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Theorem restbas 20174
Description: A subspace topology basis is a basis.  Y is normally a subset of the base set of  J. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restbas  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )

Proof of Theorem restbas
Dummy variables  a 
b  c  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrest 15326 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
a  e.  ( Bt  A )  <->  E. u  e.  B  a  =  ( u  i^i  A ) ) )
2 elrest 15326 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
b  e.  ( Bt  A )  <->  E. v  e.  B  b  =  ( v  i^i  A ) ) )
31, 2anbi12d 717 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
( a  e.  ( Bt  A )  /\  b  e.  ( Bt  A ) )  <->  ( E. u  e.  B  a  =  ( u  i^i 
A )  /\  E. v  e.  B  b  =  ( v  i^i 
A ) ) ) )
4 reeanv 2958 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  B  E. v  e.  B  (
a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  <->  ( E. u  e.  B  a  =  ( u  i^i 
A )  /\  E. v  e.  B  b  =  ( v  i^i 
A ) ) )
53, 4syl6bbr 267 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
( a  e.  ( Bt  A )  /\  b  e.  ( Bt  A ) )  <->  E. u  e.  B  E. v  e.  B  ( a  =  ( u  i^i 
A )  /\  b  =  ( v  i^i 
A ) ) ) )
6 simplll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  B  e.  TopBases )
7 simplrl 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  u  e.  B )
8 simplrr 771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  -> 
v  e.  B )
9 inss1 3652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  v )  i^i  A )  C_  ( u  i^i  v
)
10 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  -> 
c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )
119, 10sseldi 3430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  -> 
c  e.  ( u  i^i  v ) )
12 basis2 19966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  B )  /\  ( v  e.  B  /\  c  e.  (
u  i^i  v )
) )  ->  E. z  e.  B  ( c  e.  z  /\  z  C_  ( u  i^i  v
) ) )
136, 7, 8, 11, 12syl22anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  E. z  e.  B  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) )
14 simplll 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )
)
1514simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  ->  B  e.  TopBases )
1614simprd 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  ->  A  e.  _V )
17 simprl 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
z  e.  B )
18 elrestr 15327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V  /\  z  e.  B )  ->  (
z  i^i  A )  e.  ( Bt  A ) )
1915, 16, 17, 18syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  e.  ( Bt  A ) )
20 simprrl 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  z )
21 inss2 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  v )  i^i  A )  C_  A
22 simplr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )
2321, 22sseldi 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  A )
2420, 23elind 3618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  ( z  i^i  A ) )
25 simprrr 775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
z  C_  ( u  i^i  v ) )
26 ssrin 3657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
z  i^i  A )  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  C_  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )
28 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( z  i^i 
A )  ->  (
c  e.  w  <->  c  e.  ( z  i^i  A
) ) )
29 sseq1 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( z  i^i 
A )  ->  (
w  C_  ( (
u  i^i  v )  i^i  A )  <->  ( z  i^i  A )  C_  (
( u  i^i  v
)  i^i  A )
) )
3028, 29anbi12d 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( z  i^i 
A )  ->  (
( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )  <-> 
( c  e.  ( z  i^i  A )  /\  ( z  i^i 
A )  C_  (
( u  i^i  v
)  i^i  A )
) ) )
3130rspcev 3150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  e.  ( Bt  A )  /\  ( c  e.  ( z  i^i 
A )  /\  (
z  i^i  A )  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )  ->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
3219, 24, 27, 31syl12anc 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  ->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
3313, 32rexlimddv 2883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
3433ralrimiva 2802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  A. c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
35 ineq12 3629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( a  i^i  b
)  =  ( ( u  i^i  A )  i^i  ( v  i^i 
A ) ) )
36 inindir 3650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  v )  i^i  A )  =  ( ( u  i^i 
A )  i^i  (
v  i^i  A )
)
3735, 36syl6eqr 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( a  i^i  b
)  =  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )
3837sseq2d 3460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( w  C_  (
a  i^i  b )  <->  w 
C_  ( ( u  i^i  v )  i^i 
A ) ) )
3938anbi2d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) )  <->  ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) ) )
4039rexbidv 2901 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) )  <->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) ) )
4137, 40raleqbidv 3001 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) )  <->  A. c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) ) )
4234, 41syl5ibrcom 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  (
( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  ->  A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
4342rexlimdvva 2886 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. u  e.  B  E. v  e.  B  ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  ->  A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
445, 43sylbid 219 . . . 4  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
( a  e.  ( Bt  A )  /\  b  e.  ( Bt  A ) )  ->  A. c  e.  (
a  i^i  b ) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
4544ralrimivv 2808 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  A. a  e.  ( Bt  A ) A. b  e.  ( Bt  A ) A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) )
46 ovex 6318 . . . 4  |-  ( Bt  A )  e.  _V
47 isbasis2g 19963 . . . 4  |-  ( ( Bt  A )  e.  _V  ->  ( ( Bt  A )  e.  TopBases 
<-> 
A. a  e.  ( Bt  A ) A. b  e.  ( Bt  A ) A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
4846, 47ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( Bt  A )  e.  TopBases  <->  A. a  e.  ( Bt  A ) A. b  e.  ( Bt  A ) A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) )
4945, 48sylibr 216 . 2  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )
50 relxp 4942 . . . . . 6  |-  Rel  ( _V  X.  _V )
51 restfn 15323 . . . . . . . 8  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
52 fndm 5675 . . . . . . . 8  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
5453releqi 4918 . . . . . 6  |-  ( Rel 
domt  <->  Rel  ( _V  X.  _V ) )
5550, 54mpbir 213 . . . . 5  |-  Rel  domt
5655ovprc2 6322 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Bt  A )  =  (/) )
5756adantl 468 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Bt  A )  =  (/) )
58 fi0 7934 . . . 4  |-  ( fi
`  (/) )  =  (/)
59 fibas 19993 . . . 4  |-  ( fi
`  (/) )  e.  TopBases
6058, 59eqeltrri 2526 . . 3  |-  (/)  e.  TopBases
6157, 60syl6eqel 2537 . 2  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )
6249, 61pm2.61dan 800 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731    X. cxp 4832   dom cdm 4834   Rel wrel 4839    Fn wfn 5577   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ficfi 7924   ↾t crest 15319   TopBasesctb 19920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-bases 19922
This theorem is referenced by:  resttop  20176  2ndcrest  20469
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