MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressust Structured version   Unicode version

Theorem ressust 19851
Description: The uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ressust.x  |-  X  =  ( Base `  W
)
ressust.t  |-  T  =  (UnifSt `  ( Ws  A
) )
Assertion
Ref Expression
ressust  |-  ( ( W  e. UnifSp  /\  A  C_  X )  ->  T  e.  (UnifOn `  A )
)

Proof of Theorem ressust
StepHypRef Expression
1 ressust.t . . 3  |-  T  =  (UnifSt `  ( Ws  A
) )
2 ressust.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  W
)
3 fvex 5713 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  e.  _V
42, 3eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
54ssex 4448 . . . . 5  |-  ( A 
C_  X  ->  A  e.  _V )
65adantl 466 . . . 4  |-  ( ( W  e. UnifSp  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  _V )
7 ressuss 19850 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (UnifSt `  ( Ws  A ) )  =  ( (UnifSt `  W
)t  ( A  X.  A
) ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. UnifSp  /\  A  C_  X )  ->  (UnifSt `  ( Ws  A ) )  =  ( (UnifSt `  W
)t  ( A  X.  A
) ) )
91, 8syl5eq 2487 . 2  |-  ( ( W  e. UnifSp  /\  A  C_  X )  ->  T  =  ( (UnifSt `  W )t  ( A  X.  A ) ) )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  (UnifSt `  W )  =  (UnifSt `  W )
11 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  W )  =  (
TopOpen `  W )
122, 10, 11isusp 19848 . . . 4  |-  ( W  e. UnifSp 
<->  ( (UnifSt `  W
)  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( TopOpen
`  W )  =  (unifTop `  (UnifSt `  W
) ) ) )
1312simplbi 460 . . 3  |-  ( W  e. UnifSp  ->  (UnifSt `  W )  e.  (UnifOn `  X )
)
14 trust 19816 . . 3  |-  ( ( (UnifSt `  W )  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( (UnifSt `  W )t  ( A  X.  A ) )  e.  (UnifOn `  A )
)
1513, 14sylan 471 . 2  |-  ( ( W  e. UnifSp  /\  A  C_  X )  ->  (
(UnifSt `  W )t  ( A  X.  A ) )  e.  (UnifOn `  A
) )
169, 15eqeltrd 2517 1  |-  ( ( W  e. UnifSp  /\  A  C_  X )  ->  T  e.  (UnifOn `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984    C_ wss 3340    X. cxp 4850   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   ↾s cress 14187   ↾t crest 14371   TopOpenctopn 14372  UnifOncust 19786  unifTopcutop 19817  UnifStcuss 19840  UnifSpcusp 19841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-unif 14273  df-rest 14373  df-ust 19787  df-uss 19843  df-usp 19844
This theorem is referenced by:  ucnextcn  19891
  Copyright terms: Public domain W3C validator