MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrbas Structured version   Unicode version

Theorem resspsrbas 17606
Description: A restricted power series algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
resspsr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
resspsr.u  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
resspsr.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
resspsr.p  |-  P  =  ( Ss  B )
resspsr.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
Assertion
Ref Expression
resspsrbas  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )

Proof of Theorem resspsrbas
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5804 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
2 resspsr.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
3 resspsr.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( Rs  T )
43subrgbas 16992 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
52, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
6 eqid 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
76subrgss 16984 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
82, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
95, 8eqsstr3d 3494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  C_  ( Base `  R ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R ) )
11 mapss 7360 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R
) )  ->  (
( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
121, 10, 11sylancr 663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( (
Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
13 resspsr.u . . . . 5  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
14 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
15 eqid 2452 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
16 resspsr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  U
)
17 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  I  e. 
_V )
1813, 14, 15, 16, 17psrbas 17566 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  B  =  ( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
19 resspsr.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
20 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2119, 6, 15, 20, 17psrbas 17566 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  S )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
2212, 18, 213sstr4d 3502 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  B  C_  ( Base `  S )
)
23 reldmpsr 17546 . . . . . . . . 9  |-  Rel  dom mPwSer
2423ovprc1 6223 . . . . . . . 8  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPwSer  H )  =  (/) )
2513, 24syl5eq 2505 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  U  =  (/) )
2625adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  U  =  (/) )
2726fveq2d 5798 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  ( Base `  U )  =  ( Base `  (/) ) )
28 base0 14326 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
2927, 16, 283eqtr4g 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  B  =  (/) )
30 0ss 3769 . . . 4  |-  (/)  C_  ( Base `  S )
3129, 30syl6eqss 3509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  B  C_  ( Base `  S
) )
3222, 31pm2.61dan 789 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  S ) )
33 resspsr.p . . 3  |-  P  =  ( Ss  B )
3433, 20ressbas2 14343 . 2  |-  ( B 
C_  ( Base `  S
)  ->  B  =  ( Base `  P )
)
3532, 34syl 16 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2800   _Vcvv 3072    C_ wss 3431   (/)c0 3740   `'ccnv 4942   "cima 4946   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    ^m cmap 7319   Fincfn 7415   NNcn 10428   NN0cn0 10685   Basecbs 14287   ↾s cress 14288  SubRingcsubrg 16979   mPwSer cmps 17536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-tset 14371  df-subg 15792  df-rng 16765  df-subrg 16981  df-psr 17541
This theorem is referenced by:  resspsrvsca  17609  subrgpsr  17610
  Copyright terms: Public domain W3C validator