MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1mul Structured version   Unicode version

Theorem ressply1mul 17804
Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s  |-  S  =  (Poly1 `  R )
ressply1.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressply1.u  |-  U  =  (Poly1 `  H )
ressply1.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressply1.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressply1.p  |-  P  =  ( Ss  B )
Assertion
Ref Expression
ressply1mul  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )

Proof of Theorem ressply1mul
StepHypRef Expression
1 eqid 2452 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 ressply1.h . . 3  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2452 . . 3  |-  ( 1o mPoly  H )  =  ( 1o mPoly  H )
4 ressply1.u . . . 4  |-  U  =  (Poly1 `  H )
5 eqid 2452 . . . 4  |-  (PwSer1 `  H
)  =  (PwSer1 `  H
)
6 ressply1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  U
)
74, 5, 6ply1bas 17770 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  H ) )
8 1on 7032 . . . 4  |-  1o  e.  On
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
10 ressply1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 eqid 2452 . . 3  |-  ( ( 1o mPoly  R )s  B )  =  ( ( 1o mPoly  R )s  B )
121, 2, 3, 7, 9, 10, 11ressmplmul 17656 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  ( 1o mPoly  H
) ) Y )  =  ( X ( .r `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) Y ) )
13 eqid 2452 . . . 4  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  U
)
144, 3, 13ply1mulr 17800 . . 3  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  H ) )
1514oveqi 6208 . 2  |-  ( X ( .r `  U
) Y )  =  ( X ( .r
`  ( 1o mPoly  H
) ) Y )
16 ressply1.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  R )
17 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
1816, 1, 17ply1mulr 17800 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
19 fvex 5804 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
206, 19eqeltri 2536 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
21 ressply1.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Ss  B )
2221, 17ressmulr 14405 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  P
) )
2320, 22ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  P
)
24 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( .r
`  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
2511, 24ressmulr 14405 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( .r `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) )
2620, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( .r `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) )
2718, 23, 263eqtr3i 2489 . . 3  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  (
( 1o mPoly  R )s  B
) )
2827oveqi 6208 . 2  |-  ( X ( .r `  P
) Y )  =  ( X ( .r
`  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) Y )
2912, 15, 283eqtr4g 2518 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   Oncon0 4822   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   1oc1o 7018   Basecbs 14287   ↾s cress 14288   .rcmulr 14353  SubRingcsubrg 16979   mPoly cmpl 17538  PwSer1cps1 17750  Poly1cpl1 17752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-ofr 6426  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-seq 11919  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-tset 14371  df-ple 14372  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-subg 15792  df-mgp 16709  df-rng 16765  df-subrg 16981  df-psr 17541  df-mpl 17543  df-opsr 17545  df-psr1 17755  df-ply1 17757
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator