Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressress Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ressress 15265
 Description: Restriction composition law. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ressress s s s

Proof of Theorem ressress
StepHypRef Expression
1 simplr 770 . . . . . . . . 9 s
2 simpr1 1036 . . . . . . . . 9 s
3 simpr2 1037 . . . . . . . . 9 s
4 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 s s
5 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
64, 5ressval2 15256 . . . . . . . . 9 s sSet
71, 2, 3, 6syl3anc 1292 . . . . . . . 8 s s sSet
8 inass 3633 . . . . . . . . . . 11
9 in12 3634 . . . . . . . . . . 11
108, 9eqtri 2493 . . . . . . . . . 10
114, 5ressbas 15257 . . . . . . . . . . . 12 s
123, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 s s
1312ineq2d 3625 . . . . . . . . . 10 s s
1410, 13syl5req 2518 . . . . . . . . 9 s s
1514opeq2d 4165 . . . . . . . 8 s s
167, 15oveq12d 6326 . . . . . . 7 s s sSet s sSet sSet
17 fvex 5889 . . . . . . . . 9
1817inex2 4538 . . . . . . . 8
19 setsabs 15230 . . . . . . . 8 sSet sSet sSet
202, 18, 19sylancl 675 . . . . . . 7 s sSet sSet sSet
2116, 20eqtrd 2505 . . . . . 6 s s sSet s sSet
22 simpll 768 . . . . . . 7 s s
23 ovex 6336 . . . . . . . 8 s
2423a1i 11 . . . . . . 7 s s
25 simpr3 1038 . . . . . . 7 s
26 eqid 2471 . . . . . . . 8 s s s s
27 eqid 2471 . . . . . . . 8 s s
2826, 27ressval2 15256 . . . . . . 7 s s s s s sSet s
2922, 24, 25, 28syl3anc 1292 . . . . . 6 s s s s sSet s
30 inss1 3643 . . . . . . . . 9
31 sstr 3426 . . . . . . . . 9
3230, 31mpan2 685 . . . . . . . 8
331, 32nsyl 125 . . . . . . 7 s
34 inex1g 4539 . . . . . . . 8
353, 34syl 17 . . . . . . 7 s
36 eqid 2471 . . . . . . . 8 s s
3736, 5ressval2 15256 . . . . . . 7 s sSet
3833, 2, 35, 37syl3anc 1292 . . . . . 6 s s sSet
3921, 29, 383eqtr4d 2515 . . . . 5 s s s s
4039exp31 615 . . . 4 s s s s
4126, 27ressid2 15255 . . . . . . . 8 s s s s s
4223, 41mp3an2 1378 . . . . . . 7 s s s s
43423ad2antr3 1197 . . . . . 6 s s s s
44 in32 3635 . . . . . . . . 9
45 simpr2 1037 . . . . . . . . . . . 12 s
4645, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 s s
47 simpl 464 . . . . . . . . . . 11 s s
4846, 47eqsstrd 3452 . . . . . . . . . 10 s
49 df-ss 3404 . . . . . . . . . 10
5048, 49sylib 201 . . . . . . . . 9 s
5144, 50syl5req 2518 . . . . . . . 8 s
5251oveq2d 6324 . . . . . . 7 s s s
535ressinbas 15263 . . . . . . . 8 s s
5445, 53syl 17 . . . . . . 7 s s s
555ressinbas 15263 . . . . . . . 8 s s
5645, 34, 553syl 18 . . . . . . 7 s s s
5752, 54, 563eqtr4d 2515 . . . . . 6 s s s
5843, 57eqtrd 2505 . . . . 5 s s s s
5958ex 441 . . . 4 s s s s
604, 5ressid2 15255 . . . . . . . 8 s
61603adant3r3 1242 . . . . . . 7 s
6261oveq1d 6323 . . . . . 6 s s s
63 inss2 3644 . . . . . . . . . . 11
64 simpl 464 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl5ss 3429 . . . . . . . . . 10
66 sseqin2 3642 . . . . . . . . . 10
6765, 66sylib 201 . . . . . . . . 9
688, 67syl5req 2518 . . . . . . . 8
6968oveq2d 6324 . . . . . . 7 s s
70 simpr3 1038 . . . . . . . 8
715ressinbas 15263 . . . . . . . 8 s s
7270, 71syl 17 . . . . . . 7 s s
73 simpr2 1037 . . . . . . . 8
7473, 34, 553syl 18 . . . . . . 7 s s
7569, 72, 743eqtr4d 2515 . . . . . 6 s s
7662, 75eqtrd 2505 . . . . 5 s s s
7776ex 441 . . . 4 s s s
7840, 59, 77pm2.61ii 170 . . 3 s s s
79783expib 1234 . 2 s s s
80 ress0 15261 . . . 4 s
81 reldmress 15253 . . . . . 6 s
8281ovprc1 6339 . . . . 5 s
8382oveq1d 6323 . . . 4 s s s
8481ovprc1 6339 . . . 4 s
8580, 83, 843eqtr4a 2531 . . 3 s s s
8685a1d 25 . 2 s s s
8779, 86pm2.61i 169 1 s s s
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cop 3965  cfv 5589  (class class class)co 6308  cnx 15196   sSet csts 15197  cbs 15199   ↾s cress 15200 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-nn 10632  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206 This theorem is referenced by:  ressabs  15266  xrge00  28523  xrge0slmod  28681  esumpfinvallem  28969  lmhmlnmsplit  36016
 Copyright terms: Public domain W3C validator