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Theorem resssetc 15289
Description: The restriction of the category of sets to a subset is the category of sets in the subset. Thus, the  SetCat `
 U categories for different  U are full subcategories of each other. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
resssetc.d  |-  D  =  ( SetCat `  V )
resssetc.1  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
resssetc.2  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
Assertion
Ref Expression
resssetc  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )

Proof of Theorem resssetc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resssetc.d . . . . . 6  |-  D  =  ( SetCat `  V )
2 resssetc.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
3 resssetc.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
42, 3ssexd 4599 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  e.  _V )
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
7 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
8 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  V )
91, 5, 6, 7, 8setchom 15277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  D ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
10 resssetc.c . . . . . 6  |-  C  =  ( SetCat `  U )
112adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  U  e.  W )
12 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
133adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  C_  U )
1413, 7sseldd 3510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  U )
1513, 8sseldd 3510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  U )
1610, 11, 12, 14, 15setchom 15277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  C ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
17 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Cs  V )  =  ( Cs  V )
1817, 12resshom 14686 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) ) )
194, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  C
)  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) ) )
2019proplem3 14958 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  C ) y )  =  ( x ( Hom  `  ( Cs  V
) ) y ) )
219, 16, 203eqtr2rd 2515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D
) y ) )
2221ralrimivva 2888 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x ( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D
) y ) )
23 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Hom  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) )
2410, 2setcbas 15275 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
253, 24sseqtrd 3545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  C_  ( Base `  C ) )
26 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2717, 26ressbas2 14558 . . . . 5  |-  ( V 
C_  ( Base `  C
)  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V
) ) )
2825, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V ) ) )
291, 4setcbas 15275 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  D ) )
3023, 6, 28, 29homfeq 14962 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x
( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D )
y ) ) )
3122, 30mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D ) )
324ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  e.  _V )
33 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
34 simplr1 1038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  V )
35 simplr2 1039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  V )
36 simplr3 1040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  V )
37 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) )
381, 32, 6, 34, 35elsetchom 15278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  <-> 
f : x --> y ) )
3937, 38mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f :
x --> y )
40 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z ) )
411, 32, 6, 35, 36elsetchom 15278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z )  <-> 
g : y --> z ) )
4240, 41mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g :
y --> z )
431, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 42setcco 15280 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
442ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  U  e.  W )
45 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
463ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  C_  U
)
4746, 34sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  U )
4846, 35sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  U )
4946, 36sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  U )
5010, 44, 45, 47, 48, 49, 39, 42setcco 15280 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
5117, 45ressco 14687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  _V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
524, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V
) ) )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  (comp `  C
)  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
5453oveqd 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z )  =  ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) )
5554oveqd 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5643, 50, 553eqtr2d 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5756ralrimivva 2888 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  A. f  e.  (
x ( Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
( Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5857ralrimivvva 2889 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  (
x ( Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
( Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
59 eqid 2467 . . . . 5  |-  (comp `  ( Cs  V ) )  =  (comp `  ( Cs  V
) )
6031eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  D )  =  ( Hom f  `  ( Cs  V ) ) )
6133, 59, 6, 29, 28, 60comfeq 14974 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) A. g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) f ) ) )
6258, 61mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) ) )
6362eqcomd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) )
6431, 63jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   <.cop 4038    o. ccom 5008   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    ^m cmap 7430   Basecbs 14502   ↾s cress 14503   Hom chom 14578  compcco 14579   Hom f chomf 14933  compfccomf 14934   SetCatcsetc 15272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-hom 14591  df-cco 14592  df-homf 14937  df-comf 14938  df-setc 15273
This theorem is referenced by:  funcsetcres2  15290
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