MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resstopn Structured version   Unicode version

Theorem resstopn 19450
Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resstopn.1  |-  H  =  ( Ks  A )
resstopn.2  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
Assertion
Ref Expression
resstopn  |-  ( Jt  A )  =  ( TopOpen `  H )

Proof of Theorem resstopn
StepHypRef Expression
1 fvex 5874 . . . . 5  |-  (TopSet `  K )  e.  _V
2 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3 restco 19428 . . . . 5  |-  ( ( (TopSet `  K )  e.  _V  /\  ( Base `  K )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) ) )
41, 2, 3mp3an12 1314 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (TopSet `  K
)t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) ) )
5 resstopn.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( Ks  A )
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
75, 6resstset 14641 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  H ) )
8 incom 3691 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  K )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( Base `  K ) )
9 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
105, 9ressbas 14538 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  ( Base `  K
) )  =  (
Base `  H )
)
118, 10syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( Base `  K )  i^i  A )  =  (
Base `  H )
)
127, 11oveq12d 6300 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
(TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) )  =  ( (TopSet `  H
)t  ( Base `  H
) ) )
134, 12eqtrd 2508 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (TopSet `  K
)t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H ) ) )
149, 6topnval 14683 . . . . 5  |-  ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )  =  (
TopOpen `  K )
15 resstopn.2 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
1614, 15eqtr4i 2499 . . . 4  |-  ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )  =  J
1716oveq1i 6292 . . 3  |-  ( ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K ) )t  A )  =  ( Jt  A )
18 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
19 eqid 2467 . . . 4  |-  (TopSet `  H )  =  (TopSet `  H )
2018, 19topnval 14683 . . 3  |-  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H
) )  =  (
TopOpen `  H )
2113, 17, 203eqtr3g 2531 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (
TopOpen `  H ) )
22 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
2322con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
24 restfn 14673 . . . . . 6  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
25 fndm 5678 . . . . . 6  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
2726ndmov 6441 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
2823, 27syl 16 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
29 reldmress 14534 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
3029ovprc2 6311 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ks  A )  =  (/) )
315, 30syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  H  =  (/) )
3231fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (TopSet `  H )  =  (TopSet `  (/) ) )
33 df-tset 14567 . . . . . . 7  |- TopSet  = Slot  9
3433str0 14521 . . . . . 6  |-  (/)  =  (TopSet `  (/) )
3532, 34syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (TopSet `  H )  =  (/) )
3635oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H ) )  =  ( (/)t  ( Base `  H
) ) )
37 0rest 14678 . . . 4  |-  ( (/)t  ( Base `  H ) )  =  (/)
3836, 20, 373eqtr3g 2531 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
TopOpen `  H )  =  (/) )
3928, 38eqtr4d 2511 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (
TopOpen `  H ) )
4021, 39pm2.61i 164 1  |-  ( Jt  A )  =  ( TopOpen `  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    i^i cin 3475   (/)c0 3785    X. cxp 4997   dom cdm 4999    Fn wfn 5581   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   9c9 10588   Basecbs 14483   ↾s cress 14484  TopSetcts 14554   ↾t crest 14669   TopOpenctopn 14670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-tset 14567  df-rest 14671  df-topn 14672
This theorem is referenced by:  resstps  19451  submtmd  20335  subgtgp  20336  tsmssubm  20376  invrcn2  20414  ressusp  20500  ressxms  20760  ressms  20761  nrgtdrg  20933  tgioo3  21042  dfii4  21120  retopn  21543  xrge0topn  27558  lmxrge0  27567
  Copyright terms: Public domain W3C validator