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Theorem resstos 27514
Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resstos  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e. Toset )

Proof of Theorem resstos
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tospos 27512 . . 3  |-  ( F  e. Toset  ->  F  e.  Poset )
2 resspos 27513 . . 3  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )
31, 2sylan 471 . 2  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )
4 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Fs  A )  =  ( Fs  A )
5 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
64, 5ressbas 14559 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  =  (
Base `  ( Fs  A
) ) )
7 inss2 3701 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  C_  ( Base `  F )
86, 7syl6eqssr 3537 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
98adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
10 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( le
`  F )  =  ( le `  F
)
115, 10istos 15534 . . . . . 6  |-  ( F  e. Toset 
<->  ( F  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1211simprbi 464 . . . . 5  |-  ( F  e. Toset  ->  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
14 ssralv 3546 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F
) y  \/  y
( le `  F
) x ) ) )
15 ssralv 3546 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1615ralimdv 2851 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F
) y  \/  y
( le `  F
) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1714, 16syld 44 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
189, 13, 17sylc 60 . . 3  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
194, 10ressle 14669 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
2019breqd 4444 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x ( le `  F ) y  <->  x ( le `  ( Fs  A ) ) y ) )
2119breqd 4444 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
y ( le `  F ) x  <->  y ( le `  ( Fs  A ) ) x ) )
2220, 21orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x ( le
`  F ) y  \/  y ( le
`  F ) x )  <->  ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le `  ( Fs  A ) ) x ) ) )
23222ralbidv 2885 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
2423adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
2518, 24mpbid 210 . 2  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) )
26 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  ( Fs  A ) )  =  ( Base `  ( Fs  A ) )
27 eqid 2441 . . 3  |-  ( le
`  ( Fs  A ) )  =  ( le
`  ( Fs  A ) )
2826, 27istos 15534 . 2  |-  ( ( Fs  A )  e. Toset  <->  ( ( Fs  A )  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
293, 25, 28sylanbrc 664 1  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e. Toset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1802   A.wral 2791    i^i cin 3457    C_ wss 3458   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   ↾s cress 14505   lecple 14576   Posetcpo 15438  Tosetctos 15532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-ple 14589  df-poset 15444  df-toset 15533
This theorem is referenced by:  submomnd  27566  submarchi  27596
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