseq2d 3446 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( w C_ ( a i^i b ) <-> w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3938anbi2d 718 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4039rexbidv 2892 . . . . . . . 8 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4137, 40raleqbidv 2987 . . . . . . 7 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> A. c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4234, 41syl5ibrcom 230 . . . . . 6 |- ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4342rexlimdvva 2878 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
445, 43sylbid 223 . . . 4 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4544ralrimivv 2813 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) )
46 ovex 6336 . . . 4 |- ( B ↾t A ) e. _V
47 isbasis2g 20040 . . . 4 |- ( ( B ↾t A ) e. _V -> ( ( B ↾t A ) e. TopBases <-> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4846, 47ax-mp 5 . . 3 |- ( ( B ↾t A ) e. TopBases <-> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) )
4945, 48sylibr 217 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
50 relxp 4947 . . . . . 6 |- Rel ( _V X. _V )
51 restfn 15401 . . . . . . . 8 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
52 fndm 5685 . . . . . . . 8 |- ( ↾t Fn ( _V X. _V ) -> dom ↾t = ( _V X. _V ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7 |- dom ↾t = ( _V X. _V )
5453releqi 4923 . . . . . 6 |- ( Rel dom ↾t <-> Rel ( _V X. _V ) )
5550, 54mpbir 214 . . . . 5 |- Rel dom ↾t
5655ovprc2 6340 . . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( B ↾t A ) = (/) )
5756adantl 473 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ -. A e. _V ) -> ( B ↾t A ) = (/) )
58 fi0 7952 . . . 4 |- ( fi ` (/) ) = (/)
59 fibas 20070 . . . 4 |- ( fi ` (/) ) e. TopBases
6058, 59eqeltrri 2546 . . 3 |- (/) e. TopBases
6157, 60syl6eqel 2557 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ -. A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
6249, 61pm2.61dan 808 1 |- ( B e. TopBases -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   X. cxp 4837   dom cdm 4839   Rel wrel 4844   Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ficfi 7942   ↾t crest 15397   TopBasesctb 19997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-bases 19999
This theorem is referenced by:  resttop  20253  2ndcrest  20546
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