MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rest0 Structured version   Unicode version

Theorem rest0 18906
Description: The subspace topology induced by the topology  J on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rest0  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )

Proof of Theorem rest0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4531 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 restval 14485 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( Jt  (/) )  =  ran  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  ran  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) )
4 in0 3772 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  (/) )  =  (/)
51elsnc2 4017 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  (/) )  e. 
{ (/) }  <->  ( x  i^i  (/) )  =  (/) )
64, 5mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  (/) )  e.  { (/)
}
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( x  i^i  (/) )  e. 
{ (/) } )
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )
97, 8fmptd 5977 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) : J --> { (/) } )
10 frn 5674 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) : J --> { (/) }  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )  C_  {
(/) } )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) 
C_  { (/) } )
123, 11eqsstrd 3499 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  C_  { (/) } )
13 resttop 18897 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( Jt  (/) )  e.  Top )
141, 13mpan2 671 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  e.  Top )
15 0opn 18650 . . . 4  |-  ( ( Jt  (/) )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Jt  (/) ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  ( Jt  (/) ) )
1716snssd 4127 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  { (/) } 
C_  ( Jt  (/) ) )
1812, 17eqssd 3482 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3746   {csn 3986    |-> cmpt 4459   ran crn 4950   -->wf 5523  (class class class)co 6201   ↾t crest 14479   Topctop 18631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-fin 7425  df-fi 7773  df-rest 14481  df-topgen 14502  df-top 18636  df-bases 18638
This theorem is referenced by:  fiuncmp  19140  xkouni  19305  icccmp  20535
  Copyright terms: Public domain W3C validator