MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resstopn Structured version   Unicode version

Theorem resstopn 19665
Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resstopn.1  |-  H  =  ( Ks  A )
resstopn.2  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
Assertion
Ref Expression
resstopn  |-  ( Jt  A )  =  ( TopOpen `  H )

Proof of Theorem resstopn
StepHypRef Expression
1 fvex 5866 . . . . 5  |-  (TopSet `  K )  e.  _V
2 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3 restco 19643 . . . . 5  |-  ( ( (TopSet `  K )  e.  _V  /\  ( Base `  K )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) ) )
41, 2, 3mp3an12 1315 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (TopSet `  K
)t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) ) )
5 resstopn.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( Ks  A )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
75, 6resstset 14772 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  H ) )
8 incom 3676 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  K )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( Base `  K ) )
9 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
105, 9ressbas 14669 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  ( Base `  K
) )  =  (
Base `  H )
)
118, 10syl5eq 2496 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( Base `  K )  i^i  A )  =  (
Base `  H )
)
127, 11oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
(TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) )  =  ( (TopSet `  H
)t  ( Base `  H
) ) )
134, 12eqtrd 2484 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (TopSet `  K
)t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H ) ) )
149, 6topnval 14814 . . . . 5  |-  ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )  =  (
TopOpen `  K )
15 resstopn.2 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
1614, 15eqtr4i 2475 . . . 4  |-  ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )  =  J
1716oveq1i 6291 . . 3  |-  ( ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K ) )t  A )  =  ( Jt  A )
18 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
19 eqid 2443 . . . 4  |-  (TopSet `  H )  =  (TopSet `  H )
2018, 19topnval 14814 . . 3  |-  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H
) )  =  (
TopOpen `  H )
2113, 17, 203eqtr3g 2507 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (
TopOpen `  H ) )
22 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
2322con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
24 restfn 14804 . . . . . 6  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
25 fndm 5670 . . . . . 6  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
2726ndmov 6444 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
2823, 27syl 16 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
29 reldmress 14665 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
3029ovprc2 6313 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ks  A )  =  (/) )
315, 30syl5eq 2496 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  H  =  (/) )
3231fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (TopSet `  H )  =  (TopSet `  (/) ) )
33 df-tset 14698 . . . . . . 7  |- TopSet  = Slot  9
3433str0 14652 . . . . . 6  |-  (/)  =  (TopSet `  (/) )
3532, 34syl6eqr 2502 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (TopSet `  H )  =  (/) )
3635oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H ) )  =  ( (/)t  ( Base `  H
) ) )
37 0rest 14809 . . . 4  |-  ( (/)t  ( Base `  H ) )  =  (/)
3836, 20, 373eqtr3g 2507 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
TopOpen `  H )  =  (/) )
3928, 38eqtr4d 2487 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (
TopOpen `  H ) )
4021, 39pm2.61i 164 1  |-  ( Jt  A )  =  ( TopOpen `  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    i^i cin 3460   (/)c0 3770    X. cxp 4987   dom cdm 4989    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   9c9 10599   Basecbs 14614   ↾s cress 14615  TopSetcts 14685   ↾t crest 14800   TopOpenctopn 14801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-tset 14698  df-rest 14802  df-topn 14803
This theorem is referenced by:  resstps  19666  submtmd  20581  subgtgp  20582  tsmssubm  20622  invrcn2  20660  ressusp  20746  ressxms  21006  ressms  21007  nrgtdrg  21179  tgioo3  21288  dfii4  21366  retopn  21789  xrge0topn  27903  lmxrge0  27912
  Copyright terms: Public domain W3C validator