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Theorem resspos 27800
Description: The restriction of a Poset is a Poset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resspos  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )

Proof of Theorem resspos
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6224 . . 3  |-  ( Fs  A )  e.  _V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  _V )
3 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( Fs  A )  =  ( Fs  A )
4 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
53, 4ressbas 14691 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  =  (
Base `  ( Fs  A
) ) )
6 inss2 3633 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  C_  ( Base `  F )
75, 6syl6eqssr 3468 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
87adantl 464 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
9 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( le
`  F )  =  ( le `  F
)
104, 9ispos 15693 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Poset 
<->  ( F  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  F ) A. z  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F
) x  /\  (
( x ( le
`  F ) y  /\  y ( le
`  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  (
( x ( le
`  F ) y  /\  y ( le
`  F ) z )  ->  x ( le `  F ) z ) ) ) )
1110simprbi 462 . . . . 5  |-  ( F  e.  Poset  ->  A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) ) )
1211adantr 463 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) ) )
13 ssralv 3478 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  ->  A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
1413ralimdv 2792 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
15 ssralv 3478 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) )  ->  A. y  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
1614, 15syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
1716ralimdv 2792 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
18 ssralv 3478 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) )  ->  A. x  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
1917, 18syld 44 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) ) )
208, 12, 19sylc 60 . . 3  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) ) )
213, 9ressle 14806 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
2221adantl 464 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
23 breq 4369 . . . . . . 7  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( x ( le
`  F ) x  <-> 
x ( le `  ( Fs  A ) ) x ) )
24 breq 4369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( x ( le
`  F ) y  <-> 
x ( le `  ( Fs  A ) ) y ) )
25 breq 4369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( y ( le
`  F ) x  <-> 
y ( le `  ( Fs  A ) ) x ) )
2624, 25anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  <->  ( x
( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
2726imbi1d 315 . . . . . . 7  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( ( ( x ( le `  F
) y  /\  y
( le `  F
) x )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x ( le
`  ( Fs  A ) ) y  /\  y
( le `  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y ) ) )
28 breq 4369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( y ( le
`  F ) z  <-> 
y ( le `  ( Fs  A ) ) z ) )
2924, 28anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  <->  ( x
( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) z ) ) )
30 breq 4369 . . . . . . . 8  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( x ( le
`  F ) z  <-> 
x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) )
3129, 30imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( ( ( x ( le `  F
) y  /\  y
( le `  F
) z )  ->  x ( le `  F ) z )  <-> 
( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) )
3223, 27, 313anbi123d 1297 . . . . . 6  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x ( le
`  F ) z ) )  <->  ( x
( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) ) )
3332ralbidv 2821 . . . . 5  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  (
( x ( le
`  ( Fs  A ) ) y  /\  y
( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) ) )
34332ralbidv 2826 . . . 4  |-  ( ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) ) )
3522, 34syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) x  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  F ) y  /\  y ( le `  F ) z )  ->  x
( le `  F
) z ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) ) )
3620, 35mpbid 210 . 2  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) )
37 eqid 2382 . . 3  |-  ( Base `  ( Fs  A ) )  =  ( Base `  ( Fs  A ) )
38 eqid 2382 . . 3  |-  ( le
`  ( Fs  A ) )  =  ( le
`  ( Fs  A ) )
3937, 38ispos 15693 . 2  |-  ( ( Fs  A )  e.  Poset  <->  (
( Fs  A )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. z  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) x  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  /\  y ( le `  ( Fs  A ) ) z )  ->  x ( le `  ( Fs  A ) ) z ) ) ) )
402, 36, 39sylanbrc 662 1  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   _Vcvv 3034    i^i cin 3388    C_ wss 3389   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   ↾s cress 14635   lecple 14709   Posetcpo 15686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-ple 14722  df-poset 15692
This theorem is referenced by:  resstos  27801
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