MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1add Structured version   Unicode version

Theorem ressply1add 18145
Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s  |-  S  =  (Poly1 `  R )
ressply1.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressply1.u  |-  U  =  (Poly1 `  H )
ressply1.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressply1.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressply1.p  |-  P  =  ( Ss  B )
Assertion
Ref Expression
ressply1add  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  U ) Y )  =  ( X ( +g  `  P ) Y ) )

Proof of Theorem ressply1add
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 ressply1.h . . 3  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( 1o mPoly  H )  =  ( 1o mPoly  H )
4 ressply1.u . . . 4  |-  U  =  (Poly1 `  H )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  (PwSer1 `  H
)  =  (PwSer1 `  H
)
6 ressply1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  U
)
74, 5, 6ply1bas 18108 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  H ) )
8 1on 7139 . . . 4  |-  1o  e.  On
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
10 ressply1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 eqid 2443 . . 3  |-  ( ( 1o mPoly  R )s  B )  =  ( ( 1o mPoly  R )s  B )
121, 2, 3, 7, 9, 10, 11ressmpladd 17993 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  ( 1o mPoly  H )
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) ) Y ) )
13 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
144, 3, 13ply1plusg 18140 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  H ) )
1514oveqi 6294 . 2  |-  ( X ( +g  `  U
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( 1o mPoly  H )
) Y )
16 ressply1.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  R )
17 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
1816, 1, 17ply1plusg 18140 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
19 fvex 5866 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
206, 19eqeltri 2527 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
21 ressply1.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Ss  B )
2221, 17ressplusg 14616 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  P
) )
2320, 22ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  P )
24 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)
2511, 24ressplusg 14616 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( +g  `  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) )
2620, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) )
2718, 23, 263eqtr3i 2480 . . 3  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) )
2827oveqi 6294 . 2  |-  ( X ( +g  `  P
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) ) Y )
2912, 15, 283eqtr4g 2509 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  U ) Y )  =  ( X ( +g  `  P ) Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   Oncon0 4868   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1oc1o 7125   Basecbs 14509   ↾s cress 14510   +g cplusg 14574  SubRingcsubrg 17299   mPoly cmpl 17876  PwSer1cps1 18088  Poly1cpl1 18090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-tset 14593  df-ple 14594  df-subg 16072  df-ring 17074  df-subrg 17301  df-psr 17879  df-mpl 17881  df-opsr 17883  df-psr1 18093  df-ply1 18095
This theorem is referenced by:  gsumply1subr  18149
  Copyright terms: Public domain W3C validator