MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrbas Structured version   Unicode version

Theorem resspsrbas 18388
Description: A restricted power series algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
resspsr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
resspsr.u  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
resspsr.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
resspsr.p  |-  P  =  ( Ss  B )
resspsr.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
Assertion
Ref Expression
resspsrbas  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )

Proof of Theorem resspsrbas
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
2 resspsr.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
3 resspsr.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( Rs  T )
43subrgbas 17756 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
52, 4syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
6 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
76subrgss 17748 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
82, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
95, 8eqsstr3d 3476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  C_  ( Base `  R ) )
109adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R ) )
11 mapss 7498 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R
) )  ->  (
( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
121, 10, 11sylancr 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( (
Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
13 resspsr.u . . . . 5  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
14 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
15 eqid 2402 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
16 resspsr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  U
)
17 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  I  e. 
_V )
1813, 14, 15, 16, 17psrbas 18348 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  B  =  ( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
19 resspsr.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
20 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2119, 6, 15, 20, 17psrbas 18348 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  S )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
2212, 18, 213sstr4d 3484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  B  C_  ( Base `  S )
)
23 reldmpsr 18328 . . . . . . . . 9  |-  Rel  dom mPwSer
2423ovprc1 6308 . . . . . . . 8  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPwSer  H )  =  (/) )
2513, 24syl5eq 2455 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  U  =  (/) )
2625adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  U  =  (/) )
2726fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  ( Base `  U )  =  ( Base `  (/) ) )
28 base0 14880 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
2927, 16, 283eqtr4g 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  B  =  (/) )
30 0ss 3767 . . . 4  |-  (/)  C_  ( Base `  S )
3129, 30syl6eqss 3491 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  B  C_  ( Base `  S
) )
3222, 31pm2.61dan 792 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  S ) )
33 resspsr.p . . 3  |-  P  =  ( Ss  B )
3433, 20ressbas2 14897 . 2  |-  ( B 
C_  ( Base `  S
)  ->  B  =  ( Base `  P )
)
3532, 34syl 17 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   (/)c0 3737   `'ccnv 4821   "cima 4825   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456   Fincfn 7553   NNcn 10575   NN0cn0 10835   Basecbs 14839   ↾s cress 14840  SubRingcsubrg 17743   mPwSer cmps 18318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-tset 14926  df-subg 16520  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-psr 18323
This theorem is referenced by:  resspsrvsca  18391  subrgpsr  18392
  Copyright terms: Public domain W3C validator