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Theorem resssetc 14960
Description: The restriction of the category of sets to a subset is the category of sets in the subset. Thus, the  SetCat `
 U categories for different  U are full subcategories of each other. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
resssetc.d  |-  D  =  ( SetCat `  V )
resssetc.1  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
resssetc.2  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
Assertion
Ref Expression
resssetc  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )

Proof of Theorem resssetc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resssetc.d . . . . . 6  |-  D  =  ( SetCat `  V )
2 resssetc.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
3 resssetc.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
42, 3ssexd 4439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  e.  _V )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
7 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
8 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  V )
91, 5, 6, 7, 8setchom 14948 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  D ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
10 resssetc.c . . . . . 6  |-  C  =  ( SetCat `  U )
112adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  U  e.  W )
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
133adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  C_  U )
1413, 7sseldd 3357 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  U )
1513, 8sseldd 3357 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  U )
1610, 11, 12, 14, 15setchom 14948 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  C ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
17 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Cs  V )  =  ( Cs  V )
1817, 12resshom 14357 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) ) )
194, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  C
)  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) ) )
2019proplem3 14629 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  C ) y )  =  ( x ( Hom  `  ( Cs  V
) ) y ) )
219, 16, 203eqtr2rd 2482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D
) y ) )
2221ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x ( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D
) y ) )
23 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Hom  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) )
2410, 2setcbas 14946 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
253, 24sseqtrd 3392 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  C_  ( Base `  C ) )
26 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2717, 26ressbas2 14229 . . . . 5  |-  ( V 
C_  ( Base `  C
)  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V
) ) )
2825, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V ) ) )
291, 4setcbas 14946 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  D ) )
3023, 6, 28, 29homfeq 14633 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x
( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D )
y ) ) )
3122, 30mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D ) )
324ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  e.  _V )
33 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
34 simplr1 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  V )
35 simplr2 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  V )
36 simplr3 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  V )
37 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) )
381, 32, 6, 34, 35elsetchom 14949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  <-> 
f : x --> y ) )
3937, 38mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f :
x --> y )
40 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z ) )
411, 32, 6, 35, 36elsetchom 14949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z )  <-> 
g : y --> z ) )
4240, 41mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g :
y --> z )
431, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 42setcco 14951 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
442ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  U  e.  W )
45 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
463ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  C_  U
)
4746, 34sseldd 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  U )
4846, 35sseldd 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  U )
4946, 36sseldd 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  U )
5010, 44, 45, 47, 48, 49, 39, 42setcco 14951 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
5117, 45ressco 14358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  _V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
524, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V
) ) )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  (comp `  C
)  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
5453oveqd 6108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z )  =  ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) )
5554oveqd 6108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5643, 50, 553eqtr2d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5756ralrimivva 2808 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  A. f  e.  (
x ( Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
( Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5857ralrimivvva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  (
x ( Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
( Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
59 eqid 2443 . . . . 5  |-  (comp `  ( Cs  V ) )  =  (comp `  ( Cs  V
) )
6031eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  D )  =  ( Hom f  `  ( Cs  V ) ) )
6133, 59, 6, 29, 28, 60comfeq 14645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) A. g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) f ) ) )
6258, 61mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) ) )
6362eqcomd 2448 . 2  |-  ( ph  ->  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) )
6431, 63jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   <.cop 3883    o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   Hom chom 14249  compcco 14250   Hom f chomf 14604  compfccomf 14605   SetCatcsetc 14943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-hom 14262  df-cco 14263  df-homf 14608  df-comf 14609  df-setc 14944
This theorem is referenced by:  funcsetcres2  14961
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