MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resstopn Structured version   Unicode version

Theorem resstopn 19980
Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resstopn.1  |-  H  =  ( Ks  A )
resstopn.2  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
Assertion
Ref Expression
resstopn  |-  ( Jt  A )  =  ( TopOpen `  H )

Proof of Theorem resstopn
StepHypRef Expression
1 fvex 5859 . . . . 5  |-  (TopSet `  K )  e.  _V
2 fvex 5859 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3 restco 19958 . . . . 5  |-  ( ( (TopSet `  K )  e.  _V  /\  ( Base `  K )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) ) )
41, 2, 3mp3an12 1316 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (TopSet `  K
)t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) ) )
5 resstopn.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( Ks  A )
6 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
75, 6resstset 15006 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  H ) )
8 incom 3632 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  K )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( Base `  K ) )
9 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
105, 9ressbas 14898 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  ( Base `  K
) )  =  (
Base `  H )
)
118, 10syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( Base `  K )  i^i  A )  =  (
Base `  H )
)
127, 11oveq12d 6296 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
(TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) )  =  ( (TopSet `  H
)t  ( Base `  H
) ) )
134, 12eqtrd 2443 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (TopSet `  K
)t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H ) ) )
149, 6topnval 15049 . . . . 5  |-  ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )  =  (
TopOpen `  K )
15 resstopn.2 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
1614, 15eqtr4i 2434 . . . 4  |-  ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )  =  J
1716oveq1i 6288 . . 3  |-  ( ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K ) )t  A )  =  ( Jt  A )
18 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
19 eqid 2402 . . . 4  |-  (TopSet `  H )  =  (TopSet `  H )
2018, 19topnval 15049 . . 3  |-  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H
) )  =  (
TopOpen `  H )
2113, 17, 203eqtr3g 2466 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (
TopOpen `  H ) )
22 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
2322con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
24 restfn 15039 . . . . . 6  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
25 fndm 5661 . . . . . 6  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
2726ndmov 6440 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
2823, 27syl 17 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
29 reldmress 14894 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
3029ovprc2 6310 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ks  A )  =  (/) )
315, 30syl5eq 2455 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  H  =  (/) )
3231fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (TopSet `  H )  =  (TopSet `  (/) ) )
33 df-tset 14928 . . . . . . 7  |- TopSet  = Slot  9
3433str0 14881 . . . . . 6  |-  (/)  =  (TopSet `  (/) )
3532, 34syl6eqr 2461 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (TopSet `  H )  =  (/) )
3635oveq1d 6293 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H ) )  =  ( (/)t  ( Base `  H
) ) )
37 0rest 15044 . . . 4  |-  ( (/)t  ( Base `  H ) )  =  (/)
3836, 20, 373eqtr3g 2466 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
TopOpen `  H )  =  (/) )
3928, 38eqtr4d 2446 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (
TopOpen `  H ) )
4021, 39pm2.61i 164 1  |-  ( Jt  A )  =  ( TopOpen `  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    i^i cin 3413   (/)c0 3738    X. cxp 4821   dom cdm 4823    Fn wfn 5564   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   9c9 10633   Basecbs 14841   ↾s cress 14842  TopSetcts 14915   ↾t crest 15035   TopOpenctopn 15036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-tset 14928  df-rest 15037  df-topn 15038
This theorem is referenced by:  resstps  19981  submtmd  20895  subgtgp  20896  tsmssubm  20936  invrcn2  20974  ressusp  21060  ressxms  21320  ressms  21321  nrgtdrg  21493  tgioo3  21602  dfii4  21680  retopn  22103  xrge0topn  28378  lmxrge0  28387
  Copyright terms: Public domain W3C validator