MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1bas2 Structured version   Unicode version

Theorem ressply1bas2 17786
Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s  |-  S  =  (Poly1 `  R )
ressply1.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressply1.u  |-  U  =  (Poly1 `  H )
ressply1.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressply1.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressply1bas2.w  |-  W  =  (PwSer1 `  H )
ressply1bas2.c  |-  C  =  ( Base `  W
)
ressply1bas2.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
ressply1bas2  |-  ( ph  ->  B  =  ( C  i^i  K ) )

Proof of Theorem ressply1bas2
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . 2  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 ressply1.h . 2  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2451 . 2  |-  ( 1o mPoly  H )  =  ( 1o mPoly  H )
4 ressply1.u . . 3  |-  U  =  (Poly1 `  H )
5 ressply1bas2.w . . 3  |-  W  =  (PwSer1 `  H )
6 ressply1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  U
)
74, 5, 6ply1bas 17755 . 2  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  H ) )
8 1on 7024 . . 3  |-  1o  e.  On
98a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
10 ressply1.2 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 eqid 2451 . 2  |-  ( 1o mPwSer  H )  =  ( 1o mPwSer  H )
12 ressply1bas2.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  W
)
135, 12, 11psr1bas2 17750 . 2  |-  C  =  ( Base `  ( 1o mPwSer  H ) )
14 ressply1.s . . 3  |-  S  =  (Poly1 `  R )
15 eqid 2451 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
16 ressply1bas2.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  S
)
1714, 15, 16ply1bas 17755 . 2  |-  K  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
181, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 13, 17ressmplbas2 17638 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( C  i^i  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3422   Oncon0 4814   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   1oc1o 7010   Basecbs 14273   ↾s cress 14274  SubRingcsubrg 16964   mPwSer cmps 17521   mPoly cmpl 17523  PwSer1cps1 17735  Poly1cpl1 17737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-ofr 6418  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-hash 12202  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-tset 14356  df-ple 14357  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-mre 14623  df-mrc 14624  df-acs 14626  df-mnd 15514  df-mhm 15563  df-submnd 15564  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-mulg 15647  df-subg 15777  df-ghm 15844  df-cntz 15934  df-cmn 16380  df-abl 16381  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-subrg 16966  df-psr 17526  df-mpl 17528  df-opsr 17530  df-psr1 17740  df-ply1 17742
This theorem is referenced by:  ressply1bas  17787
  Copyright terms: Public domain W3C validator