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Theorem resspos 26142
Description: The restriction of a Poset is a Poset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resspos  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )

Proof of Theorem resspos
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6137 . . 3  |-  ( Fs  A )  e.  _V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  _V )
3 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Fs  A )  =  ( Fs  A )
4 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
53, 4ressbas 14249 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  =  (
Base `  ( Fs  A
) ) )
6 inss2 3592 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  C_  ( Base `  F )
75, 6syl6eqssr 3428 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
87adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
9 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( le
`  F )  =  ( le `  F
)
104, 9ispos 15138 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Poset 
<->  ( F  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  F ) A. z  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F
) x  /\  (
( x ( le
`  F ) y  /\  y ( le
`  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  (
( x ( le
`  F ) y  /\  y ( le
`  F ) z )  ->  x ( le `  F ) z ) ) ) )
1110simprbi 464 . . . . 5  |-  ( F  e.  Poset  ->  A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) ) )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) ) )
13 ssralv 3437 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  ->  A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
1413ralimdv 2816 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
15 ssralv 3437 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) )  ->  A. y  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
1614, 15syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
1716ralimdv 2816 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
18 ssralv 3437 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) )  ->  A. x  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
1917, 18syld 44 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
208, 12, 19sylc 60 . . 3  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) )
213, 9ressle 14359 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
2221adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
23 breq 4315 . . . . . . 7  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( x ( le
`  F ) x  <-> 
x ( le `  ( Fs  A ) ) x ) )
24 breq 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( x ( le
`  F ) y  <-> 
x ( le `  ( Fs  A ) ) y ) )
25 breq 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( y ( le
`  F ) x  <-> 
y ( le `  ( Fs  A ) ) x ) )
2624, 25anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  <->  ( x
( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
2726imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( ( ( x ( le `  F
) y  /\  y
( le `  F
) x )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x ( le
`  ( Fs  A ) ) y  /\  y
( le `  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y ) ) )
28 breq 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( y ( le
`  F ) z  <-> 
y ( le `  ( Fs  A ) ) z ) )
2924, 28anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  <->  ( x
( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) z ) ) )
30 breq 4315 . . . . . . . 8  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( x ( le
`  F ) z  <-> 
x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) )
3129, 30imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( ( ( x ( le `  F
) y  /\  y
( le `  F
) z )  ->  x ( le `  F ) z )  <-> 
( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) )
3223, 27, 313anbi123d 1289 . . . . . 6  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  <->  ( x
( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) ) )
3332ralbidv 2756 . . . . 5  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  (
( x ( le
`  ( Fs  A ) ) y  /\  y
( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) ) )
34332ralbidv 2778 . . . 4  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) ) )
3522, 34syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) ) )
3620, 35mpbid 210 . 2  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) )
37 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  ( Fs  A ) )  =  ( Base `  ( Fs  A ) )
38 eqid 2443 . . 3  |-  ( le
`  ( Fs  A ) )  =  ( le
`  ( Fs  A ) )
3937, 38ispos 15138 . 2  |-  ( ( Fs  A )  e.  Poset  <->  (
( Fs  A )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) ) )
402, 36, 39sylanbrc 664 1  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   ↾s cress 14196   lecple 14266   Posetcpo 15131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-ple 14279  df-poset 15137
This theorem is referenced by:  resstos  26143
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