MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resstps Structured version   Unicode version

Theorem resstps 19470
Description: A restricted topological space is a topological space. Note that this theorem would not be true if  TopSp was defined directly in terms of the TopSet slot instead of the  TopOpen derived function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resstps  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  ( Ks  A )  e.  TopSp )

Proof of Theorem resstps
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
31, 2istps 19220 . . . 4  |-  ( K  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K ) ) )
4 resttopon2 19451 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K ) )  /\  A  e.  V )  ->  ( ( TopOpen `  K
)t 
A )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  ( Base `  K ) ) ) )
53, 4sylanb 472 . . 3  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  (
( TopOpen `  K )t  A
)  e.  (TopOn `  ( A  i^i  ( Base `  K ) ) ) )
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Ks  A )  =  ( Ks  A )
76, 1ressbas 14544 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  K
) )  =  (
Base `  ( Ks  A
) ) )
87adantl 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  ( Base `  K
) )  =  (
Base `  ( Ks  A
) ) )
98fveq2d 5869 . . 3  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  (TopOn `  ( A  i^i  ( Base `  K ) ) )  =  (TopOn `  ( Base `  ( Ks  A
) ) ) )
105, 9eleqtrd 2557 . 2  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  (
( TopOpen `  K )t  A
)  e.  (TopOn `  ( Base `  ( Ks  A
) ) ) )
11 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) )
126, 2resstopn 19469 . . 3  |-  ( (
TopOpen `  K )t  A )  =  ( TopOpen `  ( Ks  A ) )
1311, 12istps 19220 . 2  |-  ( ( Ks  A )  e.  TopSp  <->  (
( TopOpen `  K )t  A
)  e.  (TopOn `  ( Base `  ( Ks  A
) ) ) )
1410, 13sylibr 212 1  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  ( Ks  A )  e.  TopSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3475   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   ↾s cress 14490   ↾t crest 14675   TopOpenctopn 14676  TopOnctopon 19178   TopSpctps 19180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7870  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-tset 14573  df-rest 14677  df-topn 14678  df-topgen 14698  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186
This theorem is referenced by:  submtmd  20354  tsmssubm  20395  xrge0tsms  21090  xrge0tsmsd  27454  xrge0tps  27576
  Copyright terms: Public domain W3C validator