MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rest0 Structured version   Unicode version

Theorem rest0 19837
Description: The subspace topology induced by the topology  J on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rest0  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )

Proof of Theorem rest0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4569 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 restval 14916 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( Jt  (/) )  =  ran  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) )
31, 2mpan2 669 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  ran  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) )
4 in0 3810 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  (/) )  =  (/)
51elsnc2 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  (/) )  e. 
{ (/) }  <->  ( x  i^i  (/) )  =  (/) )
64, 5mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  (/) )  e.  { (/)
}
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( x  i^i  (/) )  e. 
{ (/) } )
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )
97, 8fmptd 6031 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) : J --> { (/) } )
10 frn 5719 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) : J --> { (/) }  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )  C_  {
(/) } )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) 
C_  { (/) } )
123, 11eqsstrd 3523 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  C_  { (/) } )
13 resttop 19828 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( Jt  (/) )  e.  Top )
141, 13mpan2 669 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  e.  Top )
15 0opn 19580 . . . 4  |-  ( ( Jt  (/) )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Jt  (/) ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  ( Jt  (/) ) )
1716snssd 4161 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  { (/) } 
C_  ( Jt  (/) ) )
1812, 17eqssd 3506 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016    |-> cmpt 4497   ran crn 4989   -->wf 5566  (class class class)co 6270   ↾t crest 14910   Topctop 19561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-top 19566  df-bases 19568
This theorem is referenced by:  fiuncmp  20071  xkouni  20266  icccmp  21496  cncfiooicc  31936
  Copyright terms: Public domain W3C validator