MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1mul Structured version   Unicode version

Theorem ressply1mul 18590
Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s  |-  S  =  (Poly1 `  R )
ressply1.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressply1.u  |-  U  =  (Poly1 `  H )
ressply1.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressply1.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressply1.p  |-  P  =  ( Ss  B )
Assertion
Ref Expression
ressply1mul  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )

Proof of Theorem ressply1mul
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 ressply1.h . . 3  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2402 . . 3  |-  ( 1o mPoly  H )  =  ( 1o mPoly  H )
4 ressply1.u . . . 4  |-  U  =  (Poly1 `  H )
5 eqid 2402 . . . 4  |-  (PwSer1 `  H
)  =  (PwSer1 `  H
)
6 ressply1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  U
)
74, 5, 6ply1bas 18552 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  H ) )
8 1on 7173 . . . 4  |-  1o  e.  On
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
10 ressply1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 eqid 2402 . . 3  |-  ( ( 1o mPoly  R )s  B )  =  ( ( 1o mPoly  R )s  B )
121, 2, 3, 7, 9, 10, 11ressmplmul 18438 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  ( 1o mPoly  H
) ) Y )  =  ( X ( .r `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) Y ) )
13 eqid 2402 . . . 4  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  U
)
144, 3, 13ply1mulr 18586 . . 3  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  H ) )
1514oveqi 6290 . 2  |-  ( X ( .r `  U
) Y )  =  ( X ( .r
`  ( 1o mPoly  H
) ) Y )
16 ressply1.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  R )
17 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
1816, 1, 17ply1mulr 18586 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
19 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
206, 19eqeltri 2486 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
21 ressply1.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Ss  B )
2221, 17ressmulr 14964 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  P
) )
2320, 22ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  P
)
24 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( .r
`  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
2511, 24ressmulr 14964 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( .r `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) )
2620, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( .r `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) )
2718, 23, 263eqtr3i 2439 . . 3  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  (
( 1o mPoly  R )s  B
) )
2827oveqi 6290 . 2  |-  ( X ( .r `  P
) Y )  =  ( X ( .r
`  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) Y )
2912, 15, 283eqtr4g 2468 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   Oncon0 5409   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   1oc1o 7159   Basecbs 14839   ↾s cress 14840   .rcmulr 14908  SubRingcsubrg 17743   mPoly cmpl 18320  PwSer1cps1 18532  Poly1cpl1 18534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-seq 12150  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-tset 14926  df-ple 14927  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-subg 16520  df-mgp 17460  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-psr 18323  df-mpl 18325  df-opsr 18327  df-psr1 18537  df-ply1 18539
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator