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Theorem ressprs 26128
Description: The restriction of a preordered set is still a preordered set. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ressprs.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
ressprs  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )

Proof of Theorem ressprs
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6128 . . . . 5  |-  ( Ks  A )  e.  _V
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  _V )
3 simp-4l 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  K  e.  Preset  )
4 simp-4r 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  A  C_  B )
5 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  A )
64, 5sseldd 3369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  B )
73, 6jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( K  e.  Preset  /\  x  e.  B ) )
8 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  y  e.  A )
94, 8sseldd 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  y  e.  B )
10 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
114, 10sseldd 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  B )
12 ressprs.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  K
)
13 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
1412, 13isprs 15112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) ) )
1514simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Preset  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
1615r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x
( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
1716r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  A. z  e.  B  ( x
( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
1817r19.21bi 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  (
x ( le `  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x
( le `  K
) z ) ) )
1918simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  x
( le `  K
) x )
207, 9, 11, 19syl21anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  x
( le `  K
) x )
2118simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) )
227, 9, 11, 21syl21anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) )
2320, 22jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  (
x ( le `  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x
( le `  K
) z ) ) )
2423ralrimiva 2811 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  A. z  e.  A  ( x
( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
2524ralrimiva 2811 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  A
)  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x
( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
2625ralrimiva 2811 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x
( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
272, 26jca 532 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( Ks  A )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) ) )
28 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Ks  A )  =  ( Ks  A )
2928, 12ressbas2 14241 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
3029adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
31 fvex 5713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3212, 31eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
_V
3332ssex 4448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
3428, 13ressle 14350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3635adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3736breqd 4315 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x ( le `  K ) x  <->  x ( le `  ( Ks  A ) ) x ) )
3836breqd 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  x ( le `  ( Ks  A ) ) y ) )
3936breqd 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
y ( le `  K ) z  <->  y ( le `  ( Ks  A ) ) z ) )
4038, 39anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  <->  ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) )
4136breqd 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x ( le `  K ) z  <->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) )
4240, 41imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x
( le `  K
) z )  <->  ( (
x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) )
4337, 42anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
4430, 43raleqbidv 2943 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( A. z  e.  A  ( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  ( Ks  A
) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
4530, 44raleqbidv 2943 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  ( Ks  A
) ) A. z  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
4630, 45raleqbidv 2943 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  A. x  e.  (
Base `  ( Ks  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
4746anbi2d 703 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( ( Ks  A )  e.  _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x ( le `  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x
( le `  K
) z ) ) )  <->  ( ( Ks  A )  e.  _V  /\  A. x  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) ) )
4827, 47mpbid 210 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( Ks  A )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  ( Ks  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
49 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) )
50 eqid 2443 . . 3  |-  ( le
`  ( Ks  A ) )  =  ( le
`  ( Ks  A ) )
5149, 50isprs 15112 . 2  |-  ( ( Ks  A )  e.  Preset  <->  (
( Ks  A )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  ( Ks  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
5248, 51sylibr 212 1  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   ↾s cress 14187   lecple 14257    Preset cpreset 15108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-ple 14270  df-preset 15110
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