MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resstps Structured version   Unicode version

Theorem resstps 18789
Description: A restricted topological space is a topological space. Note that this theorem would not be true if  TopSp was defined directly in terms of the TopSet slot instead of the  TopOpen derived function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resstps  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  ( Ks  A )  e.  TopSp )

Proof of Theorem resstps
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
31, 2istps 18539 . . . 4  |-  ( K  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K ) ) )
4 resttopon2 18770 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K ) )  /\  A  e.  V )  ->  ( ( TopOpen `  K
)t 
A )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  ( Base `  K ) ) ) )
53, 4sylanb 472 . . 3  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  (
( TopOpen `  K )t  A
)  e.  (TopOn `  ( A  i^i  ( Base `  K ) ) ) )
6 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Ks  A )  =  ( Ks  A )
76, 1ressbas 14226 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  K
) )  =  (
Base `  ( Ks  A
) ) )
87adantl 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  ( Base `  K
) )  =  (
Base `  ( Ks  A
) ) )
98fveq2d 5693 . . 3  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  (TopOn `  ( A  i^i  ( Base `  K ) ) )  =  (TopOn `  ( Base `  ( Ks  A
) ) ) )
105, 9eleqtrd 2517 . 2  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  (
( TopOpen `  K )t  A
)  e.  (TopOn `  ( Base `  ( Ks  A
) ) ) )
11 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) )
126, 2resstopn 18788 . . 3  |-  ( (
TopOpen `  K )t  A )  =  ( TopOpen `  ( Ks  A ) )
1311, 12istps 18539 . 2  |-  ( ( Ks  A )  e.  TopSp  <->  (
( TopOpen `  K )t  A
)  e.  (TopOn `  ( Base `  ( Ks  A
) ) ) )
1410, 13sylibr 212 1  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  A  e.  V )  ->  ( Ks  A )  e.  TopSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3325   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   ↾s cress 14173   ↾t crest 14357   TopOpenctopn 14358  TopOnctopon 18497   TopSpctps 18499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fi 7659  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-tset 14255  df-rest 14359  df-topn 14360  df-topgen 14380  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505
This theorem is referenced by:  submtmd  19673  tsmssubm  19714  xrge0tsms  20409  xrge0tsmsd  26251  xrge0tps  26370
  Copyright terms: Public domain W3C validator