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Theorem resspsrmul 17466
Description: A restricted power series algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
resspsr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
resspsr.u  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
resspsr.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
resspsr.p  |-  P  =  ( Ss  B )
resspsr.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
Assertion
Ref Expression
resspsrmul  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )

Proof of Theorem resspsrmul
Dummy variables  x  k  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmpsr 17405 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom mPwSer
2 resspsr.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
3 resspsr.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  U
)
41, 2, 3elbasov 14214 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  H  e.  _V )
)
54ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( I  e.  _V  /\  H  e.  _V )
)
65simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  I  e.  _V )
7 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
87psrbaglefi 17418 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
96, 8sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
10 resspsr.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 subrgsubg 16849 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  e.  (SubGrp `  R ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  R ) )
13 subgsubm 15694 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubGrp `  R
)  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1514ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1610ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  T  e.  (SubRing `  R ) )
17 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
18 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
192, 17, 7, 3, 18psrelbas 17427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H ) )
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  X : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) )
21 elrabi 3109 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  oR  <_  k }  ->  x  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
22 ffvelrn 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H )  /\  x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  H
) )
2320, 21, 22syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( X `  x )  e.  (
Base `  H )
)
24 resspsr.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( Rs  T )
2524subrgbas 16852 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
2616, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  T  =  (
Base `  H )
)
2723, 26eleqtrrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( X `  x )  e.  T
)
28 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
292, 17, 7, 3, 28psrelbas 17427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H ) )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  Y : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H
) )
31 ssrab2 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  C_  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
326ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  I  e.  _V )
33 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k } )
35 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  =  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }
367, 35psrbagconcl 17420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  _V  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  /\  x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k } )
3732, 33, 34, 36syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x )  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  oR  <_  k } )
3831, 37sseldi 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x )  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
3930, 38ffvelrnd 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  H
) )
4039, 26eleqtrrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  e.  T )
41 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4241subrgmcl 16855 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( X `  x )  e.  T  /\  ( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  T )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) )  e.  T
)
4316, 27, 40, 42syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) )  e.  T )
44 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  oR  <_  k } 
|->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) )
4543, 44fmptd 5862 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ) : { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } --> T )
469, 15, 45, 24gsumsubm 15499 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
4724, 41ressmulr 14283 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  H ) )
4810, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  H ) )
4948ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  H ) )
5049oveqd 6103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) )  =  ( ( X `
 x ) ( .r `  H ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )
5150mpteq2dva 4373 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )
5251oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( H  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
5346, 52eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
5453mpteq2dva 4373 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( H 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
55 resspsr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
56 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
57 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
58 fvex 5696 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
5910, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
60 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6160subrgss 16844 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
6210, 61syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
6359, 62eqsstr3d 3386 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  C_  ( Base `  R ) )
64 mapss 7247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R
) )  ->  (
( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
6558, 63, 64sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) 
C_  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
6665adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) 
C_  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
672, 17, 7, 3, 6psrbas 17425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  B  =  ( ( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
6855, 60, 7, 56, 6psrbas 17425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( Base `  S )  =  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
6966, 67, 683sstr4d 3394 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  B  C_  ( Base `  S
) )
7069, 18sseldd 3352 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
7169, 28sseldd 3352 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
7255, 56, 41, 57, 7, 70, 71psrmulfval 17433 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y )  =  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
73 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .r
`  H )  =  ( .r `  H
)
74 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  U
)
752, 3, 73, 74, 7, 18, 28psrmulfval 17433 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
7654, 72, 753eqtr4rd 2481 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  S
) Y ) )
77 fvex 5696 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  e.  _V
783, 77eqeltri 2508 . . . 4  |-  B  e. 
_V
79 resspsr.p . . . . 5  |-  P  =  ( Ss  B )
8079, 57ressmulr 14283 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  P
) )
8178, 80mp1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( .r `  S
)  =  ( .r
`  P ) )
8281oveqd 6103 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
8376, 82eqtrd 2470 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   "cima 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313    oRcofr 6314    ^m cmap 7206   Fincfn 7302    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   ↾s cress 14167   .rcmulr 14231    gsumg cgsu 14371  SubMndcsubmnd 15455  SubGrpcsubg 15666  SubRingcsubrg 16839   mPwSer cmps 17395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-subg 15669  df-mgp 16580  df-rng 16635  df-subrg 16841  df-psr 17400
This theorem is referenced by:  subrgpsr  17468  ressmplmul  17514
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