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Theorem restbas 17176
Description: A subspace topology basis is a basis. Y is normally a subset of the base set of J. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restbas |- ( B e. TopBases -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
Proof of Theorem restbas
Dummy variables a b c u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrest 13610 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( a e. ( B ↾t A ) <-> E. u e. B a = ( u i^i A ) ) )
2 elrest 13610 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( b e. ( B ↾t A ) <-> E. v e. B b = ( v i^i A ) ) )
31, 2anbi12d 692 . . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) <-> ( E. u e. B a = ( u i^i A ) /\ E. v e. B b = ( v i^i A ) ) ) )
4 reeanv 2835 . . . . . 6 |- ( E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) <-> ( E. u e. B a = ( u i^i A ) /\ E. v e. B b = ( v i^i A ) ) )
53, 4syl6bbr 255 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) <-> E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) ) )
6 simplll 735 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> B e. TopBases )
7 simplrl 737 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> u e. B )
8 simplrr 738 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> v e. B )
9 inss1 3521 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) C_ ( u i^i v )
10 simpr 448 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) )
119, 10sseldi 3306 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> c e. ( u i^i v ) )
12 basis2 16971 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. TopBases /\ u e. B ) /\ ( v e. B /\ c e. ( u i^i v ) ) ) -> E. z e. B ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) )
136, 7, 8, 11, 12syl22anc 1185 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> E. z e. B ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) )
14 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( B e. TopBases /\ A e. _V ) )
1514simpld 446 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> B e. TopBases )
1614simprd 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> A e. _V )
17 simprl 733 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> z e. B )
18 elrestr 13611 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V /\ z e. B ) -> ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
1915, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
20 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. z )
21 inss2 3522 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) C_ A
22 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) )
2321, 22sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. A )
24 elin 3490 . . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( z i^i A ) <-> ( c e. z /\ c e. A ) )
2520, 23, 24sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. ( z i^i A ) )
26 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> z C_ ( u i^i v ) )
27 ssrin 3526 . . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ ( u i^i v ) -> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) )
29 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( c e. w <-> c e. ( z i^i A ) ) )
30 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) <-> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3129, 30anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) <-> ( c e. ( z i^i A ) /\ ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
3231rspcev 3012 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) /\ ( c e. ( z i^i A ) /\ ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3319, 25, 28, 32syl12anc 1182 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3413, 33rexlimddv 2794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3534ralrimiva 2749 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> A. c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
36 ineq12 3497 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( a i^i b ) = ( ( u i^i A ) i^i ( v i^i A ) ) )
37 inindir 3519 . . . . . . . . 9 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) = ( ( u i^i A ) i^i ( v i^i A ) )
3836, 37syl6eqr 2454 . . . . . . . 8 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( a i^i b ) = ( ( u i^i v ) i^i A ) )
3938sseq2d 3336 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( w C_ ( a i^i b ) <-> w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
4039anbi2d 685 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4140rexbidv 2687 . . . . . . . 8 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4238, 41raleqbidv 2876 . . . . . . 7 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> A. c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4335, 42syl5ibrcom 214 . . . . . 6 |- ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4443rexlimdvva 2797 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
455, 44sylbid 207 . . . 4 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4645ralrimivv 2757 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) )
47 ovex 6065 . . . 4 |- ( B ↾t A ) e. _V
48 isbasis2g 16968 . . . 4 |- ( ( B ↾t A ) e. _V -> ( ( B ↾t A ) e. TopBases <-> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4947, 48ax-mp 8 . . 3 |- ( ( B ↾t A ) e. TopBases <-> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) )
5046, 49sylibr 204 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
51 relxp 4942 . . . . . 6 |- Rel ( _V X. _V )
52 restfn 13607 . . . . . . . 8 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
53 fndm 5503 . . . . . . . 8 |- ( ↾t Fn ( _V X. _V ) -> dom ↾t = ( _V X. _V ) )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . 7 |- dom ↾t = ( _V X. _V )
5554releqi 4919 . . . . . 6 |- ( Rel dom ↾t <-> Rel ( _V X. _V ) )
5651, 55mpbir 201 . . . . 5 |- Rel dom ↾t
5756ovprc2 6069 . . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( B ↾t A ) = (/) )
5857adantl 453 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ -. A e. _V ) -> ( B ↾t A ) = (/) )
59 fi0 7383 . . . 4 |- ( fi ` (/) ) = (/)
60 fibas 16997 . . . 4 |- ( fi ` (/) ) e. TopBases
6159, 60eqeltrri 2475 . . 3 |- (/) e. TopBases
6258, 61syl6eqel 2492 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ -. A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
6350, 62pm2.61dan 767 1 |- ( B e. TopBases -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   X. cxp 4835   dom cdm 4837   Rel wrel 4842   Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ficfi 7373   ↾t crest 13603   TopBasesctb 16917
This theorem is referenced by:  resttop  17178  2ndcrest  17470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-bases 16920
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