MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1add Structured version   Unicode version

Theorem ressply1add 18070
Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s  |-  S  =  (Poly1 `  R )
ressply1.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressply1.u  |-  U  =  (Poly1 `  H )
ressply1.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressply1.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressply1.p  |-  P  =  ( Ss  B )
Assertion
Ref Expression
ressply1add  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  U ) Y )  =  ( X ( +g  `  P ) Y ) )

Proof of Theorem ressply1add
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 ressply1.h . . 3  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( 1o mPoly  H )  =  ( 1o mPoly  H )
4 ressply1.u . . . 4  |-  U  =  (Poly1 `  H )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  (PwSer1 `  H
)  =  (PwSer1 `  H
)
6 ressply1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  U
)
74, 5, 6ply1bas 18033 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  H ) )
8 1on 7137 . . . 4  |-  1o  e.  On
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
10 ressply1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 eqid 2467 . . 3  |-  ( ( 1o mPoly  R )s  B )  =  ( ( 1o mPoly  R )s  B )
121, 2, 3, 7, 9, 10, 11ressmpladd 17918 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  ( 1o mPoly  H )
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) ) Y ) )
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
144, 3, 13ply1plusg 18065 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  H ) )
1514oveqi 6297 . 2  |-  ( X ( +g  `  U
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( 1o mPoly  H )
) Y )
16 ressply1.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  R )
17 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
1816, 1, 17ply1plusg 18065 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
19 fvex 5876 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
206, 19eqeltri 2551 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
21 ressply1.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Ss  B )
2221, 17ressplusg 14597 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  P
) )
2320, 22ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  P )
24 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)
2511, 24ressplusg 14597 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( +g  `  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) )
2620, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) )
2718, 23, 263eqtr3i 2504 . . 3  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) )
2827oveqi 6297 . 2  |-  ( X ( +g  `  P
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) ) Y )
2912, 15, 283eqtr4g 2533 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  U ) Y )  =  ( X ( +g  `  P ) Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   Oncon0 4878   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   1oc1o 7123   Basecbs 14490   ↾s cress 14491   +g cplusg 14555  SubRingcsubrg 17225   mPoly cmpl 17801  PwSer1cps1 18013  Poly1cpl1 18015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-ple 14575  df-subg 16003  df-rng 17002  df-subrg 17227  df-psr 17804  df-mpl 17806  df-opsr 17808  df-psr1 18018  df-ply1 18020
This theorem is referenced by:  gsumply1subr  18074
  Copyright terms: Public domain W3C validator