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Theorem resssetc 14956
Description: The restriction of the category of sets to a subset is the category of sets in the subset. Thus, the  SetCat `
 U categories for different  U are full subcategories of each other. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
resssetc.d  |-  D  =  ( SetCat `  V )
resssetc.1  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
resssetc.2  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
Assertion
Ref Expression
resssetc  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )

Proof of Theorem resssetc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resssetc.d . . . . . 6  |-  D  =  ( SetCat `  V )
2 resssetc.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
3 resssetc.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
42, 3ssexd 4436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
54adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  e.  _V )
6 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
7 simprl 750 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
8 simprr 751 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  V )
91, 5, 6, 7, 8setchom 14944 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  D ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
10 resssetc.c . . . . . 6  |-  C  =  ( SetCat `  U )
112adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  U  e.  W )
12 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
133adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  C_  U )
1413, 7sseldd 3354 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  U )
1513, 8sseldd 3354 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  U )
1610, 11, 12, 14, 15setchom 14944 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  C ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
17 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Cs  V )  =  ( Cs  V )
1817, 12resshom 14353 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) ) )
194, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  C
)  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) ) )
2019proplem3 14625 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  C ) y )  =  ( x ( Hom  `  ( Cs  V
) ) y ) )
219, 16, 203eqtr2rd 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D
) y ) )
2221ralrimivva 2806 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x ( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D
) y ) )
23 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Hom  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) )
2410, 2setcbas 14942 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
253, 24sseqtrd 3389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  C_  ( Base `  C ) )
26 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2717, 26ressbas2 14225 . . . . 5  |-  ( V 
C_  ( Base `  C
)  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V
) ) )
2825, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V ) ) )
291, 4setcbas 14942 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  D ) )
3023, 6, 28, 29homfeq 14629 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x
( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D )
y ) ) )
3122, 30mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D ) )
324ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  e.  _V )
33 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
34 simplr1 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  V )
35 simplr2 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  V )
36 simplr3 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  V )
37 simprl 750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) )
381, 32, 6, 34, 35elsetchom 14945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  <-> 
f : x --> y ) )
3937, 38mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f :
x --> y )
40 simprr 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z ) )
411, 32, 6, 35, 36elsetchom 14945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z )  <-> 
g : y --> z ) )
4240, 41mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g :
y --> z )
431, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 42setcco 14947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
442ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  U  e.  W )
45 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
463ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  C_  U
)
4746, 34sseldd 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  U )
4846, 35sseldd 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  U )
4946, 36sseldd 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  U )
5010, 44, 45, 47, 48, 49, 39, 42setcco 14947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
5117, 45ressco 14354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  _V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
524, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V
) ) )
5352ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  (comp `  C
)  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
5453oveqd 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z )  =  ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) )
5554oveqd 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5643, 50, 553eqtr2d 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5756ralrimivva 2806 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  A. f  e.  (
x ( Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
( Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5857ralrimivvva 2807 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  (
x ( Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
( Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
59 eqid 2441 . . . . 5  |-  (comp `  ( Cs  V ) )  =  (comp `  ( Cs  V
) )
6031eqcomd 2446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  D )  =  ( Hom f  `  ( Cs  V ) ) )
6133, 59, 6, 29, 28, 60comfeq 14641 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) A. g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) f ) ) )
6258, 61mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) ) )
6362eqcomd 2446 . 2  |-  ( ph  ->  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) )
6431, 63jca 529 1  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   <.cop 3880    o. ccom 4840   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   Basecbs 14170   ↾s cress 14171   Hom chom 14245  compcco 14246   Hom f chomf 14600  compfccomf 14601   SetCatcsetc 14939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-hom 14258  df-cco 14259  df-homf 14604  df-comf 14605  df-setc 14940
This theorem is referenced by:  funcsetcres2  14957
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