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Theorem resssetc 15293
Description: The restriction of the category of sets to a subset is the category of sets in the subset. Thus, the  SetCat `
 U categories for different  U are full subcategories of each other. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
resssetc.d  |-  D  =  ( SetCat `  V )
resssetc.1  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
resssetc.2  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
Assertion
Ref Expression
resssetc  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )

Proof of Theorem resssetc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resssetc.d . . . . . 6  |-  D  =  ( SetCat `  V )
2 resssetc.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
3 resssetc.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
42, 3ssexd 4584 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  e.  _V )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
7 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
8 simprr 757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  V )
91, 5, 6, 7, 8setchom 15281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  D ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
10 resssetc.c . . . . . 6  |-  C  =  ( SetCat `  U )
112adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  U  e.  W )
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
133adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  C_  U )
1413, 7sseldd 3490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  U )
1513, 8sseldd 3490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  U )
1610, 11, 12, 14, 15setchom 15281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  C ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
17 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Cs  V )  =  ( Cs  V )
1817, 12resshom 14693 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) ) )
194, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  C
)  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) ) )
2019oveqdr 6305 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  C ) y )  =  ( x ( Hom  `  ( Cs  V
) ) y ) )
219, 16, 203eqtr2rd 2491 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x ( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D
) y ) )
2221ralrimivva 2864 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x ( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D
) y ) )
23 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Hom  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom  `  ( Cs  V ) )
2410, 2setcbas 15279 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
253, 24sseqtrd 3525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  C_  ( Base `  C ) )
26 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2717, 26ressbas2 14565 . . . . 5  |-  ( V 
C_  ( Base `  C
)  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V
) ) )
2825, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V ) ) )
291, 4setcbas 15279 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  D ) )
3023, 6, 28, 29homfeq 14966 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x
( Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x ( Hom  `  D )
y ) ) )
3122, 30mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D ) )
324ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  e.  _V )
33 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
34 simplr1 1039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  V )
35 simplr2 1040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  V )
36 simplr3 1041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  V )
37 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) )
381, 32, 6, 34, 35elsetchom 15282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  <-> 
f : x --> y ) )
3937, 38mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f :
x --> y )
40 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z ) )
411, 32, 6, 35, 36elsetchom 15282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z )  <-> 
g : y --> z ) )
4240, 41mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g :
y --> z )
431, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 42setcco 15284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
442ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  U  e.  W )
45 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
463ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  C_  U
)
4746, 34sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  U )
4846, 35sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  U )
4946, 36sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  U )
5010, 44, 45, 47, 48, 49, 39, 42setcco 15284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
5117, 45ressco 14694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  _V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
524, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V
) ) )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  (comp `  C
)  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
5453oveqd 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z )  =  ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) )
5554oveqd 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5643, 50, 553eqtr2d 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5756ralrimivva 2864 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  A. f  e.  (
x ( Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
( Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5857ralrimivvva 2865 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  (
x ( Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
( Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
59 eqid 2443 . . . . 5  |-  (comp `  ( Cs  V ) )  =  (comp `  ( Cs  V
) )
6031eqcomd 2451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  D )  =  ( Hom f  `  ( Cs  V ) ) )
6133, 59, 6, 29, 28, 60comfeq 14978 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) A. g  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) f ) ) )
6258, 61mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) ) )
6362eqcomd 2451 . 2  |-  ( ph  ->  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) )
6431, 63jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( Hom f  `  ( Cs  V ) )  =  ( Hom f  `  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   <.cop 4020    o. ccom 4993   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   Basecbs 14509   ↾s cress 14510   Hom chom 14585  compcco 14586   Hom f chomf 14940  compfccomf 14941   SetCatcsetc 15276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-hom 14598  df-cco 14599  df-homf 14944  df-comf 14945  df-setc 15277
This theorem is referenced by:  funcsetcres2  15294
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