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Theorem resstos 27885
Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resstos  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e. Toset )

Proof of Theorem resstos
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tospos 27883 . . 3  |-  ( F  e. Toset  ->  F  e.  Poset )
2 resspos 27884 . . 3  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )
31, 2sylan 469 . 2  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )
4 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Fs  A )  =  ( Fs  A )
5 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
64, 5ressbas 14776 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  =  (
Base `  ( Fs  A
) ) )
7 inss2 3705 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  C_  ( Base `  F )
86, 7syl6eqssr 3540 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
98adantl 464 . . . 4  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
10 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( le
`  F )  =  ( le `  F
)
115, 10istos 15867 . . . . . 6  |-  ( F  e. Toset 
<->  ( F  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1211simprbi 462 . . . . 5  |-  ( F  e. Toset  ->  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
1312adantr 463 . . . 4  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
14 ssralv 3550 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F
) y  \/  y
( le `  F
) x ) ) )
15 ssralv 3550 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1615ralimdv 2864 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F
) y  \/  y
( le `  F
) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1714, 16syld 44 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
189, 13, 17sylc 60 . . 3  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
194, 10ressle 14891 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
2019breqd 4450 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x ( le `  F ) y  <->  x ( le `  ( Fs  A ) ) y ) )
2119breqd 4450 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
y ( le `  F ) x  <->  y ( le `  ( Fs  A ) ) x ) )
2220, 21orbi12d 707 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x ( le
`  F ) y  \/  y ( le
`  F ) x )  <->  ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le `  ( Fs  A ) ) x ) ) )
23222ralbidv 2898 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
2423adantl 464 . . 3  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
2518, 24mpbid 210 . 2  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) )
26 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  ( Fs  A ) )  =  ( Base `  ( Fs  A ) )
27 eqid 2454 . . 3  |-  ( le
`  ( Fs  A ) )  =  ( le
`  ( Fs  A ) )
2826, 27istos 15867 . 2  |-  ( ( Fs  A )  e. Toset  <->  ( ( Fs  A )  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
293, 25, 28sylanbrc 662 1  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e. Toset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    e. wcel 1823   A.wral 2804    i^i cin 3460    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   ↾s cress 14720   lecple 14794   Posetcpo 15771  Tosetctos 15865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-ple 14807  df-poset 15777  df-toset 15866
This theorem is referenced by:  submomnd  27937  submarchi  27967
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