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Theorem ressprs 27475
Description: The restriction of a preordered set is still a preordered set. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ressprs.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
ressprs  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )

Proof of Theorem ressprs
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6320 . . . 4  |-  ( Ks  A )  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  _V )
3 simp-4l 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  K  e.  Preset  )
4 simp-4r 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  A  C_  B )
5 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  A )
64, 5sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  B )
73, 6jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( K  e.  Preset  /\  x  e.  B ) )
8 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  y  e.  A )
94, 8sseldd 3510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  y  e.  B )
10 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
114, 10sseldd 3510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  B )
12 ressprs.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  K
)
13 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
1412, 13isprs 15433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) ) )
1514simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Preset  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
1615r19.21bi 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x
( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
1716r19.21bi 2836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  A. z  e.  B  ( x
( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
1817r19.21bi 2836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  (
x ( le `  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x
( le `  K
) z ) ) )
197, 9, 11, 18syl21anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  A )  ->  (
x ( le `  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x
( le `  K
) z ) ) )
2019ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  A. z  e.  A  ( x
( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
2120ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  A
)  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x
( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
2221ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x
( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) )
23 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Ks  A )  =  ( Ks  A )
2423, 12ressbas2 14562 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
2524adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
26 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  K )  e.  _V
2712, 26eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
_V
2827ssex 4597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
2923, 13ressle 14671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3231breqd 4464 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x ( le `  K ) x  <->  x ( le `  ( Ks  A ) ) x ) )
3331breqd 4464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  x ( le `  ( Ks  A ) ) y ) )
3431breqd 4464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
y ( le `  K ) z  <->  y ( le `  ( Ks  A ) ) z ) )
3533, 34anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  <->  ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) )
3631breqd 4464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x ( le `  K ) z  <->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) )
3735, 36imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x
( le `  K
) z )  <->  ( (
x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) )
3832, 37anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
3925, 38raleqbidv 3077 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( A. z  e.  A  ( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  ( Ks  A
) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
4025, 39raleqbidv 3077 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  ( Ks  A
) ) A. z  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
4125, 40raleqbidv 3077 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) z )  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  A. x  e.  (
Base `  ( Ks  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
4241anbi2d 703 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( ( Ks  A )  e.  _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x ( le `  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x
( le `  K
) z ) ) )  <->  ( ( Ks  A )  e.  _V  /\  A. x  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) ) )
432, 22, 42mpbi2and 919 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( Ks  A )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  ( Ks  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
44 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) )
45 eqid 2467 . . 3  |-  ( le
`  ( Ks  A ) )  =  ( le
`  ( Ks  A ) )
4644, 45isprs 15433 . 2  |-  ( ( Ks  A )  e.  Preset  <->  (
( Ks  A )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  ( Ks  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ( x ( le `  ( Ks  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Ks  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Ks  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Ks  A ) ) z ) ) ) )
4743, 46sylibr 212 1  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14506   ↾s cress 14507   lecple 14578    Preset cpreset 15429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-ple 14591  df-preset 15431
This theorem is referenced by:  prsssdm  27731  ordtrestNEW  27735  ordtrest2NEW  27737
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