Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressusp Structured version   Unicode version

Theorem ressusp 21278
 Description: The restriction of a uniform topological space to an open set is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressusp.1
ressusp.2
Assertion
Ref Expression
ressusp UnifSp s UnifSp

Proof of Theorem ressusp
StepHypRef Expression
1 ressuss 21276 . . . . 5 UnifSts UnifStt
213ad2ant3 1028 . . . 4 UnifSp UnifSts UnifStt
3 simp1 1005 . . . . . . 7 UnifSp UnifSp
4 ressusp.1 . . . . . . . 8
5 eqid 2422 . . . . . . . 8 UnifSt UnifSt
6 ressusp.2 . . . . . . . 8
74, 5, 6isusp 21274 . . . . . . 7 UnifSp UnifSt UnifOn unifTopUnifSt
83, 7sylib 199 . . . . . 6 UnifSp UnifSt UnifOn unifTopUnifSt
98simpld 460 . . . . 5 UnifSp UnifSt UnifOn
10 simp2 1006 . . . . . . 7 UnifSp
114, 6istps 19949 . . . . . . 7 TopOn
1210, 11sylib 199 . . . . . 6 UnifSp TopOn
13 simp3 1007 . . . . . 6 UnifSp
14 toponss 19942 . . . . . 6 TopOn
1512, 13, 14syl2anc 665 . . . . 5 UnifSp
16 trust 21242 . . . . 5 UnifSt UnifOn UnifStt UnifOn
179, 15, 16syl2anc 665 . . . 4 UnifSp UnifStt UnifOn
182, 17eqeltrd 2507 . . 3 UnifSp UnifSts UnifOn
19 eqid 2422 . . . . . 6 s s
2019, 4ressbas2 15179 . . . . 5 s
2115, 20syl 17 . . . 4 UnifSp s
2221fveq2d 5885 . . 3 UnifSp UnifOn UnifOns
2318, 22eleqtrd 2509 . 2 UnifSp UnifSts UnifOns
248simprd 464 . . . . 5 UnifSp unifTopUnifSt
2513, 24eleqtrd 2509 . . . 4 UnifSp unifTopUnifSt
26 restutopopn 21251 . . . 4 UnifSt UnifOn unifTopUnifSt unifTopUnifStt unifTopUnifStt
279, 25, 26syl2anc 665 . . 3 UnifSp unifTopUnifStt unifTopUnifStt
2824oveq1d 6320 . . 3 UnifSp t unifTopUnifStt
292fveq2d 5885 . . 3 UnifSp unifTopUnifSts unifTopUnifStt
3027, 28, 293eqtr4d 2473 . 2 UnifSp t unifTopUnifSts
31 eqid 2422 . . 3 s s
32 eqid 2422 . . 3 UnifSts UnifSts
3319, 6resstopn 20200 . . 3 t s
3431, 32, 33isusp 21274 . 2 s UnifSp UnifSts UnifOns t unifTopUnifSts
3523, 30, 34sylanbrc 668 1 UnifSp s UnifSp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wss 3436   cxp 4851  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15120   ↾s cress 15121   ↾t crest 15318  ctopn 15319  TopOnctopon 19916  ctps 19917  UnifOncust 21212  unifTopcutop 21243  UnifStcuss 21266  UnifSpcusp 21267 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-tset 15208  df-unif 15212  df-rest 15320  df-topn 15321  df-top 19919  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-ust 21213  df-utop 21244  df-uss 21269  df-usp 21270 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator