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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ressxms | Structured version Unicode version |
Description: The restriction of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) |
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ressxms |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2454 |
. . . . . 6
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2 | eqid 2454 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | xmsxmet 20162 |
. . . . 5
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4 | 3 | adantr 465 |
. . . 4
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5 | xmetres 20070 |
. . . 4
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6 | 4, 5 | syl 16 |
. . 3
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7 | resres 5230 |
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8 | inxp 5079 |
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9 | 8 | reseq2i 5214 |
. . . . 5
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10 | 7, 9 | eqtri 2483 |
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11 | eqid 2454 |
. . . . . . 7
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12 | eqid 2454 |
. . . . . . 7
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13 | 11, 12 | ressds 14470 |
. . . . . 6
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14 | 13 | adantl 466 |
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15 | incom 3650 |
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16 | 11, 1 | ressbas 14346 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | adantl 466 |
. . . . . . 7
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18 | 15, 17 | syl5eq 2507 |
. . . . . 6
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19 | 18, 18 | xpeq12d 4972 |
. . . . 5
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20 | 14, 19 | reseq12d 5218 |
. . . 4
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21 | 10, 20 | syl5eq 2507 |
. . 3
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22 | 18 | fveq2d 5802 |
. . 3
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23 | 6, 21, 22 | 3eltr3d 2556 |
. 2
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24 | eqid 2454 |
. . . . . . 7
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25 | 24, 1, 2 | xmstopn 20157 |
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26 | 25 | adantr 465 |
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27 | 26 | oveq1d 6214 |
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28 | inss1 3677 |
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29 | xpss12 5052 |
. . . . . . . . 9
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30 | 28, 28, 29 | mp2an 672 |
. . . . . . . 8
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31 | resabs1 5246 |
. . . . . . . 8
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32 | 30, 31 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
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33 | 10, 32 | eqtr4i 2486 |
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34 | eqid 2454 |
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35 | eqid 2454 |
. . . . . 6
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36 | 33, 34, 35 | metrest 20230 |
. . . . 5
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37 | 4, 28, 36 | sylancl 662 |
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38 | 27, 37 | eqtrd 2495 |
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39 | xmstps 20159 |
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40 | 1, 24 | tpsuni 18674 |
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41 | 39, 40 | syl 16 |
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42 | 41 | adantr 465 |
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43 | 42 | ineq2d 3659 |
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44 | 15, 43 | syl5eq 2507 |
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45 | 44 | oveq2d 6215 |
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46 | 1, 24 | istps 18672 |
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48 | eqid 2454 |
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49 | 48 | restin 18901 |
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50 | 47, 49 | sylan 471 |
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51 | 45, 50 | eqtr4d 2498 |
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52 | 21 | fveq2d 5802 |
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53 | 38, 51, 52 | 3eqtr3d 2503 |
. 2
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54 | 11, 24 | resstopn 18921 |
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55 | eqid 2454 |
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56 | eqid 2454 |
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57 | 54, 55, 56 | isxms2 20154 |
. 2
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58 | 23, 53, 57 | sylanbrc 664 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-rep 4510 ax-sep 4520 ax-nul 4528 ax-pow 4577 ax-pr 4638 ax-un 6481 ax-cnex 9448 ax-resscn 9449 ax-1cn 9450 ax-icn 9451 ax-addcl 9452 ax-addrcl 9453 ax-mulcl 9454 ax-mulrcl 9455 ax-mulcom 9456 ax-addass 9457 ax-mulass 9458 ax-distr 9459 ax-i2m1 9460 ax-1ne0 9461 ax-1rid 9462 ax-rnegex 9463 ax-rrecex 9464 ax-cnre 9465 ax-pre-lttri 9466 ax-pre-lttrn 9467 ax-pre-ltadd 9468 ax-pre-mulgt0 9469 ax-pre-sup 9470 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2649 df-nel 2650 df-ral 2803 df-rex 2804 df-reu 2805 df-rmo 2806 df-rab 2807 df-v 3078 df-sbc 3293 df-csb 3395 df-dif 3438 df-un 3440 df-in 3442 df-ss 3449 df-pss 3451 df-nul 3745 df-if 3899 df-pw 3969 df-sn 3985 df-pr 3987 df-tp 3989 df-op 3991 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4400 df-opab 4458 df-mpt 4459 df-tr 4493 df-eprel 4739 df-id 4743 df-po 4748 df-so 4749 df-fr 4786 df-we 4788 df-ord 4829 df-on 4830 df-lim 4831 df-suc 4832 df-xp 4953 df-rel 4954 df-cnv 4955 df-co 4956 df-dm 4957 df-rn 4958 df-res 4959 df-ima 4960 df-iota 5488 df-fun 5527 df-fn 5528 df-f 5529 df-f1 5530 df-fo 5531 df-f1o 5532 df-fv 5533 df-riota 6160 df-ov 6202 df-oprab 6203 df-mpt2 6204 df-om 6586 df-1st 6686 df-2nd 6687 df-recs 6941 df-rdg 6975 df-er 7210 df-map 7325 df-en 7420 df-dom 7421 df-sdom 7422 df-sup 7801 df-pnf 9530 df-mnf 9531 df-xr 9532 df-ltxr 9533 df-le 9534 df-sub 9707 df-neg 9708 df-div 10104 df-nn 10433 df-2 10490 df-3 10491 df-4 10492 df-5 10493 df-6 10494 df-7 10495 df-8 10496 df-9 10497 df-10 10498 df-n0 10690 df-z 10757 df-dec 10866 df-uz 10972 df-q 11064 df-rp 11102 df-xneg 11199 df-xadd 11200 df-xmul 11201 df-ndx 14294 df-slot 14295 df-base 14296 df-sets 14297 df-ress 14298 df-tset 14375 df-ds 14378 df-rest 14479 df-topn 14480 df-topgen 14500 df-psmet 17933 df-xmet 17934 df-bl 17936 df-mopn 17937 df-top 18634 df-bases 18636 df-topon 18637 df-topsp 18638 df-xms 20026 |
This theorem is referenced by: ressms 20232 qqhcn 26564 qqhucn 26565 |
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