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Theorem resstos 26261
Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resstos  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e. Toset )

Proof of Theorem resstos
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tospos 26259 . . 3  |-  ( F  e. Toset  ->  F  e.  Poset )
2 resspos 26260 . . 3  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )
31, 2sylan 471 . 2  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )
4 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( Fs  A )  =  ( Fs  A )
5 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
64, 5ressbas 14342 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  =  (
Base `  ( Fs  A
) ) )
7 inss2 3674 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  C_  ( Base `  F )
86, 7syl6eqssr 3510 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
98adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
10 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( le
`  F )  =  ( le `  F
)
115, 10istos 15319 . . . . . 6  |-  ( F  e. Toset 
<->  ( F  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1211simprbi 464 . . . . 5  |-  ( F  e. Toset  ->  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
14 ssralv 3519 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F
) y  \/  y
( le `  F
) x ) ) )
15 ssralv 3519 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1615ralimdv 2831 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F
) y  \/  y
( le `  F
) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1714, 16syld 44 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
189, 13, 17sylc 60 . . 3  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
194, 10ressle 14452 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
2019breqd 4406 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x ( le `  F ) y  <->  x ( le `  ( Fs  A ) ) y ) )
2119breqd 4406 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
y ( le `  F ) x  <->  y ( le `  ( Fs  A ) ) x ) )
2220, 21orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x ( le
`  F ) y  \/  y ( le
`  F ) x )  <->  ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le `  ( Fs  A ) ) x ) ) )
23222ralbidv 2873 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
2423adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
2518, 24mpbid 210 . 2  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) )
26 eqid 2452 . . 3  |-  ( Base `  ( Fs  A ) )  =  ( Base `  ( Fs  A ) )
27 eqid 2452 . . 3  |-  ( le
`  ( Fs  A ) )  =  ( le
`  ( Fs  A ) )
2826, 27istos 15319 . 2  |-  ( ( Fs  A )  e. Toset  <->  ( ( Fs  A )  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
293, 25, 28sylanbrc 664 1  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e. Toset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1758   A.wral 2796    i^i cin 3430    C_ wss 3431   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   ↾s cress 14288   lecple 14359   Posetcpo 15224  Tosetctos 15317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-ple 14372  df-poset 15230  df-toset 15318
This theorem is referenced by:  submomnd  26313  submarchi  26343
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