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Theorem resspsrmul 16435
Description: A restricted power series algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
resspsr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
resspsr.u  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
resspsr.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
resspsr.p  |-  P  =  ( Ss  B )
resspsr.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
Assertion
Ref Expression
resspsrmul  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )

Proof of Theorem resspsrmul
Dummy variables  x  k  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmpsr 16383 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom mPwSer
2 resspsr.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
3 resspsr.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  U
)
41, 2, 3elbasov 13468 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  H  e.  _V )
)
54ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( I  e.  _V  /\  H  e.  _V )
)
65simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  I  e.  _V )
7 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
87psrbaglefi 16392 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
96, 8sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
10 resspsr.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 subrgsubg 15829 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  e.  (SubGrp `  R ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  R ) )
13 subgsubm 14917 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubGrp `  R
)  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1514ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1610ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  T  e.  (SubRing `  R ) )
17 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
18 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
192, 17, 7, 3, 18psrelbas 16399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H ) )
2019adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  X : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) )
21 elrabi 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k }  ->  x  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
22 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H )  /\  x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  H
) )
2320, 21, 22syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( X `  x )  e.  (
Base `  H )
)
24 resspsr.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( Rs  T )
2524subrgbas 15832 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
2616, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  T  =  (
Base `  H )
)
2723, 26eleqtrrd 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( X `  x )  e.  T
)
28 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
292, 17, 7, 3, 28psrelbas 16399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H ) )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H
) )
31 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  C_  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
326ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  _V )
33 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
34 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k } )
35 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  =  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }
367, 35psrbagconcl 16393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  _V  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  /\  x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x
)  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k } )
3732, 33, 34, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x )  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k } )
3831, 37sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x )  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
3930, 38ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  H
) )
4039, 26eleqtrrd 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  T )
41 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4241subrgmcl 15835 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( X `  x )  e.  T  /\  ( Y `  (
k  o F  -  x ) )  e.  T )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  T
)
4316, 27, 40, 42syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) )  e.  T )
44 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k } 
|->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) )
4543, 44fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) : { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } --> T )
469, 15, 45, 24gsumsubm 14733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
4724, 41ressmulr 13537 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  H ) )
4810, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  H ) )
4948ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  H ) )
5049oveqd 6057 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) )  =  ( ( X `
 x ) ( .r `  H ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
5150mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
5251oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( H  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
5346, 52eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
5453mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( H 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
55 resspsr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
56 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
57 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
58 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
5910, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
60 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6160subrgss 15824 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
6210, 61syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
6359, 62eqsstr3d 3343 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  C_  ( Base `  R ) )
64 mapss 7015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R
) )  ->  (
( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
6558, 63, 64sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) 
C_  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
6665adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) 
C_  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
672, 17, 7, 3, 6psrbas 16398 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  B  =  ( ( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
6855, 60, 7, 56, 6psrbas 16398 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( Base `  S )  =  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
6966, 67, 683sstr4d 3351 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  B  C_  ( Base `  S
) )
7069, 18sseldd 3309 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
7169, 28sseldd 3309 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
7255, 56, 41, 57, 7, 70, 71psrmulfval 16404 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y )  =  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
73 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .r
`  H )  =  ( .r `  H
)
74 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  U
)
752, 3, 73, 74, 7, 18, 28psrmulfval 16404 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
7654, 72, 753eqtr4rd 2447 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  S
) Y ) )
77 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  e.  _V
783, 77eqeltri 2474 . . . 4  |-  B  e. 
_V
79 resspsr.p . . . . 5  |-  P  =  ( Ss  B )
8079, 57ressmulr 13537 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  P
) )
8178, 80mp1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( .r `  S
)  =  ( .r
`  P ) )
8281oveqd 6057 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
8376, 82eqtrd 2436 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    o Rcofr 6263    ^m cmap 6977   Fincfn 7068    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   .rcmulr 13485    gsumg cgsu 13679  SubMndcsubmnd 14692  SubGrpcsubg 14893  SubRingcsubrg 15819   mPwSer cmps 16361
This theorem is referenced by:  subrgpsr  16437  ressmplmul  16476
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-subg 14896  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-subrg 15821  df-psr 16372
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